2025年春蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第7章綜合測(cè)試卷

年春蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第7章綜合測(cè)試卷一、選擇題(每小題3分，共24分)1．[2024高郵校級(jí)模擬]Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinA的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D．22．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝3，b＝4，c＝5，則cosA的值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,3)3.“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏．已知風(fēng)箏拉線長(zhǎng)100m且拉線與地面夾角為65°(如圖所示，假設(shè)拉線是直的，小明身高忽略不計(jì))，則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為()A．100sin65°B．100cos65°C．100tan65°D.eq\f(100,sin65°)4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝eq\r(6)，BC＝eq\r(3)，則∠A的度數(shù)為()A．30°B．45°C．60°D．75°5．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝eq\f(1,2)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定6．[2024深圳]如圖，為了測(cè)量某電子廠AB的高度，小明用高1.8m的測(cè)量?jī)xEF測(cè)得頂端A的仰角為45°，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得頂端A的仰角為53°，則電子廠AB的高度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈\f(4,5)，cos53°≈\f(3,5)，tan53°≈\f(4,3)))()A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m7．[2024常州江寧區(qū)模擬]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高線，設(shè)∠A，∠B，∠ACB所對(duì)的邊分別為a，b，c，則()A．c＝bcosA＋asinBB．c＝bsinA＋asinBC．c＝bsinA＋acosBD．c＝bcosA＋acosB8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，則cos∠CEF的值為()A.eq\f(\r(7),4)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,4)二、填空題(每小題3分，共30分)9．若2cosA＝1，則銳角∠A＝________°.10．[2024江陰校級(jí)期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則cosA的值為________．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(\r(3),2)，AC＝eq\r(3)，則BC的長(zhǎng)為________．12．[2024南通通州區(qū)月考]如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝2，AC＝3，則sinB的值是________．13．[2024蘇州高新區(qū)模擬]已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為eq\r(3)，則正六邊形的周長(zhǎng)為________．14.在△ABC中，AB＝AC＝2，BD是AC邊上的高，且BD＝eq\r(3)，則∠ACB的度數(shù)是________．15.圖①為《天工開物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖②為其平面示意圖．已知AB⊥CD于點(diǎn)B，AB與水平線l相交于點(diǎn)O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，則點(diǎn)C到水平線l的距離CF為________分米．(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示)16．[2024鹽城模擬]如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則sineq\f(∠ADC,2)的值是________．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，連接AE，交⊙O于點(diǎn)F，連接DF.已知tan∠DFE＝eq\f(3,4)，CE＝4，則AC＝________.18.定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，AC＝eq\r(3)，則AB的長(zhǎng)為________．三、解答題(共66分)19．(8分)計(jì)算：(1)[2024鹽城]|π－3|＋2sin30°－(eq\r(5)－2)0;(2)eq\f(sin60°－tan45°,tan60°－2tan45°)－eq\r(3)cos30°＋eq\r(2)sin45°.20．(8分)[2024蘇州工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考]在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知∠C＝90°，∠B＝60°，a＋c＝12，求a，b，c的值及∠A的度數(shù)．21．(8分)如圖，在△ABC中，BC＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∠C＝45°，AB＝eq\r(2)AC，求AC的長(zhǎng)．22．(8分)如圖，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，將三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)起始位置時(shí)的點(diǎn)B恰好落在邊A1B1上時(shí)，求A1B的長(zhǎng)．23．(8分)[2024東海一模]如圖①是一個(gè)手機(jī)支架，圖②是其側(cè)面示意圖．AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)測(cè)量，BC＝8cm，AB＝16cm.當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，求點(diǎn)C到AE的距離．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，eq\r(3)≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)24．(8分)[2024山東]【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離．【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具．【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B.測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60m，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.畫出示意圖，如圖①.【問題解決】(1)計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖②，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)點(diǎn)F，D，P在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量EF即可．(2)乙小組的方案用到了________．(填寫正確答案的序號(hào))①解直角三角形②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．25．(8分)[2024大慶]如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在⊙O上．連接CD，交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，CA相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BP于點(diǎn)G.(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA2＝PG·PB；(3)若sin∠APD＝eq\f(1,3)，PG＝6.求tan∠AGB的值．26．(10分)定義：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.例如：cos30°＝cos(60°－30°)＝cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).(1)cos15°＝________，sin90°＝________，sin2x＝________；(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b.求證tanA＝eq\f(sinA,cosA)；(3)利用(2)中的結(jié)論證明：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(1－tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0)．

答案一、1.C2.C3.A4.B5.B6.A7.D8.A二、9.6010.eq\f(\r(3),2)11.112.eq\f(3,4)13.1214．30°或60°15.(6－2eq\r(3))16.eq\f(\r(5),5)17.eq\f(25,3)18.eq\r(3)或1或3點(diǎn)撥：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四種情況討論：當(dāng)∠A＝2∠B＝90°時(shí)，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AB＝AC＝eq\r(3)；當(dāng)∠A＝2∠C＝90°時(shí)，同理可得AB＝AC＝eq\r(3)；當(dāng)∠B＝2∠C時(shí)，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠C＝30°，∠B＝60°.∵AC＝eq\r(3)，∴AB＝eq\f(AC,tanB)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1；當(dāng)∠C＝2∠B時(shí)，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠B＝30°，∠C＝60°.∴AB＝eq\r(3)AC＝3.綜上所述，AB的長(zhǎng)為eq\r(3)或1或3.三、19.解：(1)原式＝π－3＋2×eq\f(1,2)－1＝π－3＋1－1＝π－3.(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),2)－1,\r(3)－2×1)－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝0.20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.∴c＝2a.又∵a＋c＝12，∴3a＝12.∴a＝4.∴c＝8.∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).21．解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠ADC＝∠ADB＝90°.∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴∠C＝∠DAC.∴AD＝CD.設(shè)AC＝x，∵AD＝AC·sinC＝eq\f(\r(2),2)AC，∴AD＝CD＝eq\f(\r(2),2)x.∵AB＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)x，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r((\r(2)x)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)x.又∵BC＝BD＋CD，BC＝eq\r(6)＋eq\r(2)，∴eq\f(\r(6),2)x＋eq\f(\r(2),2)x＝eq\r(6)＋eq\r(2)，解得x＝2.∴AC的長(zhǎng)為2.22．解：∵在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，∴∠ABC＝60°，BC＝2eq\r(3)，AB＝4eq\r(3).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠B1＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝2eq\r(3)，A1B1＝AB＝4eq\r(3)，∴△BCB1是等邊三角形．∴BB1＝BC＝2eq\r(3).∴BA1＝A1B1－B1B＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3).23．解：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥AE，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AE，垂足為M，過點(diǎn)C作CD⊥BM，垂足為D，∴四邊形CDMN是矩形．∴CN＝DM.在Rt△ABM中，∠BAM＝60°，AB＝16cm，∴BM＝AB·sin60°＝16×eq\f(\r(3),2)＝8eq\r(3)(cm)，∠ABM＝90°－∠A＝30°.又∵∠ABC＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABM＝20°.又∵∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°－∠CBD＝70°.在Rt△BDC中，BC＝8cm，∴BD＝BC·sin70°≈8×0.94＝7.52(cm)．∴DM＝BM－BD≈8eq\r(3)－7.52≈6.3(cm)．∴CN＝DM≈6.3cm.答：點(diǎn)C到AE的距離約為6.3cm.24．解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H.∵AB＝60m，∠PAB＝79°，∴AH＝AB·cos79°≈60×0.19＝11.4(m)，BH＝AB·sin79°≈60×0.98＝58.8(m)．∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°.∵tan∠APB＝tan37°＝eq\f(BH,PH)≈0.75.∴PH≈eq\f(58.8,0.75)＝78.4(m)．∴AP＝AH＋PH≈11.4＋78.4＝89.8(m)，即A，P兩點(diǎn)間的距離約為89.8m.(2)②點(diǎn)撥：∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∴∠ADP＝∠EDF.∴△ADP≌△EDF(ASA)．∴AP＝EF.∴只需測(cè)量EF即可得到AP的長(zhǎng)度．∴乙小組的方案用到了三角形全等．25．(1)證明：∵將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在⊙O上，∴AB⊥CD.∵AB為⊙O的直徑，AG是⊙O的切線，∴AG⊥AB.∴AG∥CD.(2)證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DAB＝∠GAD.∵由折疊可得∠ABD＝∠ABC，∴∠CBD＝2∠ABD.∵四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠PAD＝180°－∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD.∴∠PAG＝∠PAD－∠GAD＝2∠ABD－∠ABD＝∠ABD.又∵∠APG＝∠BPA，∴△APG∽△BPA.∴eq\f(AP,BP)＝eq\f(PG,PA)，即PA2＝PG·PB.(3)解：∵sin∠APD＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(1,3)，∴設(shè)AD＝a，AP＝3a，∴PD＝eq\r(AP2－AD2)＝2eq\r(2)a.∴tan∠APD＝eq\f(AD,PD)＝eq\f(a,2\r(2)a)＝eq\f(\r(2),4).由折疊可得AC＝AD＝a，∴PC＝PA＋AC＝3a＋a＝4a.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.在Rt△PCB中，tan∠CPB＝eq\f(CB,PC)＝eq\f(\r(2),4)，∴CB＝eq\f(\r(2),4)PC＝eq\r(2)a.由折疊可得BD＝BC，∴BD＝eq\r(2)a.∵AD⊥BD，GA⊥AB，∴∠AGB＝90°－∠GAD＝∠DAB.∴tan∠AGB＝tan∠DAB＝eq\f(BD,AD)＝eq