專題21圓錐曲線中的軌跡方程的求法

專題21圓錐曲線中的軌跡方程的求法軌跡方程歷年高考中的熱門考點(diǎn)，常在解答題中第（1）問出現(xiàn)。本專題主要研究圓錐曲線中關(guān)于軌跡方程求法。首先正確理解曲線與方程的概念，會(huì)用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問題，用方程的觀點(diǎn)實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解決，并能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程，常用方法有：直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)（交軌）法、點(diǎn)差法等。另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透。一、熱點(diǎn)題型歸納題型1、直譯法題型2、相關(guān)點(diǎn)法題型3、定義法題型4、參數(shù)法（交軌法）題型5、點(diǎn)差法二、最新?？碱}組練三、十年高考真題練【題型1】直譯法【解題技巧】直譯法：若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件是一些已知（或通過分析得出）幾何量的等量關(guān)系，可轉(zhuǎn)化成含x,y的等式，就得到軌跡方程。知識(shí)儲(chǔ)備：兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率（向量）公式等?！镜淅治觥坷?．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；【答案】【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等式，化簡(jiǎn)后可得出曲線的方程；【解析】由題意知，兩邊平方整即得，所以曲線的方程為.例2．（2022·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；【答案】【分析】依題意由距離公式得到方程，整理即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【解析】解：由題設(shè)得，即，整理得；由例1、2推廣：圓錐曲線統(tǒng)一定義（第二定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。。例3．（2022·遼寧鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并注明x的范圍；【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式以及題中條件斜率之積即可列方程求解，【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意得，化簡(jiǎn)得故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；例4．（2022·江蘇·高三期中）某同學(xué)利用圖形計(jì)算器研究教材中一例問題“設(shè)點(diǎn)，，直線，相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)M的軌跡方程”時(shí)，將其中已知條件“斜率之積為”拓展為“斜率之積為常數(shù)”之后，進(jìn)行了如圖所示的作圖探究：參考該同學(xué)的探究，下列結(jié)論不正確的有：（

）A．時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))B．時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))C．時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))D．時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(不含與x軸的交點(diǎn))【答案】A【解析】首先設(shè)，由，整理可得（），再根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的取值范圍，結(jié)合橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行分析判斷即可得解.【詳解】設(shè)，，整理可得（），對(duì)A，若，點(diǎn)M的軌跡為圓(不含與x軸的交點(diǎn))，故A不正確；對(duì)B，若，由（），則，故B正確；對(duì)C，若，由（），則，故C正確；對(duì)D，，（），，故D正確.故選：A.由例3、4推廣（圓錐曲線第三定義）：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A和B的斜率之積為e21的點(diǎn)的軌跡為橢圓或雙曲線。其中點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)0<e2<1時(shí)為橢圓，當(dāng)e2>1時(shí)為雙曲線。注意：上述定義有個(gè)小瑕疵就是該動(dòng)點(diǎn)軌跡不包含A、B兩點(diǎn)。【變式演練】1．（2022·湖南·長(zhǎng)沙模擬預(yù)測(cè)）古希臘三大數(shù)學(xué)家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中指出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(且的點(diǎn)的軌跡是圓，已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(，0)，B(2，0)，直線，曲線C上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則曲線C與直線l相交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最短長(zhǎng)度為（

）A． B． C．2 D．2【答案】C【分析】首先通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)，結(jié)合|PA|、PB|邊長(zhǎng)間的關(guān)系得到曲線C的軌跡為圓，問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的最短弦長(zhǎng)問題，結(jié)合條件直線l過定點(diǎn)，通過垂徑定理求解即可．【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則，由得：化簡(jiǎn)后得：曲線C：，故P點(diǎn)軌跡為圓，又可化為直線l過定點(diǎn)A(1，2)，則圓心到直線的距離的最大值為|OA|，此時(shí)|MN|的長(zhǎng)度最短．所以|MN|的最短長(zhǎng)度為．故選：C.2．（2022·寧夏·高三期中（理））在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，為曲線上異于極點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且、、成等比數(shù)列．求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；【答案】【分析】設(shè)、，由已知條件可得出，又由點(diǎn)在曲線上可得出，即可得出點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足的極坐標(biāo)方程，化為普通方程即可；【詳解】解：設(shè)、，則由、、成等比數(shù)列可得，即，，又滿足，即，所以，，故的直角坐標(biāo)方程為．3．（2022·山東濰坊·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【答案】且；【分析】令，可得線段為直徑的圓心為，利用兩點(diǎn)距離公式及兩圓的內(nèi)切關(guān)系列方程并化簡(jiǎn)，即可得軌跡方程.【詳解】令，又在圓內(nèi)，且圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切，所以線段為直徑的圓心為，則，整理有，則，所以，又是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，故，故的軌跡方程為且.【題型2】相關(guān)點(diǎn)法【解題技巧】相關(guān)點(diǎn)法：若軌跡點(diǎn)P（x,y）與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)Q（x0,y0）有關(guān)聯(lián)，則可先列出關(guān)于x、y,x0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。該方法也可拓展到極坐標(biāo)系下，按相似處理方式完成。注：若線段存在倍分關(guān)系，一般情況采用直角坐標(biāo)系下的相關(guān)點(diǎn)處理；若存在旋轉(zhuǎn)變換，一般可在極坐標(biāo)系下進(jìn)行相關(guān)點(diǎn)處理。知識(shí)儲(chǔ)備：重心坐標(biāo)公式；向量的運(yùn)算公式；極坐標(biāo)系的相關(guān)運(yùn)算等?！镜淅治觥坷?．（2022·福建福州模擬預(yù)測(cè)）圓：與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)在圓上，故有，設(shè)，根據(jù)題意得，，再代入圓即可求解；（1）設(shè)點(diǎn)在圓上，故有，設(shè)，又，可得，，即，代入可得，化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)的軌跡方程為：.例2．（2022·黑龍江·哈爾濱模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)為10的線段的兩個(gè)端點(diǎn)，分別在軸和軸上滑動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若，則，由為AB中點(diǎn)，得到，代入方程，即可的M的軌跡方程.【詳解】由題意，若，則，∴設(shè)，即，有，∴，得.故選：D.例3．（2022·成都市·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為（

）A．(y≠0)B．＋y2＝1(y≠0)C．＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)【答案】C【解析】設(shè)P(x0，y0)，G(x，y)，利用三角形的重心的坐標(biāo)公式可得，將其代入可得結(jié)果.【詳解】依題意知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x0，y0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標(biāo)公式可得，即，將其代入得重心G的軌跡方程為＋3y2＝1(y≠0)．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心的坐標(biāo)公式，考查了用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.相關(guān)點(diǎn)法也可拓展到極坐標(biāo)體系下，如例4例4．（2022·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）在極坐標(biāo)系下，設(shè)點(diǎn)為曲線：在極軸上方的一點(diǎn)，且，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．求曲線的參數(shù)方程；【答案】(1)，其中為參數(shù)；(2)，【分析】先將曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)系中的方程，再利用圓的參數(shù)方程即可得解；使用代入法求軌跡方程,設(shè)為，設(shè)為，再根據(jù)題意可得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入，從而得點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．【詳解】（1）曲線：，，，，在直角坐標(biāo)系中，曲線是以為圓心，為半徑的圓，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)；（2）設(shè)為，則，且，設(shè)為，則根據(jù)題意可得：，，又，且，，，，，點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，．【變式演練】1．（2022·廣東·高三專題練習(xí)）設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，且，，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，據(jù)，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)，由，可得，則，解得，因?yàn)?，可得，?故選：A.2．（2022·青?！ず|模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），P是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，Q點(diǎn)的軌跡為曲線．求的直角坐標(biāo)方程；【答案】【分析】設(shè)，由得到，再根據(jù)P點(diǎn)在上求解；(1)解：設(shè)，則．因?yàn)镻點(diǎn)在上，所以，即（為參數(shù)），則的直角坐標(biāo)方程為．3．（2022·湖北高考模擬）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．求曲線C的軌跡方程；【答案】；【詳解】設(shè)點(diǎn)，，依題意，，且，所以，且即且由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為【題型3】定義法【解題技巧】定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（圓錐曲線的定義），再從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程。知識(shí)儲(chǔ)備：圓：（動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值）；橢圓：（動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值）；雙曲線：（動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差為定值）；拋物線：（動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等）?！镜淅治觥坷?．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線l垂直平分FN，交于點(diǎn)M.求點(diǎn)M的軌跡方程；【答案】【分析】由題意得，結(jié)合拋物線的定義即可求得點(diǎn)M的軌跡方程；【詳解】由題意得，即動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡方程為；2．（2022·貴州·高三開學(xué)考試（理））已知定點(diǎn)，圓，過R點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)過R點(diǎn)作直線交SM于Q點(diǎn).求Q點(diǎn)的軌跡方程；【答案】;【分析】利用,,可以推出,根據(jù)可知:動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,進(jìn)而可以寫出Q點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖:因?yàn)?,所以,所以,根據(jù)橢圓的定義知:動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,這里,所以點(diǎn)的軌跡方程為:.3．（2022·安徽·合肥模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，由雙曲線定義可得；【詳解】由題知，所以由雙曲線定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程3．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)，，是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，坐標(biāo)為，根據(jù)題意，先求出點(diǎn)的軌跡方程；再設(shè)，根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，進(jìn)而可求出軌跡方程.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，坐標(biāo)為，則在中，.又因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，依垂徑定理，在中，.又，所以有，即.因此點(diǎn)在一個(gè)圓上，而當(dāng)在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.代入方程，得.整理，得，這就是所求的軌跡方程.【點(diǎn)睛】本題主要考查求點(diǎn)的軌跡方程，熟記求軌跡方程的方法即可，屬于?？碱}型.【變式演練】1．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，，T是圓M上任意一點(diǎn)，線段NT的垂直平分線與半徑MT相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)果；【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Q為線段NT的垂直平分線與半徑MT的交點(diǎn)，所以，所以,所以點(diǎn)Q的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，在橢圓中，，，所以求曲線C的方程為.2．（2022·內(nèi)蒙古·三模）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【分析】根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；【詳解】解：因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；3．（2021·山東煙臺(tái)·高三期中）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸和y軸上滑動(dòng)．求線段的中點(diǎn)C的軌跡方程；【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離為定值2，得出點(diǎn)C在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，寫出圓的方程即為點(diǎn)C的軌跡方程；【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，它到原點(diǎn)O的距離為定長(zhǎng)，即的斜邊上的中線長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，所以點(diǎn)C的軌跡方程是．【題型4】參數(shù)法（交軌法）【解題技巧】參數(shù)法（交軌法）：如果不易直接找出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把x，y聯(lián)系起來．其實(shí)某種意來說，交軌法也可看作參數(shù)法?！镜淅治觥坷?．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1：y＝k1x和l2：y＝k2x與拋物線y2＝2px（p＞0）分別相交于A，B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點(diǎn)，且．求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；【答案】【分析】聯(lián)立方程，求出，，表達(dá)出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消去參數(shù)，求出軌跡方程；【詳解】聯(lián)立，解得：，把代入得：，所以，同理可得：，則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，消去得：所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為例2．（2022·福建漳州模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，直線過點(diǎn).若與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】，（且）【分析】解法一：設(shè)，，，不妨令，由已知可得，由，得，求出由韋達(dá)定理代入，進(jìn)而求出點(diǎn)的軌跡方程.解法二：設(shè)，，，不妨令，由已知可得，設(shè)，解得，由韋達(dá)定理代入，進(jìn)而求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】解法一：設(shè)，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，且，，.由，得，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.解法二：設(shè)，，，不妨令，∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，且，，.∵點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴.∵，且，∴，且，∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.例3．（2022·河南洛陽·三模（理））在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線.求曲線的普通方程；【答案】，【分析】消去參數(shù)得到直線、的普通方程，聯(lián)立兩方程消去，即可得到的軌跡；【詳解】解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為①，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為②，設(shè)，由①②聯(lián)立得，消去得即曲線的普通方程為，；【變式演練】1．（2022·河南·高三課時(shí)練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)A，B分別是它的左、右頂點(diǎn)，一條垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，看作P，Q兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)B，求直線與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)，則，寫出直線和直線方程，利用消去和即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，則，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，所以直線的方程為：直線的方程為：，所以，又，所以，即，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程是.2．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點(diǎn)斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)P點(diǎn)的軌跡方程為【分析】（1）根據(jù)題意可得求解即可；（2）聯(lián)立直線方程結(jié)合求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】(1)根據(jù)題意可得，解得∴求橢圓C的方程為（2）根據(jù)題意可得直線AE：，BF：聯(lián)立方程，解得∴P點(diǎn)的軌跡方程為3．（2022·成都七中高三模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ設(shè)O為橢圓的中心，點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交橢圓于另一點(diǎn)B，直線l上的點(diǎn)C滿足．，求直線BD與OC的交點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【分析】（1）利用橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合求出C的坐標(biāo)，寫出BD、OC的直線方程，利用消參法求軌跡.【解析】因?yàn)闄E圓的離心率，且，所以.又.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)直線的方程為（當(dāng)存在時(shí)，由題意），代入，并整理得.解得，于是，即.設(shè)，則.由已知得，得，解得，于是.又，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的方程為.又由點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程為.兩式相乘，消去參數(shù)得.（如果只求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，此步不得分）又當(dāng)不存在時(shí)，四點(diǎn)重合，此時(shí)也滿足題意.故直線與的交點(diǎn)的軌跡方程.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線過定點(diǎn)，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．【題型5】點(diǎn)差法【解題技巧】點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題一般可用點(diǎn)差法，基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2,y1+y2,x1x2,y1y2等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足2x=x1+x2,2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程?！镜淅治觥坷?．（2022·全國·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)圓的方程為x2＋y2＝4，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】x2＋(y)2＝.【分析】先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，將A,B點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，兩式相減，可得，再由已知條件求出軌跡方程．【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因?yàn)锳、B在圓上，所以，，兩式相減得，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.當(dāng)x1≠x2時(shí)，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0，①并且②將②代入①并整理得x2＋(y－)2＝.③當(dāng)x1＝x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0,2)、(0，－2)，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)也滿足③.所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋(y－)2＝.點(diǎn)睛：本題主要考查了用“點(diǎn)差法”求軌跡方程，屬于中檔題．用“點(diǎn)差法”求軌跡方程步驟：先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程中，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式求出軌跡，注意特殊情況是否符合．例2．（2022·貴州·高三期末）直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題，是解析幾何重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.引理

設(shè)、是二次曲線上兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，且弦的斜率存在，則……（1）……（2）由（1）（2）得，∵，，∴，∴，∴，∴直線的斜率.二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等．請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：已知橢圓.（1）求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程;（2）過點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減，再根據(jù)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)求得直線AB的斜率即可.（2）由題意知：割線的斜率存在，設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得：再根據(jù)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)求得直線AB的斜率，再結(jié)合求解.【詳解】（1）設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得：，∵，，∴，∴，∴直線的斜率.直線AB的方程為，即.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，成立.（2）由題意知：割線的斜率存在，設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得：，∵，，∴，∴，∴直線的斜率又，所以，化簡(jiǎn)得：，所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)方法是先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．【變式演練】1．（2022·山東·高三專題練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)作一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求弦的中點(diǎn)軌跡方程.【答案】.【分析】方法1：利用點(diǎn)差法，設(shè)點(diǎn)作差，要考慮斜率不存在的情況；方法2：可設(shè)出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消參即可得軌跡方程，同時(shí)要考慮斜率不存在的情況.【詳解】方法1：設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，.因?yàn)閮墒较鄿p，得.所以，即，即.當(dāng)直線斜率不存在，即軸時(shí)，的中點(diǎn)為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），由得.所以所以.設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，.所以.所以消去參數(shù)，得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即軸時(shí)，的中點(diǎn)為，適合上式，故所求軌跡方程為.2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【分析】①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)、、，，利用點(diǎn)差法求解；②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，易知，驗(yàn)證即可；【詳解】解：①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)、、，，則應(yīng)用點(diǎn)差法：，兩式聯(lián)立作差得：，∴，又∵，∴，化簡(jiǎn)得（），②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；1．（2022·浙江高三期中）《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對(duì)的．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離的比是常數(shù)．若某條直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓：沒有公共點(diǎn)C．直線：為成雙直線D．若直線與點(diǎn)的軌跡相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上不同于，的一點(diǎn)，且直線，的斜率分別為，，則【答案】C【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，列出方程，化簡(jiǎn)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將與聯(lián)立后，由根的判別式得到，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓：有兩個(gè)公共點(diǎn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將與聯(lián)立后，由根的判別式進(jìn)行求解得到直線：上存在這樣的點(diǎn)，C正確；D選項(xiàng)，聯(lián)立與聯(lián)立，求出坐標(biāo)，設(shè)，結(jié)合斜率公式得到.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，故，化簡(jiǎn)得：，兩邊平方得：，解得：，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，A錯(cuò)誤；將與聯(lián)立得：，則，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓：有兩個(gè)公共點(diǎn)，B舍去；將與聯(lián)立得：，由，故直線：上存在這樣的點(diǎn)，故直線：為成雙直線，C正確；聯(lián)立與聯(lián)立，，解得：，故，不妨設(shè)，，故，則，將代入上式，，D錯(cuò)誤.故選：C2．（2022·山東·高三單元測(cè)試）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于，則下列說法正確的是（

）（多選題）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)）C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓（除去點(diǎn)，）上運(yùn)動(dòng)D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)所在的橢圓的離心率隨著的增大而增大【答案】BC【分析】由題知點(diǎn)的軌跡為，再結(jié)合橢圓，雙曲線，圓的方程依次判斷各選項(xiàng)即得答案.【詳解】解：設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)），A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，方程為，則點(diǎn)C在圓（除去點(diǎn)，）上運(yùn)動(dòng)，C正確；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)），則離心率，此時(shí)e隨著m的增大而減小，D錯(cuò)誤．故選：BC．3．（2022·重慶·高三專題練習(xí)（理））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且滿足，點(diǎn)N的軌跡為.求的直角坐標(biāo)方程；【答案】；.【分析】設(shè)點(diǎn)N的極坐標(biāo)為，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為.由已知可得，將其代入整理可得點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，進(jìn)而化為直角坐標(biāo)方程；【詳解】設(shè)點(diǎn)N的極坐標(biāo)為，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為.由得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，則，即.故的直角坐標(biāo)方程為.4．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.記的軌跡為.求的方程；【答案】；【分析】設(shè)，則，，，根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)求出結(jié)果即可；【詳解】解：設(shè)，則，，,，.，即，的軌跡為的方程為.5．（2022·福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的頂點(diǎn)，，滿足：．記點(diǎn)C的軌跡為曲線，求的軌跡方程；【答案】【分析】設(shè)，用坐標(biāo)表示，即可整理出的軌跡方程；設(shè)，則，整理得，故的軌跡方程為；6．（2022·北京·高三期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；【答案】；【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn)整理可得；設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為；7．（2022·黑龍江·哈爾濱市高三階段練習(xí)）若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，一個(gè)焦點(diǎn)是，直線l：，P是l上的一點(diǎn)，射線OP交橢圓C于點(diǎn)R，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，又點(diǎn)Q在射線OP上，且滿足．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)P點(diǎn)在直線l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)P，O，R的坐標(biāo)分別為，，，由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，可得，求出，再根據(jù)化簡(jiǎn)整理即可得出答案.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：設(shè)點(diǎn)P，O，R的坐標(biāo)分別為，，，由題設(shè)知，，由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，得方程組，解得①，②，由點(diǎn)O、Q、P共線，得，即③，因?yàn)?，所以，則，將①、②、③式代入上式，整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為．8．（2022·湖南·三模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知是曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求曲線的極坐標(biāo)方程；【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（2）2【分析】先求出曲線和的直角坐標(biāo)方程，再化成極坐標(biāo)方程；【詳解】由題得曲線的直角坐標(biāo)方程為，由題知點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所以曲線的方程為．，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．9．（2022·河南鄭州·三模（理））在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求曲線，的極坐標(biāo)方程；【答案】；【分析】（1）利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化關(guān)系求的極坐標(biāo)方程，利用代入法求的極坐標(biāo)方程；由題意可知，將代入得，則曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，由得，即，將代入得，所以點(diǎn)軌跡曲線的極坐標(biāo)方程為；10．（2022·龍泉中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1);【分析】設(shè)，則，根據(jù)向量表達(dá)式，表示出的坐標(biāo)關(guān)系式，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡．解：設(shè)，則，所以，由，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，代入得，?即為的軌跡的方程為；11．（2022·福建廈門高三階段練習(xí)）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0【分析】（1）設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入已知圓方程可得結(jié)論；（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，由，再由可得軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2，2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y).在中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，如圖，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.12．（2022·廣東佛山·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的周長(zhǎng)為8，記點(diǎn)的軌跡為曲線．求的方程；【答案】（）【分析】定義法求軌跡方程；【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，四邊形的周長(zhǎng)為8，所以，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓（去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)），設(shè)其方程為其中半焦距，所以所以曲線的方程為（）13．（2022·黑龍江·哈爾濱模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切.求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程；【答案】【分析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，得到，得到，根據(jù)橢圓的定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得橢圓的方程；【詳解】解：由題意，圓：，圓：，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，可得，兩式相加，根據(jù)橢圓的定義可得，動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.14．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．求曲線E的方程；【答案】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解；解：依題意，P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與的距離之差的絕對(duì)值為．即，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡E是以為焦點(diǎn)，其中，所以，則，所以軌跡的方程為．15．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2，記的軌跡為．求的方程；【答案】(1)【分析】利用點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2，可知到直線的距離等于到的距離，可知其軌跡為拋物線，寫出拋物線方程.解：由題意得：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2所以到直線的距離等于到的距離所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，方程為16．（2022·福建漳州·三模）已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓，圓都外切．圓心P的軌跡為曲線C。求C的方程；【答案】【分析】由動(dòng)圓與兩定圓外切得到圓心距與半徑之間的關(guān)系，作差后得到動(dòng)圓圓心的軌跡符合雙曲線的定義，由已知求出實(shí)半軸和焦半距，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程可求圓的圓心為（2，0），半徑為圓的圓心為（2，0），半徑為設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓，圓都外切所以所以所以點(diǎn)P在以，為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支上，設(shè)雙曲線的方程為所以，所以注意圓與圓外切于點(diǎn)（1，0），P不可能為（1，0），所以C的方程為17．（2022.成外高三期末模擬）如圖所示，已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角的角平分線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程?！敬鸢浮俊窘馕觥垦娱L(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接是的外角的角平分線，且在中，且為線段的中點(diǎn)又為線段的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理得：根據(jù)橢圓的定義得：點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡方程：18．（2022·廣西·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)出直線的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出，利用直線方程表示出，然后利用求得的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k，求得x和y的關(guān)系式，即為P點(diǎn)軌跡方程．試題解析：直線過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組

的解．將①代入②并化簡(jiǎn)得，，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得

③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為19．（2022·廣東·深圳市高三期中）已知圓：.過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】，【答案】設(shè)直線，，中點(diǎn)，聯(lián)立直線方程和圓的方程，利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得軌跡.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，中點(diǎn)聯(lián)立，消去得，則，解得或，，則，消去得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為，符合，故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為，.20．（2022·貴州·貴陽高三階段練習(xí)（理））在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(m為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(n為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)t變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.寫出C的普通方程；【答案】；【分析】消去參數(shù)得出l1和l2的普通方程，再消去即可得出C的普通方程；【詳解】解∶由直線l1的參數(shù)方程消去參數(shù)可得直線的普通方程為，由直線l2的參數(shù)方程消去參數(shù)可得直線l2的普通方程為，消去t得，即C的普通方程為.1．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.求的方程；【答案】；【分析】利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；【詳解】(1)因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.2．（2014·湖北·高考真題（文））在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.求軌跡為的方程【答案】（1）；【分析】設(shè)點(diǎn)，據(jù)條件列出等式，在用兩點(diǎn)間的距離公式表示，化簡(jiǎn)整理即得；【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，整理的，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.3．（2012·四川·高考真題如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程；【答案】（）【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式即可列方程求解軌跡方程，設(shè)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．于是且.此時(shí)，的斜率為，的斜率為.由題意，有，化簡(jiǎn)可得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（且）4．（2018·全國·高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)．（1