專題33函數(shù)的單調(diào)性（基礎(chǔ)）

專題3.3函數(shù)的單調(diào)性知識點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)知識點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．知識點三函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點的縱坐標(biāo)知識點四求函數(shù)最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值．2．運用已學(xué)函數(shù)的值域．3．運用函數(shù)的單調(diào)性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明(1)取值并規(guī)定大?。涸O(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2；(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等方法，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；(3)定號：確定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符號，當(dāng)符號不確定時，進(jìn)行分類討論．(4)結(jié)論：根據(jù)定義確定單調(diào)性．用單調(diào)性定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求在區(qū)間，上的最值．【解答】解：設(shè)，則，，，，，，即函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)．的最大值為（3），的最小值為（6）．已知函數(shù)，．用定義法證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；【解答】證明：任取，則，（4分）因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增；（6分）已知函數(shù)（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；【解答】解：函數(shù)，任取、，且，；又，；，當(dāng)時，，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，，是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)；利用定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【解答】解：在區(qū)間上，可以設(shè)可得，，又，，，，在區(qū)間上為增函數(shù)，同故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解．(2)利用函數(shù)的圖象提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”號函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是A． B． C．，， D．和【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為其導(dǎo)數(shù)，分析可得：當(dāng)時，，即函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為減函數(shù)；綜合可得：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和；故選：．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．【解答】解：函數(shù)，可得函數(shù)的增區(qū)間為和．故答案為：和．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，．【解答】解：畫出函數(shù)圖象如圖，，可得，，由圖知函數(shù)的增區(qū)間為，和，，故答案為：，和，．下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故錯誤；對于，函數(shù)，是勾型函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故正確；對于，，是二次函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故正確；對于，函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，故錯誤；故選：．已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和．【解答】解：時，，對稱軸，開口向上，在遞增，時，，對稱軸，開口向下，在遞增，函數(shù)的遞增區(qū)間是：和，故答案為：和．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．故選：．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，若（a），那么的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)在上是減函數(shù)且（a），，解得，故選：．已知是定義在，上的減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解答】解：因為是定義在，上的減函數(shù)，且，所以，解得．故選：．已知函數(shù)是定義域為的遞減函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B．，， C． D．，，【解答】解：因為，所以，，因為，即，即，因為函數(shù)是定義域為的遞減函數(shù)，所以，解得或．故選：．圖象法求函數(shù)的最值(值域)圖象法求函數(shù)最值的一般步驟設(shè)函數(shù)，（1）畫出這個函數(shù)的圖象；（2）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；（3）求函數(shù)的值域．【解答】解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖．（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，，，，，，，．在區(qū)間，和，上為減函數(shù)，在，，，上為增函數(shù)．（3）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為（3）；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為．故函數(shù)的值域為，．已知定義在，上的函數(shù)的圖象如圖所示．（1）寫出的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，解得，的取值范圍為，．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值．(4)如果函數(shù)定義域為閉區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值分別是A．，1 B．1， C．，1 D．1，【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值（2），當(dāng)時，取最小值（6），故選：．對于任意的實數(shù)，已知函數(shù)，則的最大值是A． B． C．1 D．2【解答】解：函數(shù)的圖象如下所示：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（1）．故選：．函數(shù)的最大值為A．2 B．4 C．3 D．1【解答】解：①若，；②，，；③，，綜上，故選：．設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值分別為，，則A．4 B．6 C．10 D．24【解答】解：因為，所以在，上是減函數(shù)．所以（4），（3）．所以．故選：．已知函數(shù)．（1）用定義法證明在上是增函數(shù)；（2）求該函數(shù)在區(qū)間，上的最大值與最小值．【解答】解：（1）證明：函數(shù)．，設(shè)，則，，，，，，即．故在上是增函數(shù)；（2）根據(jù)（1）可知在區(qū)間上是增函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)；可得的最小值為（2），最大值為（6）．已知函數(shù)．（1）用定義法證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最值，并說明取最值時的值．【解答】（1）證明：任取，則，，，，，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知在區(qū)間，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值為（2），當(dāng)時，取得最大值為（5）．分類討論求二次函數(shù)的最值(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時要注意這兩個因素．(2)利用二次函數(shù)圖象，進(jìn)行分類討論，提升直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．已知函數(shù)．①若函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，；②若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，則實數(shù)的值為．【解答】解：函數(shù)的對稱軸為，①由題意可得，則，所以實數(shù)的范圍為，；②由題意可得，則故答案為：，；．若函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：由于函數(shù)的對稱軸方程為，又由函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故有，求得，故答案為：，．已知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，可得．即，．故答案為：，．已知在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是．【解答】】解：函數(shù)的對稱軸為：，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，解得，故答案為：．1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A．， B．， C．， D．【解答】解：當(dāng)時，為增函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時，為減函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：．二．多選題（共1小題）2．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，，可以由函數(shù)的圖象向左平移一個單位，向上平移2個單位得到，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，必有且，解可得：且，故選：．三．填空題（共5小題）3．函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性是單調(diào)遞增．（填寫“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，是開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故答案為：單調(diào)遞增．4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，為二次函數(shù)，其對稱軸為，必有，解可得，即的取值范圍為，；故答案為：，．5．的單調(diào)減區(qū)間為，．【解答】解：的定義域是，，函數(shù)可看作由和復(fù)合而成的，在上遞增，在上遞減，且在，遞增，在上遞增，在上遞減，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故答案為：，．6．已知函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且、．若的最小值為2，則函數(shù)的解析式為．【解答】解：設(shè)，由，可得，，二次函數(shù)的對稱軸，即，由的最小值為2可得二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可得，解得，，故得的解析式為：．故答案為：．7．若函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：對稱軸，函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)，則對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，則或者；即或，實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．四．解答題（共7小題）8．已知函數(shù)，若不等式的解集為，．（1）求實數(shù)的值；（2）證明函數(shù)在，上是增函數(shù)．【解答】解：（1）由題意，變形，這等價于且，解得或，所以，解得．（2）由（1）得，任取，，，且，則，那么，，，，函數(shù)在，上是增函數(shù)．9．已知函數(shù)．（1）求在上的最小值，并求此時的值；（2）設(shè)，由定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)．【解答】（1）解：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以在上的最小值為3，此時．（2）證明：，任取，，由，可得，，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)．10．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)有2個零點，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．（Ⅱ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，沒有零點，不符合題意；②當(dāng)時，的草圖如下：若函數(shù)有兩個零點，則或（a），解得或．③當(dāng)時，的草圖如下：若函數(shù)有兩個零點，則（a），解得，綜上所述，的取值范圍為：，，．11．已知．（1）若且在內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．（2）在（1）的條件下，函數(shù)，，的圖象都在直線上方，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）任取，，且，則，在內(nèi)單調(diào)遞減，，又，，在上恒成立，，的取值范圍為：，；（2）函數(shù)，，的圖象都在直線上方，在，上恒成立，即在，上恒成立，又，，當(dāng)時，時，函數(shù)取最大值，最大值為10，，實數(shù)的取值范圍為：．12．已知函數(shù)（1）在圖1給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖象；（2）寫出的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性；（3）寫出函數(shù)的最大值和最小值．【解答】解：（1）圖象如圖所示：（2）由圖象可知，函數(shù)在，和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（3）由圖象可知，函數(shù)的最大值為3，最小值為．13．已知函數(shù)，其中（Ⅰ）當(dāng)時，寫出函數(shù)的減區(qū)間．（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上既