2025年春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章綜合測試卷（北師山西版）

年春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章綜合測試卷（北師山西版）一、選擇題(每題3分，共30分)題序12345678910答案1.[P30隨堂練習(xí)T1]變式下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是()A．y＝x－1B．y＝eq\f(1,x2)C．y＝(x－2)2－x2D．y＝x(x－1)2．對(duì)于二次函數(shù)y＝－(x－1)2的圖象的特征，下列描述正確的是()A．開口向上B．經(jīng)過原點(diǎn)C．對(duì)稱軸是y軸D．頂點(diǎn)在x軸上3．[2024長治期末]將拋物線y＝2x2向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的拋物線的表達(dá)式為()A．y＝2(x＋1)2－2B．y＝2(x＋1)2＋2C．y＝2(x－1)2＋2D．y＝2(x－1)2－24.[P39例1變式]拋物線y＝x2－4x＋3的對(duì)稱軸是直線()A．x＝－2B．x＝2C．x＝－4D．x＝45．拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，3)，且過點(diǎn)(0，5)，那么該拋物線的表達(dá)式為()A．y＝－2x2＋4x＋5B．y＝2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x－1D．y＝2x2＋4x＋36.函數(shù)y＝kx2－2與y＝eq\f(k,x)(k≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()7.鉛球運(yùn)動(dòng)是利用人體全身的力量，將一定重量的鉛球從肩上用手臂推出的田徑運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．如圖，將一位運(yùn)動(dòng)員所推鉛球的行進(jìn)路線近似地看成一條拋物線，其中鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,12)x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f(5,3)，則該運(yùn)動(dòng)員所推鉛球的水平距離為()A．10mB．5mC．4mD．2m8．滑雪者從山坡上滑下，其滑行距離s(單位：m)與滑行時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系可以近似用二次函數(shù)表示，其圖象如圖所示，根據(jù)圖象，當(dāng)滑行時(shí)間為4s時(shí)，滑行距離為()A．40mB．48mC．56mD．72m9．點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，y2))，C(2，y3)都在拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋x－m上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是()A．y2＞y3＞y1B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y310．[2024長治期末]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線x＝－1.下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)bc>0B．4ac>b2C．b－2a＝0D．4a－2b＋c>0二、填空題(每小題3分，共15分)11．如果拋物線y＝(a－3)x2－2有最低點(diǎn)，那么a的取值范圍是________．12．[2024呂梁期末]請(qǐng)寫出一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，使其圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸的正半軸有交點(diǎn)：______________．13．若拋物線y＝x2＋2x＋k與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則k＝________．14．[2024山西大同一中期中]如圖，利用長為50m的籬笆及一面墻圍一個(gè)矩形花圃ABCD(墻足夠長)為了便于打理，決定在與墻平行的邊BC上預(yù)留出寬為2m的出口EF.設(shè)AB邊的長為xm，花圃的面積為ym2，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是________________．(不必寫出x的取值范圍)15．如圖，將函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x－2)2＋1的圖象沿y軸向上平移得到一個(gè)新的函數(shù)圖象，其中點(diǎn)A(1，m)，B(4，n)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′.若陰影部分的面積為9，則新圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是____________________．三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分)16．(7分)[P45習(xí)題T2變式]一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(－1，0)，(0，6)，(3，0)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．17．(8分)已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.(1)將y＝2x2－4x－6化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象可知：當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，y的取值范圍為____________．18．(8分)如圖，拋物線y＝(x＋2)2＋m與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與該拋物線交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B.(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范圍．19．(8分)[2024太原期末]圖①是山西晉城丹河大橋，位處太行山脈南端，橋梁欄桿上有200多幅與歷史文化有關(guān)的石雕圖畫，體現(xiàn)了現(xiàn)代與傳統(tǒng)文明的完美結(jié)合．丹河大橋拱橋橋洞的形狀呈拋物線形，現(xiàn)以水面為x軸，拱橋左側(cè)與水面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，已知水面的寬度OA為120米，拱橋離水面的最大高度為80米．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若要在橋洞兩側(cè)墻壁上距離水面35米的點(diǎn)B和點(diǎn)C處各安一盞景觀燈，求兩盞景觀燈之間的水平距離BC.

20.(10分)[2024運(yùn)城期末]大熊貓是中國獨(dú)有的一種動(dòng)物，數(shù)量稀少，被稱為“中國國寶”．某店專門銷售熊貓公仔玩具，每件的成本為30元，每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______________．(2)如果規(guī)定熊貓公仔玩具每天的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少？21．(10分)綜合與探究：運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．一片美麗的葉片(圖①)、一棵生長的幼苗(圖②)都可以看成是把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成的．任務(wù)：(1)如圖③，建立平面直角坐標(biāo)系，葉片下部輪廓線可以看成是二次函數(shù)y＝－ax2＋4ax＋4a＋1圖象的一部分，且過原點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；【任務(wù)一】研究葉片的寬度：(2)如圖③，葉片的對(duì)稱軸直線y＝x＋2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C，C1是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，CC1交直線AB于點(diǎn)G.求葉片此處的寬度CC1；【任務(wù)二】探究幼苗葉片的長度：(3)小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中發(fā)現(xiàn)，幼苗葉片下方輪廓線都可以看成是二次函數(shù)y＝－ax2＋4ax＋4a＋1圖象的一部分；如圖④，幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)(1)中的二次函數(shù)，已知直線PD(點(diǎn)P為葉尖)與水平線所夾的銳角為45°，求幼苗葉片的長度PD.22．(12分)閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象(稱為拋物線)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn)，與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無實(shí)數(shù)根，因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況．下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))和一元二次方程根的判別式Δ＝b2－4ac，分別對(duì)a>0和a<0兩種情況進(jìn)行分析：(1)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上．①當(dāng)Δ＝b2－4ac>0時(shí)，有4ac－b2<0，∴eq\f(4ac－b2,4a)<0，∴頂點(diǎn)在x軸的下方，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖①)，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時(shí)，有4ac－b2＝0，∴eq\f(4ac－b2,4a)＝0，∴頂點(diǎn)在x軸上，即拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(如圖②)，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＝b2－4ac<0時(shí)，……(2)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下．……任務(wù)：(1)上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是________(多選)；A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論思想D．轉(zhuǎn)化思想(2)請(qǐng)參照小論文中當(dāng)a>0時(shí)①②的分析過程，將③補(bǔ)充完整，并畫出相應(yīng)的示意圖；(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)中還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元一次方程的解．請(qǐng)你再舉出一例：__________________________________________________________________.23．(12分)[2024呂梁期末]如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(3,2)，交x軸于點(diǎn)D.(1)求該二次函數(shù)及BC所在直線的表達(dá)式；(2)如圖①，在線段BC上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，D，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，分別交BC，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BP.若△PEB和△CEF的面積分別為S1，S2，請(qǐng)直接寫出S1－S2的最大值．

答案一、1.D2.D3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.A10.C二、11.a＞312.(答案不唯一)y＝x2－2x＋213.114．y＝－2x2＋52x15.y＝eq\f(1,2)(x－2)2＋4三、16.解：由題意，可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)·(x－3)，將(0，6)代入，得－3a＝6，解得a＝－2，所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.17．解：(1)y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8.(2)如圖．(3)－8≤y≤018．解：(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)，∴將(－1，0)的坐標(biāo)代入y＝(x＋2)2＋m，得0＝1＋m，解得m＝－1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝(x＋2)2－1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且易知其對(duì)稱軸為直線x＝－2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，3)．(2)x≤－4或x≥－1.19．解：(1)由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(60，80)，∴可設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－60)2＋80.∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴a×(0－60)2＋80＝0，解得a＝－eq\f(1,45)，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,45)(x－60)2＋80.(2)令y＝35，則－eq\f(1,45)(x－60)2＋80＝35.解得x1＝15，x2＝105.∴B(15，35)，C(105，35)，∴BC＝105－15＝90(米)．答：兩盞景觀燈之間的水平距離BC為90米．20．解：(1)y＝－10x＋700(2)設(shè)每天的利潤為w元，則w＝(x－30)(－10x＋700)＝－10(x－50)2＋4000.∵－10x＋700≥240，∴x≤46.∵－10<0，∴當(dāng)x≤46時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝46時(shí)，即當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤為－10×(46－50)2＋4000＝3840(元)．21．解：(1)∵二次函數(shù)y＝－ax2＋4ax＋4a＋1的圖象過原點(diǎn)，∴4a＋1＝0，解得a＝－eq\f(1,4)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝eq\f(1,4)x2－x＝eq\f(1,4)(x－2)2－1，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)．(2)由(1)可知，拋物線的表達(dá)式為y＝eq\f(1,4)x2－x，令y＝0，則eq\f(1,4)x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴C(4，0)．∵直線y＝x＋2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴A(－2，0)，B(0，2)，∴OA＝OB＝2，∴△AOB是等腰直角三角形，且∠BAO＝45°.∵C，C1是關(guān)于直線AB的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，∴CC1⊥AB，CC1＝2CG，∴易知△ACG是等腰直角三角形．∵AC＝4－(－2)＝6，∴易得CG＝3eq\r(2)，∴CC1＝2CG＝6eq\r(2).(3)由題意得點(diǎn)P在拋物線y＝eq\f(1,4)x2－x上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,4)n2－n))，且n<0.如圖，過點(diǎn)D作x軸的平行線DF，過點(diǎn)P作PF⊥DF于點(diǎn)F，依題意有∠PDF＝45°，∴易得PF＝FD，即eq\f(1,4)n2－n－(－1)＝2－n，解得n＝－2或n＝2(舍去)，∴P(－2，3)，∴幼苗葉片的長度PD＝eq\r(（2＋2）2＋（－1－3）2)＝4eq\r(2).22．解：(1)ACD(2)③當(dāng)Δ＝b2－4ac<0時(shí)，有4ac－b2>0，∴eq\f(4ac－b2,4a)>0，∴頂點(diǎn)在x軸的上方，即拋物線與x軸無交點(diǎn)，如圖，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實(shí)數(shù)根．(3)可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解(答案不唯一)23．解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)，C(0，2)，對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(3,2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,16a＋4b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝2，))∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2.設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋m，將點(diǎn)B(4，0)，C(0，2)的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋m＝0，,m＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,m＝2，))∴BC所在直線的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,2)x＋2.(2)存在．∵對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(3,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．又∵點(diǎn)B(4，0)，C(0，2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，∴OD＝eq\f(3,2)，BD＝eq\f(5,2)，CO＝2，BO＝4，AB＝5，∴BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(