2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.21.2.1空間中的點(diǎn)直線與空間向量學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解空間中的點(diǎn)與空間向量的關(guān)系．2．理解直線的方向向量．(重點(diǎn))3．駕馭利用空間向量求空間中兩直線所成的角的方法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))4．駕馭利用空間向量證明兩條直線平行或垂直的方法．(重點(diǎn))5．理解公垂線段的概念并會(huì)求其長(zhǎng)度．1．通過學(xué)習(xí)直線的方向向量、公垂線段等概念，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．利用向量法證明兩直線垂直，求兩直線所成的角，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．某市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)上，射箭運(yùn)動(dòng)員聽到口令后同時(shí)把箭射出，假設(shè)箭運(yùn)動(dòng)的軌跡都是平行直線，如圖．箭在運(yùn)動(dòng)過程中，每處在一個(gè)位置都表示該直線的方向向量．問題：直線的方向向量有何特點(diǎn)？學(xué)問點(diǎn)1空間中的點(diǎn)與空間向量一般地，假如在空間中指定一點(diǎn)O，那么空間中隨意一點(diǎn)P的位置，都可以由向量eq\o(OP,\s\up8(→))唯一確定，此時(shí)，eq\o(OP,\s\up8(→))通常稱為點(diǎn)P的位置向量．空間直角坐標(biāo)系中的隨意一點(diǎn)都由它的位置向量唯一確定．1．空間直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2，3)，則點(diǎn)P的位置向量eq\o(OP,\s\up8(→))＝________．(1，2，3)[由點(diǎn)P的坐標(biāo)知eq\o(OP,\s\up8(→))＝(1，2，3)．]學(xué)問點(diǎn)2空間中的直線與空間向量一般地，假如l是空間中的一條直線，v是空間中的一個(gè)非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個(gè)方向向量．此時(shí)，也稱向量v與直線l平行，記作v∥l．(1)假如A，B是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則v＝eq\o(AB,\s\up8(→))就是直線l的一個(gè)方向向量．1．直線l的方向向量唯一嗎？直線l的方向向量之間有怎樣的關(guān)系？[提示]直線l的方向向量不唯一，若v為直線的方向向量，則λv(λ≠0)也為直線l的方向向量，直線l的隨意兩個(gè)方向向量都平行．2．空間中的直線l的位置由v能確定嗎？[提示]空間中直線l的位置可由v和直線上的一個(gè)點(diǎn)唯一確定．(2)假如v1是直線l1的一個(gè)方向向量，v2是直線l2的一個(gè)方向向量，則v1∥v2?l1∥l2或l1與l2重合．2．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l的方向向量是唯一的． ()(2)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反． ()(3)若向量a是直線l的一個(gè)方向向量，則向量ka也是直線l的一個(gè)方向向量． ()[答案](1)×(2)√(3)×[提示](1)×與直線l平行或共線的任何向量都可作為l的方向向量．(2)√(3)×k≠0．學(xué)問點(diǎn)3空間中兩條直線所成的角(1)設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，則θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sinθ＝sin〈v1，v2〉，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|．(2)〈v1，v2〉＝eq\f(π,2)?l1⊥l2?v1·v2＝0．(1)兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角求得，但二者不完全相等．當(dāng)兩方向向量的夾角為鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．如：若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角為30°．(2)用向量方法求兩條直線所成的角時(shí)，若能建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)向量可用坐標(biāo)表示，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求解；若建系不便利，則可選用基向量表示其他向量，通過向量運(yùn)算求解．3．若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于()A．－eq\f(2,5)B．eq\f(2,5)C．－eq\f(2\r(5),5)D．eq\f(2\r(5),5)B[∵|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·b＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝－4，∴cos〈a，b〉＝eq\f(－4,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(2,5)．∵異面直線夾角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴選B．]學(xué)問點(diǎn)4異面直線與空間向量設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1與l2的方向向量．(1)若l1與l2異面，則v1與v2的關(guān)系為v1與v2不平行．(2)若v1與v2不平行，則l1與l2的位置關(guān)系為相交或異面．“v1與v2不平行”是“l(fā)1與l2異面”的必要不充分條件．(3)若A∈l1，B∈l2，則l1與l2異面時(shí)，v1，v2，eq\o(AB,\s\up8(→))不共面．若v1，v2，eq\o(AB,\s\up8(→))不共面，則l1與l2異面．“v1，v2，eq\o(AB,\s\up8(→))不共面”是“l(fā)1與l2異面”的充要條件．(4)公垂線段：一般地，假如l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，則稱MN為l1與l2的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)，稱為這兩條異面直線之間的距離．空間中隨意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一．4．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，則()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直 D．不能確定B[∵a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2，故選B．]類型1空間中的點(diǎn)的位置的確定【例1】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．(1)若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若P是線段AB上的一點(diǎn)，且AP∶PB＝1∶2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．[解](1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1，1，5)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－3，－1，5)，eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(2，2，0)＝(1，1，0)，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1，0)．(2)由P是線段AB上的一點(diǎn)，且AP∶PB＝1∶2，知eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up8(→))．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(AP,\s\up8(→))＝(x－3，y－4，z)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(2－x，5－y，5－z)，故(x－3，y－4，z)＝eq\f(1,2)(2－x，5－y，5－z)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)2－x，,y－4＝\f(1,2)5－y，,z＝\f(1,2)5－z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3).))因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3)))．如何在空間直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)？[提示]此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量的相等解決，設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件得關(guān)于要求的點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或方程組求解即可．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知點(diǎn)A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以eq\o(AB,\s\up8(→))的方向?yàn)檎较?，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點(diǎn)，且分別滿意條件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1．求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．[解]由已知，得eq\o(PB,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))，即eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→))＝2(eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y，z)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x，y，z)＝eq\f(2,3)(2，4，0)＋eq\f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(8,3)＋eq\f(3,3)＝eq\f(11,3)，z＝0＋1＝1．因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1))．因?yàn)锳Q∶QB＝2∶1，所以eq\o(AQ,\s\up8(→))＝－2eq\o(QB,\s\up8(→))，eq\o(OQ,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－2(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OQ,\s\up8(→)))，eq\o(OQ,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))＋2eq\o(OB,\s\up8(→))，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x′，y′，z′)，則上式換用坐標(biāo)表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6．因此，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，2，6)．綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1))，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，2，6)．類型2利用向量法求異面直線的夾角(或余弦值)【例2】(對(duì)接教材人教B版P32例3)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(\r(3),3)C[法一：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則B(0，0，0)，C1(1，0，1)，B1(0，0，1)．因?yàn)椤螦BC＝120°，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(xA，yA，0)，則xA＝AB·cos120°＝－1，yA＝AB·sin120°＝eq\r(3)，即A(－1，eq\r(3)，0)．易得eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(1，0，1)，eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(1，－eq\r(3)，1)．設(shè)異面直線AB1與BC1所成角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(AB1,\s\up8(→))·\o(BC1,\s\up8(→))|,\o(|\o(AB1,\s\up8(→))||\o(BC1,\s\up8(→))|))＝eq\f(1＋1,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)．法二：如圖，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，連接MN，NP，MP，則MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．易知MN＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(\r(5),2)，NP＝eq\f(1,2)BC1＝eq\f(\r(2),2)．取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，可知△PQM為直角三角形，PQ＝1，MQ＝eq\f(1,2)AC．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7，所以AC＝eq\r(7)，MQ＝eq\f(\r(7),2)．在△MQP中，MP＝eq\r(MQ2＋PQ2)＝eq\f(\r(11),2)，則在△PMN中，cos∠PNM＝eq\f(MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(10),5)，所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5)．法三：如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因?yàn)椤螦BC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2)．在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以cos∠B1AD1＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5)．]如何用向量法求異面直線所成的角？[提示](1)確定空間兩條直線的方向向量；(2)求兩個(gè)向量夾角的余弦值；(3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA1＝2，點(diǎn)O，M分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出三棱柱各頂點(diǎn)及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)求異面直線CM與BA1夾角的余弦值．[解](1)依據(jù)圖形可求得下列點(diǎn)的坐標(biāo)：A(eq\r(3)，0，0)，B(0，－1，0)，C(0，1，0)，A1(eq\r(3)，0，2)，B1(0，－1，2)，C1(0，1，2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，2))．(2)eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(eq\r(3)，1，2)，∴eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(BA1,\s\up8(→))＝5，|eq\o(CM,\s\up8(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，∴cos〈eq\o(CM,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))〉＝eq\f(5,2\r(10))＝eq\f(\r(10),4)．類型3利用空間向量處理平行或垂直問題【例3】如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD．點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BC上．若P是DD1的中點(diǎn)，證明：AB1⊥PQ．[證明]由題設(shè)知，AA1，AB，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6．若P是DD1的中點(diǎn)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2)，3))，eq\o(PQ,\s\up8(→))＝(6，m－eq\f(9,2)，－3)．又eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(3，0，6)，于是eq\o(AB1,\s\up8(→))·eq\o(PQ,\s\up8(→))＝18－18＝0，所以eq\o(AB1,\s\up8(→))⊥eq\o(PQ,\s\up8(→))，即AB1⊥PQ．【例4】如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：FC1∥平面ADE．兩條平行直線的方向向量有什么關(guān)系？[提示]設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，則l∥m?a∥b?a＝λb.[證明]如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)．所以eq\o(FC1,\s\up8(→))＝(0，2，1)，eq\o(DA,\s\up8(→))＝(2，0，0)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝(0，2，1)，因?yàn)镈A?平面ADE，AE?平面ADE，且(0，2，1)＝0×(2，0，0)＋1×(0，2，1)，即eq\o(FC1,\s\up8(→))＝0×eq\o(DA,\s\up8(→))＋1×eq\o(AE,\s\up8(→))，所以有FC1?平面ADE或FC1∥平面ADE，又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE．1．(變問法)例4中G，H分別為AD，B1C1的中點(diǎn)，求證：EGFH為平行四邊形．[證明]如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，H(1，2，2)．所以eq\o(EG,\s\up8(→))＝(－1，－2，－1)，eq\o(FH,\s\up8(→))＝(1，2，1)．所以eq\o(FH,\s\up8(→))＝－eq\o(EG,\s\up8(→))，所以eq\o(FH,\s\up8(→))∥eq\o(EG,\s\up8(→))．明顯EG與FH不重合，故EG∥FH．又|eq\o(EG,\s\up8(→))|＝eq\r(－12＋－22＋－12)＝eq\r(6)，|eq\o(FH,\s\up8(→))|＝eq\r(12＋22＋12)＝eq\r(6)，∴EG＝FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形．2．(變問法)例4條件不變，求平面ADE∥平面B1C1F．[證明]如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，得eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(FB1,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(DA,\s\up8(→))＝(2，0，0)，eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝(－2，0，0)，所以eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(FB1,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\o(B1C1,\s\up8(→))，又相互不共面，所以DE∥FB1，DA∥B1C1，又DA∩DE＝D，F(xiàn)B1∩B1C1＝B1，所以平面ADE∥平面B1C1F．用向量法證明空間中兩條直線相互平行或垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量相互平行或垂直，詳細(xì)有如下方法：1坐標(biāo)法：依據(jù)圖形的特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，精確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩條直線的方向向量，證明其共線或數(shù)量積為0.2基向量法：利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，證明其共線或數(shù)量積為0.3要證線面平行或垂直，依據(jù)線面平行或垂直的判定定理，只需證線線平行或垂直平面內(nèi)的兩直線必需相交.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．[證明]法一：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(xiàn)(a，a，2a)．∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．∵eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．法二：設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝b，連接BD(圖略)，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1F,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1D1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，∵eq\o(AB1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＝a＋b，∴eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(b2－a2＋c·a＋c·b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，∴eq\o(EF,\s\up8(→))⊥eq\o(AB1,\s\up8(→))，即EF⊥AB1．同理可證EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．1．若A(1，0，1)，B(2，3，4)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是()A．(－1，3，3) B．(1，3，3)C．(3，3，5) D．(2，4，6)B[eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3，4)－(1，0，1)＝(1，3，3)．]2．向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，則x＝()A．8B．4C．2D．0C[∵向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2．故選C．]3．已知四面體OABC的各棱長(zhǎng)均為1，D是棱OA的中點(diǎn)，則異面直線BD與AC所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(2),8)C[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))，∵|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝1，且eq