山東省聊城市陽谷縣2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題只有一個正確答案，每小題4分，共48分）1．（4分）如圖，有甲，乙、丙三個矩形，其中相似的是（）A．甲與丙 B．甲與乙 C．乙與丙 D．三個矩形都不相似2．（4分）如果兩個相似三角形的相似比是1：4，那么這兩個相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．（4分）如圖，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．將△ABC沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與△ABC不相似的是（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，周末陽光正好，小麗和爸爸外出游園．爸爸身高1.8m，此刻他在地面上的影長為1.5m，經(jīng)測量小麗在地面上的影長是1.25m，則小麗的身高為（）A．1.4m B．1.5m C．1.6m D．1.7m5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，現(xiàn)把這個三角形的三邊都擴大為原來的3倍，則∠A的正弦值（）A．擴大為原來的3倍 B．縮小為原來的3倍 C．不變 D．不能確定6．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函數(shù)表示正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝7．（4分）春節(jié)期間，小澎陪媽媽去爬山，如圖，兩人從山腳下A處沿坡前行，到達C處時，發(fā)現(xiàn)C處標語牌上寫著“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i＝1：2.4，愛思考的小澎很快告訴媽媽：“我們至少走坡路（）米了”．A．50 B．120 C．130 D．1708．（4分）如圖，為測量建筑物的高，利用一架無人機A對建筑物BC的點B和點C進行觀測，則下列說法錯誤的是（）A．仰角為∠BAD B．當無人機遠離BC水平飛行時，仰角增大 C．俯角為∠CAD D．當無人機遠離BC水平飛行時，俯角減小9．（4分）下列說法：①三點確定一個圓；②相等的圓心角所對的弧相等；③同圓或等圓中，等弦所對的弧相等；④三角形的外心到三角形各頂點距離相等其中，正確的個數(shù)共有（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos∠AOB＝（）A． B． C． D．11．（4分）設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊長分別為6，8，則此直角三角形外接圓半徑為（）A．5 B．10 C． D．5或12．（4分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，則CD的長為（）A． B．2 C． D．二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）在銳角三角形ABC中，已知∠A，∠B滿足（sinA﹣）2+|﹣tanB|＝0，則∠C＝．14．（4分）將一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊CD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點A對應(yīng)的點記為點M，若點M恰好落在邊CD上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．15．（4分）小明不小心把一塊直角三角形玻璃打碎了，他取了一個碎片（如圖），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，則原直角三角形玻璃的面積為cm2．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）16．（4分）在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為1，則弦AB所對弧的度數(shù)．17．（4分）如圖，AB是圓的直徑，∠1、∠2、∠3、∠4的頂點均在AB上方的圓弧上，∠1、∠4的一邊分別經(jīng)過點A、B，則∠1+∠2+∠3+∠4＝°．18．（4分）如圖所示，點A、B、C都在⊙O上，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC＝．三.解答題（8小題，滿分78分）19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1，點A，C的對應(yīng)點分別為A1，C1；（2）直接寫出點A1和點C1的坐標：A1（，），C1（，）．20．（8分）計算：（1）tan30°?tan60°+sin245°+cos245°；（2）2cos30°?sin60°﹣tan45°?sin30°．21．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．（1）求證：△ADE∽△ACD；（2）若，且AE＝4，求AB的長．22．（10分）定義：在△ABC中，我們把∠A的對邊與∠C的對邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA＝＝．請解答下列問題：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，則∠A＝°；（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關(guān)系．23．（10分）學(xué)科綜合我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實驗為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）24．（12分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB為直徑的⊙O與AC，BC的交點分別為D，E（Ⅰ）如圖①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如圖②，當DE＝BE時，求∠C的大小．25．（12分）根據(jù)素材解決問題：設(shè)計貨船通過圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，貨船的載重量每增加1噸，則船身下降0.01m．．問題解決任務(wù)1確定橋拱半徑（1）求圓形橋拱的半徑；任務(wù)2擬定設(shè)計方案（2）根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？26．（12分）△ABC表示一塊直角三角形空地，已知∠ACB＝90°，邊AC＝4米，BC＝3米．現(xiàn)在根據(jù)需要在空地內(nèi)畫出一個正方形區(qū)域建造水池，現(xiàn)有方案一、方案二分別如圖1、圖2所示，請你分別計算兩種方案中水池的邊長，并比較哪種方案的正方形水池面積更大．

2024-2025學(xué)年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題只有一個正確答案，每小題4分，共48分）1．【解答】解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故選：A．2．【解答】解：如果兩個相似三角形的相似比為1：4，那么這兩個三角形的對應(yīng)中線的比為1：4，故選：B．3．【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合題意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合題意；C、由圖形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合題意；D、由已知條件無法證明△ADE與△ABC相似，故D符合題意，故選：D．4．【解答】解：設(shè)小芳的身高為h米，∵同一時刻物高與影長成正比，∴，解得h＝1.5，故選：B．5．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，將各邊長度都擴大為原來的3倍，其比值不變，∴∠A的正弦值不變．故選：C．6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝，故選項A錯誤；tanA＝，故選項B錯誤；cosA＝，故選項C正確；tanB＝，故選項D錯誤．故選：C．7．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：2.4，∴BC：AB＝1：2.4，∵BC＝50米，∴AB＝120米，由勾股定理得：AC＝＝＝130（米），所以我們至少走坡路130米了，故選：C．8．【解答】解：A、仰角為∠BAD，說法正確，不符合題意；B、當無人機遠離BC水平飛行時，仰角減小，故本選項說法錯誤，符合題意；C、俯角為∠CAD，說法正確，不符合題意；D、當無人機遠離BC水平飛行時，俯角減小，說法正確，不符合題意；故選：B．9．【解答】解：不共線的三點確定一個圓，所以①錯誤；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所以②錯誤；同圓或等圓中，等弦所對的優(yōu)弧或劣弧對應(yīng)相等，所以③錯誤；三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，所以④正確；故選：A．10．【解答】解：根據(jù)題意得：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故選：B．11．【解答】解：∵Rt△ABC的兩條直角邊長分別為6，8，∴斜邊長＝，∴Rt△ABC斜邊上的中線長為5，即此直角三角形外接圓半徑為5，故選：A．12．【解答】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AB＝4，∴OD＝2，CE＝DE＝CD，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∴CD＝2DE＝2，故選：C．二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．【解答】解：由題意得，sinA＝，tanB＝，則∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案為：75°．14．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折疊的性質(zhì)可得：∠BMN＝∠A＝90°，∵∠NMD+∠BMN+∠BMC＝180°，∴∠NMD+∠BMC＝90°，∴∠DNM＝∠BMC，∴△NDM∽△MCB．故答案為：△MCB．15．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm，∴AC＝AB?tan65°≈10×2.14＝21.4（cm），∴原直角三角形玻璃的面積＝AB?AC＝×10×21.4＝107（cm2），故答案為：107．16．【解答】解：如圖：∵OA＝OB＝AB＝1，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴弦AB所對弧的度數(shù)為60°或300°．故答案為：60°或300°．17．【解答】∵AB是圓的直徑，∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為180°，∵∠1、∠2、∠3、∠4所對的弧的和為半圓，∴，故答案為：90．18．【解答】解：連接OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝20°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故答案為：100°．三.解答題（8小題，滿分78分）19．【解答】解：（1）如圖，△A1BC1即為所求．（2）由圖可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）．故答案為：1；1；﹣3；﹣1．20．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝．21．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵，∴，∴，由（1）知△ADE∽△ACD，∴＝，∵AE＝4，∴＝，∴，∵AD＝AB，∴．22．【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H．（1）在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝；（2）∵thiA＝，∴＝，∵∠C＝30°，∴tan30°＝＝，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，如圖，根據(jù)對稱性，△A′BC是鈍角三角形時，∠B′AC＝120°故答案為：60或120；（3）在△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sinA＝．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sinA．23．【解答】解：（1）如圖：過點D作DG⊥AB，垂足為G，由題意得：四邊形DGBF是矩形，∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，∴∠BDG＝53°，∴∠PDH＝∠BDG＝53°，∴入射角α的度數(shù)為53°；（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），在Rt△CDG中，DG＝12cm，∴DC＝＝＝15（cm），∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，由（1）得：∠PDH＝53°，∴sin∠PDH＝sinα≈，∴折射率n＝＝＝，∴光線從空氣射入水中的折射率n約為．24．【解答】解：（Ⅰ）∵四邊形ABED圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°．（Ⅱ）連接AE．∵DE＝BE，∴＝∴∠DAE＝∠EAB＝∠