2024-2025學(xué)年四川省廣安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省廣安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第一部分（選擇題共58分）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則被抽到的高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.504.已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A.0 B.1 C. D.35.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（）A. B. C. D.6.在中，，且有，則線段的長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.17.已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（）A. B.C.或 D.或8.已知四棱錐，，平分，點(diǎn)在上且滿(mǎn)足，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（）A.任意一條直線都有傾斜角B.直線傾斜角越大，則該直線的斜率越大C.若一條直線傾斜角為，則該直線的斜率為D.斜率相等的兩直線平行10.已知甲?乙兩位同學(xué)在高一年級(jí)六次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)分別為，則B.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則C.甲成績(jī)中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)D.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差11.在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共三小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則實(shí)數(shù)______.13.已知四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)，滿(mǎn)足均大于，則的最小值________.14.如圖，在四面體中，與均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．16.已知.（1）若四點(diǎn)可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下若點(diǎn)在第四象限的情況下，判斷構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.17.四棱錐中，平面平面，，，，是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．18.某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)?平均數(shù)和分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四?第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率.19.在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿(mǎn)足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2024-2025學(xué)年四川省廣安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第一部分（選擇題共58分）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)概念可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可知直線的斜率，根據(jù)直線的斜率求解傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，由題意可知，直線的斜率為，所以，即.故選.3.孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則被抽到的高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多（）A20 B.30 C.40 D.50【正確答案】A【分析】根據(jù)題意先求抽樣比，進(jìn)而求高一，高二被抽到的學(xué)生生人數(shù)即可求解.【詳解】抽樣比等于，于是，高一被抽到的學(xué)生人數(shù)為，高二被抽到的學(xué)生人數(shù)為，所以高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多.故選：A.4.已知直線一個(gè)方向向量，且直線過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A.0 B.1 C. D.3【正確答案】D【分析】首先求出，依題意，則，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因直線過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，所以，又直線的一個(gè)方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D5.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出，得到直線EF的一個(gè)單位方向向量，利用點(diǎn)到直線距離公式得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以直線EF的一個(gè)單位方向向量為．因?yàn)椋渣c(diǎn)P到直線EF的距離為．故選：A6.在中，，且有，則線段的長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.1【正確答案】D【分析】先由余弦定理求出，可得為直角三角形，由可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而由斜邊上的中線等于斜邊一半可得的長(zhǎng).【詳解】在中，由余弦定理可得，則，即，解得.則由即，可得，又，可知是的中點(diǎn)，故即為斜邊上的中線，則.故選：D.7.已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可求得斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)樾甭?，且，其中時(shí)直線無(wú)斜率，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；故選：C.8.已知四棱錐，，平分，點(diǎn)在上且滿(mǎn)足，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，則有，利用三角形面積公式可得，又由點(diǎn)在上且滿(mǎn)足，可得到平面的距離，結(jié)合三棱錐體積公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，則有，而，，又由，，平分，則，則；故，而，則有，又由點(diǎn)在上且滿(mǎn)足，故到平面的距離為，則有，故．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（）A.任意一條直線都有傾斜角B.直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C.若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D.斜率相等的兩直線平行【正確答案】BCD【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的定義一一判斷即可.【詳解】任何一條直線都存在傾斜角，A正確；鈍角大于銳角，但是鈍角對(duì)應(yīng)的斜率小于銳角對(duì)應(yīng)的斜率，B錯(cuò)誤；若一條直線的傾斜角，則斜率不存在，C錯(cuò)誤；斜率相等的兩條直線可能是重合或平行，D錯(cuò)誤；故選:BCD.10.已知甲?乙兩位同學(xué)在高一年級(jí)六次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，則B.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則C.甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)D.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差【正確答案】ACD【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：根據(jù)散點(diǎn)圖直接判斷選項(xiàng)A、B、D；分析甲、乙的中位數(shù)特點(diǎn)，即可判斷C.【詳解】由散點(diǎn)圖的點(diǎn)的分布可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué),其他次考試成績(jī)都高于乙同學(xué),所以，故選項(xiàng)A正確；由散點(diǎn)圖點(diǎn)的分步變化趨勢(shì)可知,甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)穩(wěn)定,由方差的意義可得.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)了6次數(shù)學(xué)成績(jī)，故將一組數(shù)據(jù)從小到大排序后，第三個(gè)和第四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由散點(diǎn)圖知，甲同學(xué)成績(jī)排序后的第三次和第四次成績(jī)均在90以上，而乙同學(xué)成績(jī)排序后的第三次和第四次成績(jī)均在90以下，故甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù).故選項(xiàng)C正確；因?yàn)闃O差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差,所以甲同學(xué)成績(jī)的極差小于乙同學(xué)成績(jī)的極差,故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為【正確答案】ABC【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則有，從而求出可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，，設(shè)平面的法向量，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，從而利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共三小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則實(shí)數(shù)______.【正確答案】##【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為.13.已知四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)，滿(mǎn)足均大于，則的最小值________.【正確答案】4【分析】根據(jù)向量的線性表示，結(jié)合共面的性質(zhì)，可得，即可利用基本不等式求解.【詳解】由可得,四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，所以，故，由于均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，故414.如圖，在四面體中，與均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，過(guò)作，然后在中，由求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖所示：設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，則平面．因?yàn)槎娼堑拇笮?，即平面平面，設(shè)為線段的中點(diǎn)，外接球的半徑為，連接，過(guò)作于點(diǎn)，易知為的中心，則，因?yàn)?，故，，在中，，故，則．所以外接球的表面積為，故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.16.已知.（1）若四點(diǎn)可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下若點(diǎn)在第四象限的情況下，判斷構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.【正確答案】（1）或或（2）不是菱形【分析】（1）分四邊形、、是平行四邊形三種情況討論，分別利用對(duì)邊的斜率相等求解即可；（2）分別驗(yàn)證對(duì)角線是否垂直，即對(duì)角線斜率乘積是否為即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，，設(shè)，若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.【小問(wèn)2詳解】若的坐標(biāo)為，因?yàn)椋本€的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.17.四棱錐中，平面平面，，，，是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）記點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，利用線線平行證明線面平行；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可證平面平面，作于點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)1詳解】證明：記點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面．【小問(wèn)2詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題知，，，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面，作于點(diǎn)，又平面平面，則平面，即點(diǎn)到平面距離為．由是正三角形，且得，點(diǎn)到平面的距離為．18.某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)?平均數(shù)和分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四?第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率.【正確答案】（1），（2）眾數(shù)為，平均數(shù)為69.5，分位數(shù)為71.7（3）【分析】（1）由第三?四?五組頻率之和為0.7，所有組頻率之和為1，列方程求的值；（2）由頻率分布直方圖中眾數(shù)?平均數(shù)和百分位數(shù)的定義公式計(jì)算；（3）根據(jù)分層抽樣確定的人數(shù)，解決古典概型概率問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以.【小問(wèn)2詳解】眾數(shù)為平均數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以分位數(shù)在第三組，且為.【小問(wèn)3詳解】第四?第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，則第四組抽4人，記為，第五組抽1人，記為，則從這5人中選出2人，有共10種結(jié)果，兩人來(lái)自不同組有