2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE2．2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.駕馭向量減法的幾何意義.3.能嫻熟地進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第49頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一相反向量閱讀教材P85～86，思索并完成以下問題實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為－a，向量a有相反向量嗎？(1)有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))表示向量a，那么eq\o(BA,\s\up6(→))表示的向量與a有什么關(guān)系？如何表示？提示：模相等，方向相反，故eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a.(2)－(－a)＝________．提示：a.學(xué)問梳理定義假如兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，而方向相反．那么稱這兩個(gè)向量是相反向量性質(zhì)①對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量學(xué)問點(diǎn)二向量的減法思索并完成以下問題減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否有類似的法則？(1)如圖，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，反向延長(zhǎng)AB到D點(diǎn)，使AB＝AD，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．提示：－b.(2)在?ACED中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝________．提示：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.(3)eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))有什么關(guān)系？提示：由于ABCE為平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.學(xué)問梳理(1)定義：a－b＝a＋(－b)．減去一個(gè)向量就等于加上這個(gè)向量的相反向量．(2)幾何意義：a－b表示為從向量b的終點(diǎn)指向a的向量．學(xué)問點(diǎn)三|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的關(guān)系思索并完成以下問題在三角形中有兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，結(jié)合這一性質(zhì)及向量加、減法的幾何意義，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者關(guān)系是怎樣的？(1)當(dāng)向量a，b不共線時(shí)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，如圖(1)，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，則有________．提示：||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|(2)當(dāng)a與b共線且同向或a，b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，作法同上，如圖(2)，此時(shí)|a＋b|＝________．提示：|a|＋|b|(3)當(dāng)a與b共線且反向或a，b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，不妨設(shè)|a|>|b|.作法同上，如圖(3)，此時(shí)|a＋b|＝________．故對(duì)于隨意向量a，b，總有________．因?yàn)閨a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即________．提示：||a|－|b||||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|學(xué)問梳理對(duì)于隨意向量||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思索如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))是什么？提示：eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.[自我檢測(cè)]1．下列各式中，恒成立的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)) B．a(chǎn)－a＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0答案：D2．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝________．答案：2授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁(yè)探究一向量減法的幾何作圖[教材P86例3]方法步驟：(1)取點(diǎn)O；(2)作向量；(3)連終點(diǎn)．[例1]如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.[解析]如圖所示，以A為起點(diǎn)分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))＝a－b，再以C為起點(diǎn)作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→))＝(a－b)－c.則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c.方法技巧求作兩個(gè)向量的差向量時(shí)，當(dāng)兩個(gè)向量有共同始點(diǎn)，干脆連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，并指向被減向量，就得到兩個(gè)向量的差向量；若兩個(gè)向量的始點(diǎn)不重合，先通過平移使它們的始點(diǎn)重合，再作出差向量．跟蹤探究1.如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a－b－c.解析：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.再作eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b－c.探究二向量減法法則的應(yīng)用[教材P91A組第4題]化簡(jiǎn)：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).[例2]化簡(jiǎn)下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[解析](1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.方法技巧進(jìn)行向量的加減運(yùn)算時(shí)，常用的變形如下(1)運(yùn)用eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))化減為加；(2)運(yùn)用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))化繁為簡(jiǎn)；(3)運(yùn)用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)的兩個(gè)向量的差．跟蹤探究2.化簡(jiǎn)：(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．解析：(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.探究三向量加減法的應(yīng)用[教材P86例4]方法步驟：作圖，利用法則求和或求差．[例3]如圖所示，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))及eq\o(CE,\s\up6(→)).[解析]∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.方法技巧用向量表示其他向量的方法(1)解決此類問題要充分利用平面幾何學(xué)問，敏捷運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則．(2)表示向量時(shí)要考慮以下問題：它是某個(gè)平行四邊形的對(duì)角線嗎？是否可以找到由起點(diǎn)到終點(diǎn)的恰當(dāng)途徑？它的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否是兩個(gè)有共同起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)？(3)必要時(shí)可以干脆用向量求和的多邊形法則．跟蹤探究3.如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c，d表示eq\o(EC,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第51頁(yè)[課后小結(jié)]1．在用三角形法則作向量減法時(shí)，要留意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”．解題時(shí)要結(jié)合圖形，精確推斷，防止混淆．2．向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩向量起點(diǎn)的字母必需相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．利用三角形法則求向量模的范圍[典例]已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝9，求|eq\o(BD,\s\up6(→))|的范圍．[解析]∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)