專題04立體幾何

專題04立體幾何立體幾何解答題是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，該考點(diǎn)命題相對(duì)穩(wěn)定，難度中等，是考生必須突破的核心內(nèi)容之一.高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題，主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的方式，在命題上一般包含小問(wèn)，會(huì)涉及到空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與探究，特別是平行與垂直關(guān)系的證明；空間角(包括異面直線夾角、直線與平面所成角和二面角)或空間距離(包括空間幾何體的體積、表面積和點(diǎn)到平面的距離等)的計(jì)算.立體幾何在解題能力方面的要求是：在數(shù)學(xué)思想上，一般涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想；在解題方法上，一般涉及幾何法、向量法，往往是兩種方式相結(jié)合進(jìn)行處理.一、線線角、線面角、二面角、距離問(wèn)題例1.如圖，在直三棱柱中，D、E分別是棱、上的點(diǎn)，，．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面ABC所成的角為45°，且，求二面角的正弦值．【解析】(1)解：取中點(diǎn)，AB中點(diǎn)O，連交于F，連，，則，∵，∴，∴是平行四邊形，∴，∵，∴．又平面平面，交線為，∴平面，∴平面，又平面，∴平面平面．(2)由（1）知，OC、OB、兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取上一點(diǎn)M，使，連AM，則，又平面ABC，與平面ABC所成角為，∴，∴，不妨設(shè)，則，，，，∴，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，取，得，平面的一個(gè)法向量，，∴二面角的平面角的正弦值為．本類試題一般分兩種設(shè)問(wèn)方式，一種是直接求解空間角或空間距離；另外一種是已知空間角或者空間距離，求解相關(guān)幾何量的大小..解決這類問(wèn)題一般需要先根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)數(shù)學(xué)抽象將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，找到關(guān)鍵量的坐標(biāo)表示(需引入?yún)?shù)，但要求盡可能少的參數(shù)，一般可以用共線向量處理)，再用待定系數(shù)的方法進(jìn)行直接運(yùn)算，求解函數(shù)或方程，得出參數(shù)的具體值，最后還原到幾何體中求解相應(yīng)的幾何量.1.三棱錐中，，平面平面，，，分別為和的中點(diǎn)，平面平面.（1）證明：直線；（2）設(shè)直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，則在直線上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，又∵面，面∴面，又∵面，面面，∴（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，可求得面法向量設(shè)與面所成角為，則∵∴∴即存在滿足題意，此時(shí).1.【2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)】如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，O為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大小；（3）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）在中，，O為中點(diǎn)，∴，又側(cè)面底面，平面平面，平面，∴平面．（2）如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，易得，，，，．∴，，∴異面直線與所成角是．（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面的距離為．由（2）知，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，即，取，得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)，，，由，得，解得或（舍去），此時(shí)，，∴存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí)．1．【2021·全國(guó)·高考真題】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【解析】（1）因?yàn)椋琌是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角．因?yàn)?，所以．由已知得，故．又，所以．因?yàn)椋甗方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.二、翻折問(wèn)題例2.如圖，四邊形ABCD中，，，，沿對(duì)角線AC將△ACD翻折成△，使得.(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【解析】(1)取中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)椋訣F是的中位線，故∥，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面BEF，因?yàn)槠矫鍮EF，所以，由三線合一得：(2)因?yàn)闉榈冗吶切裕?，由第一?wèn)可知：，從而，由三線合一得：，取AB的中點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AB交AC于點(diǎn)G，連接，從而，故為二面角的平面角，由勾股定理得：，從而，，由可得：，由勾股定理得：，因?yàn)?，在中，由余弦定理得：，故，又，在中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值?翻折問(wèn)題主要包含兩大問(wèn)題：平面圖形的折疊與幾何體的表面展開(kāi).這兩種方式的轉(zhuǎn)變正是空間幾何與平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，展開(kāi)與折疊問(wèn)題就是一個(gè)由抽象到直觀，由直觀到抽象的過(guò)程.解決翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)翻折前后不變量及不變性的把握，即將翻折前后的圖形進(jìn)行比較，弄清楚哪些角和長(zhǎng)度變了，哪些沒(méi)變(可以觀察各面的位置關(guān)系變化，同一面上的邊角基本不會(huì)變)；哪些點(diǎn)、線共面，哪些不共面；翻折后的線與原來(lái)的線有什么關(guān)系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直線.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，，將平面ABD沿BD翻折得到四面體A'﹣BCD，點(diǎn)E為棱A'B的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥A'C于點(diǎn)F，當(dāng)四面體A'﹣BCD的體積最大時(shí)．（1）證明：EF⊥A'C；（2）求點(diǎn)B到平面DEF的距離．【解析】證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，AB＝，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD為等腰直角三角形，且AD⊥BD，∴BC⊥BD，設(shè)點(diǎn)A′到面BCD的距離為h，則，∴當(dāng)四面體A'﹣BCD的體積最大時(shí)，h最大，此時(shí)h＝A′D，即A′D⊥面BCD，∵BC?面BCD，∴A′D⊥BC，∵BD⊥BC，BD∩A′D＝D，BD，A′D?面A′BD，∴BC⊥面A′BD，∵DE?面A′BD，∴BC⊥DE，∵A′D＝BD，E為A′D中點(diǎn)，∴DE⊥A′B，∵A′B∩BC＝B，A′B，BC?面A′BC，∴DE⊥面A′BC，∵A′C?面A′BC，∴DE⊥A′C，∵DF⊥A′C，DF∩DE＝D，DF，DE?面DEF，∴A′C⊥面DEF，∵EF?面DEF，∴EF⊥A′C．解：（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥A′B交A′B于點(diǎn)H．由（1）知DE⊥面A′BC，∵EF?面A′BC，∴DE⊥EF，∵A′D＝BD＝1，∴AB＝，∵E是A′B的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝，在Rt△A′BC中，EF＝，A′F＝，∴FH＝，設(shè)點(diǎn)B到面DEF的距離為d′，則VB﹣DEF＝VD﹣BEF，∴，d′＝．2.【2022·重慶·一?！咳鐖D，在平面四邊形中，，將沿翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，二面角的平面角等于，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫妫?2)（法一）因?yàn)?，所以是二面角的平面角，即，在中，，設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離，，設(shè)P點(diǎn)到平面的距離為,因?yàn)?，所以，所以，設(shè)直線與平面所成角為.（法二）因?yàn)椋允嵌娼堑钠矫娼?，即，在中，，因?yàn)槠矫?，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得，令，得，令直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.2．【2018·全國(guó)·高考真題（理）】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由已知可得，，，又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）作，垂足為.由（1）得，平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得.則為平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.三、存在性問(wèn)題例3.如圖，在四棱錐中，已知底面，，異面直線與所成角等于.(1)求證：平面平面(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的切值為？若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)證明：底面，又平面，平面平面，平面平面.(2)解：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為，設(shè)，且，則，，設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量為，，則，取，得，平面的法向量，平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為，平面PAB與平面BDE所成銳二面角的余弦值為，，解得或（舍），在棱上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為為棱上靠近的三等分點(diǎn).解決存在性問(wèn)題主要有以下方法：(1)幾何法，即分析法與綜合法并用，一般先假設(shè)存在，借助相應(yīng)的性質(zhì)定理進(jìn)行分析推理，得出結(jié)論.若存在，再用判定定理證明，即先猜后證；若不存在，則用反證法證明.(2)向量法，即建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用假設(shè)存在符合題意的條件，結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程.若方程有解，則存在；若方程無(wú)解或者所求不符合題意，則不存在.3.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點(diǎn)，______．從①；②平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)解：選擇①：證明：平面，平面，，，因?yàn)椋?，，，，，平面，平面，平面，，，，四邊形是直角梯形．選擇②：證明：平面，平面，，，，，，，，，平面，平面，平面，，，四邊形是直角梯形．(2)解：過(guò)作的垂線交于點(diǎn)，平面，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，1，，設(shè)直線與平面所成角為，則，．直線與平面所成角的正弦值為．(3)解：設(shè)，則，，，，，，，，平面，，，解得．故存在點(diǎn)F，且．3.【2022·湖南岳陽(yáng)·一模】如圖，在三棱錐中，，．(1)證明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若，，試問(wèn)在線段SC上是否存在點(diǎn)D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°，若存在，請(qǐng)求出D點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)法一證明：取AB的中點(diǎn)E，連接SE，CE，∵，∴，因?yàn)樗匀切蜛CB為直角三角形，所以又所以所以所以又，，∴平面ABC．又平面SAB，∴平面平面ABC．法二、作平面ABC，連EA，EC，EB，EA，EC，EB都在平面ABC內(nèi)所以，，又所以因?yàn)樗匀切蜛CB為直角三角形，所以E為AB的中點(diǎn)則平面SAB，∴平面平面ABC．(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行AC的直線為x軸，平行BC的直線為y軸，ES為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)，，則，知，則，，，，，∴，，設(shè)，，則，∴，．設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為則，取，得，，則，得，又∵，方程無(wú)解，∴不存在點(diǎn)D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°3．【2016·北京·高考真題（理）】如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平?所以.又因?yàn)椋云矫?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).四、開(kāi)放性問(wèn)題例4.如圖，在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)證明：如圖所示：連接，，取的中點(diǎn)為M，連接，ME，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以B，E，，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)，由已知，，，則，，，設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則，即，取，則；設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為，則，即，取，則；因?yàn)槠矫嫫矫鍮EF，所以，所以，所以.所以存在滿足題意的點(diǎn)G，使得平面平面BEF，DG的長(zhǎng)度為.開(kāi)放性問(wèn)題相對(duì)于存在性問(wèn)題而言，有其結(jié)論的多樣性，即結(jié)論的不確定性.如果結(jié)論是肯定的，需要通過(guò)推理論證或者轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算進(jìn)行說(shuō)明；如果是否定的，則需要得出矛盾，利用反證法或者通過(guò)數(shù)量關(guān)系的矛盾性解決.4.如圖，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷直線與平面是否相交，如果相交，求出到交點(diǎn)的距離；如果不相交，求直線到平面的距離．【解析】(1)證明：因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面?2)證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以兩兩互相垂?如圖以A為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.由，可知，，，，，則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，則，易知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.(3)由，得，因?yàn)?，所以與平面不平行，所以直線與平面相交，在四邊形中延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).點(diǎn)就是直線與平面的交點(diǎn)，易知，所以.4.【2022·湖南婁底·高三期末】如圖，在長(zhǎng)方體中，，．若平面APSB與棱，分別交于點(diǎn)P，S，且，Q，R分別為棱，BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)平面APSB與平面所成銳二面角為，探究：是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在和中，因?yàn)椋?，所以，,所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面?2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨設(shè)，其中，由（1）得，平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，則，若，則，解得，因?yàn)?，所以成立?．【2019·北京·高考真題（理）】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．【解析】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，，二面角FAEP的平面角為銳角，故二面角FAEP的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).五、立體幾何創(chuàng)新定義例5．（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．【解析】（1）取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)，，作平面，過(guò)三點(diǎn)，，作平面，因?yàn)?，，所以平面平面，再過(guò)點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面，，，依次相互平行，由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故，，，為所求平面．（2）如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體（如圖），分別取、、、的中點(diǎn)、、、，平面與是分別過(guò)點(diǎn)、的兩平行平面，若其距離為1，則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，若，因?yàn)?，，在直角三角形中，，所以，所以，又正四面體的棱長(zhǎng)為，所以此正四面體的體積為．“新定義”題型解題步驟解題時(shí)可以分這樣幾步：(1)對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號(hào)。(2)細(xì)細(xì)品味新定義的概念、法則，對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時(shí)可以尋求相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。(3)對(duì)定義中提取的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效的輸出，其中對(duì)定義信息的提取和化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)。如果是新定義的運(yùn)算、法則，直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可；若是新定義的性質(zhì)，一般就要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特值排除等方法。5.已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；（2）求四棱錐的體積，說(shuō)明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.【解析】（1）由題意＝48．，，∴，即．是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面．（2）由題意，，，，∴．∴，猜想：的絕對(duì)值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．5.【2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)】蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面