第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用新定義不等式（四種題型）-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重難點(diǎn)題型解題方法與策略真題演練（新高考專(zhuān)用）

第09講數(shù)列的綜合應(yīng)用、新定義、不等式（四種題型）【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】題型一：分期付款一、單選題1．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個(gè)月已還多少本金，由此可計(jì)算出個(gè)月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D2．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一輛價(jià)值2萬(wàn)元的家電，在購(gòu)買(mǎi)一個(gè)月后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計(jì)算，則該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)每月還款元，每月還款按得利計(jì)算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復(fù)利計(jì)算的本利和，由此可得．【詳解】設(shè)每月還款元，共還款11個(gè)月，所以，．故選：A．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購(gòu)買(mǎi)40套住房，總房?jī)r(jià)1150萬(wàn)元.約定：2021年7月1日先付款150萬(wàn)元，以后每月1日都交付50萬(wàn)元，并加付此前欠款利息，月利率，當(dāng)付清全部房款時(shí)，各次付款的總和為（

）A．1205萬(wàn)元 B．1255萬(wàn)元 C．1305萬(wàn)元 D．1360萬(wàn)元【答案】B【分析】判斷出每次還款利息構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式求得利息和，再加上本金即可求解.【詳解】由題意知，還的次數(shù)為次，每次付款本金均為50萬(wàn)元，利息依次為構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列，則所還欠款利息總額為萬(wàn)元，故各次付款的總和為萬(wàn)元.故選：B.二、多選題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)小汽車(chē)，與銀行約定：這萬(wàn)元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬(wàn)元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬(wàn)元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”【答案】BD【分析】因?yàn)樾」磕赀€款錢(qián)數(shù)相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再設(shè)小郭第3年還款的現(xiàn)值為，根據(jù)復(fù)利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢(qián)數(shù)都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯(cuò)誤，設(shè)每年應(yīng)還元，還款10次，則該人10年還款的現(xiàn)金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯(cuò)誤．設(shè)小郭第三年還款的現(xiàn)值為，則，所以，故B正確；故選：BD5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買(mǎi)一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開(kāi)始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說(shuō)法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，則小張?jiān)摴P貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮，小張應(yīng)選擇方式①【答案】ACD【分析】等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，則，，等額本息還款方式中，設(shè)小張每月還款額為元，則，分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列模型研究，依次判斷即可【詳解】對(duì)于A，由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張?jiān)摴P貸款的總利息為（元），故A正確.對(duì)于B，設(shè)小張每月還款額為元，則，所以，即，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），故C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，所以從?jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮，小張應(yīng)選擇方式①，故D正確.故選：ACD三、填空題6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）沈陽(yáng)京東MALL于2022年國(guó)慶節(jié)盛大開(kāi)業(yè)，商場(chǎng)為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛(ài)好者的需求，開(kāi)展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛(ài)好者每期需要付款______．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式即得.【詳解】由題意得，，.故答案為：.7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）趙先生準(zhǔn)備通過(guò)某銀行貸款5000元，然后通過(guò)分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個(gè)月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為_(kāi)_____元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）【答案】【分析】本題首先可設(shè)每一期所還款數(shù)為元，然后結(jié)合題意列出每期所還款本金，并根據(jù)貸款5000元列出方程，最后借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)每一期所還款數(shù)為元，因?yàn)橘J款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個(gè)月所要還款約元，故答案為：.四、解答題8．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知某新型水稻產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為．某糧食種植基地計(jì)劃種植該品種水稻．已知該基地2020年儲(chǔ)有該品種水稻的產(chǎn)量為15萬(wàn)噸．現(xiàn)計(jì)劃從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產(chǎn)量用于銷(xiāo)售，15年后清空種植并更換種植品種．設(shè)年后該品種水稻的剩余產(chǎn)量為萬(wàn)噸．(1)設(shè)每年用于銷(xiāo)售的產(chǎn)量為萬(wàn)噸，請(qǐng)用和表示；(2)求（用表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得的遞推關(guān)系，從而可求的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)15年后清空種植并更換種植品種結(jié)合（1）的結(jié)果可得可求.(1)由題設(shè)可得，且，故，故，故，而符合該式，故.(2)由（1）可得，因?yàn)?5年后清空種植并更換種植品種，故，所以，故.9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買(mǎi)一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開(kāi)始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開(kāi)始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過(guò)家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬(wàn)元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：．（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式．【答案】（1）（元）；（2）小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款能夠獲批；（3）小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成等差數(shù)列，記為，用表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張的該筆貸款的總利息為（元）．（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因?yàn)?，所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），因?yàn)?，所以從?jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮，小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式．題型二：產(chǎn)值增長(zhǎng)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）科技創(chuàng)新離不開(kāi)科研經(jīng)費(fèi)的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標(biāo).“十三五”時(shí)期我國(guó)科技實(shí)力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入達(dá)到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)投入占研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入年均增長(zhǎng)要大于7%，到2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，請(qǐng)估計(jì)2025年我國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右【答案】D【分析】由題意可知，2025年我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入不得低于,再根據(jù)2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，即可求出2025年我國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)的最低值，從而選出正確選項(xiàng).【詳解】由題意可知，2025年我國(guó)全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入不得低于億元，又因?yàn)?025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，所以2025年我國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)不得低于億元故選：D2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱(chēng)遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為，若分得獎(jiǎng)金1000元，則，所分得獎(jiǎng)金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎(jiǎng)金，且甲與丙共獲得獎(jiǎng)金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎(jiǎng)金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】設(shè)“衰分比”為，甲獲得的獎(jiǎng)金為，聯(lián)立方程解得，得到答案.【詳解】設(shè)“衰分比”為，甲獲得的獎(jiǎng)金為，則.，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)發(fā)的農(nóng)產(chǎn)品、土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤(rùn)為（

）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元【答案】C【解析】設(shè)1月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意可知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，求出即得解.【詳解】設(shè)1月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，，即，年利潤(rùn)為元，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)系.4．（2021秋·江蘇淮安·高三江蘇省盱眙中學(xué)?？计谥校?020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（

）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確到萬(wàn)元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【分析】由題可知5年后投入再生產(chǎn)的資金為：，即求.【詳解】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為萬(wàn)元，則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，2年后投入再生產(chǎn)的資金為：，5年后投入再生產(chǎn)的資金為：∴，∴.故選：B5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元【答案】B【分析】設(shè)攤主6月底手中現(xiàn)款為，n月月底攤主手中的現(xiàn)款為，n+1月月底攤主手中的現(xiàn)款為，則可得二者之間的關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列成等比數(shù)列，求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)，從6月份起每月底用于下月進(jìn)貨的資金依次記為，，…，，，同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.2，所以，，∴總利潤(rùn)為，故選:B．二、多選題6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（

）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤(rùn)為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬(wàn)【答案】BCD【分析】由題可知，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為之間的遞推關(guān)系為，，進(jìn)而根據(jù)遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，元，故A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由得所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為1.2的等比數(shù)列，所以，即所以2020年小王的年利潤(rùn)為元，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬(wàn)，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查知識(shí)遷移與應(yīng)用能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)學(xué)生活情境，建立數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，，進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)模型討論各選項(xiàng).三、解答題7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營(yíng)銷(xiāo)模式，帶來(lái)電商行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年初的啟動(dòng)資金為500萬(wàn)元，由于一些知名主播加入，平臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)，每年年底把除運(yùn)營(yíng)成本萬(wàn)元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后，直播平臺(tái)的資金有多少萬(wàn)元？(2)每年的運(yùn)營(yíng)成本最多控制在多少萬(wàn)元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底?除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)元？（結(jié)果精確到萬(wàn)元）【答案】(1)936萬(wàn)元(2)3000萬(wàn)元【分析】（1）用表示第年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金，然后根據(jù)已知計(jì)算可得；（2）由已知寫(xiě)出，然后由求得的范圍．【詳解】（1）記為第年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金，則，故第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金為936萬(wàn)元.（2），由，得，故運(yùn)營(yíng)成本最多控制在萬(wàn)元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)元.8．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元，以后每年比上一年增加4萬(wàn)美元，每年銷(xiāo)售蔬菜收入50萬(wàn)美元，設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)（前n年的總收入前n年的總支出投資額）．(1)從第幾年開(kāi)始獲得純利潤(rùn)？(2)若五年后，該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，決定出售該廠，現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以48萬(wàn)美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬(wàn)美元出售該廠．問(wèn)哪種方案較合算？【答案】(1)第三年；(2)選擇第①種方案.【分析】（1）由題意寫(xiě)出的表達(dá)式，獲得純利潤(rùn)就是要求，求解即可；（2）分別求出兩種情況下的總利潤(rùn)以及所需時(shí)間，經(jīng)過(guò)對(duì)比，可選出較為合算的方案.（1）由題意，知每年的經(jīng)費(fèi)構(gòu)成了以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則，獲得純利潤(rùn)就是要求，即，解得．又，故從第三年開(kāi)始獲得純利潤(rùn)；（2）①年平均利潤(rùn)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故此方案獲利（萬(wàn)美元），此時(shí)．②，當(dāng)時(shí)，．故此方案共獲利（萬(wàn)美元）．比較兩種方案，在獲利相同的前提下，第①種方案只需六年，第②種方案需要十年，故選擇第①種方案．9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國(guó)務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見(jiàn)》后，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政策或征求意見(jiàn)稿．為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地區(qū)計(jì)劃2021年新建住房40萬(wàn)平方米，其中有25萬(wàn)平方米是保障性租賃住房．預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬(wàn)平方米．(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積(以2021年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475萬(wàn)平方米?(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?【答案】(1)2030；(2)2026﹒【分析】(1)設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等差數(shù)列，其中，，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等比數(shù)列，其中，，則可得的通項(xiàng)公式，通過(guò)求解不等式，即可求解．（1）設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等差數(shù)列，其中，，則，令≥475，即，而為正整數(shù)，解得，故到2030年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積(以2021年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475萬(wàn)平方米；（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列，由題意可知，是等比數(shù)列，其中，，則，由題意知，，則，滿足上式不等式的最小正整數(shù)，故到2026年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于．10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)2015年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)測(cè)從2015年開(kāi)始,此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元.如果進(jìn)行技術(shù)改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬(wàn)元,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元,此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元.(1)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為萬(wàn)元;進(jìn)行技術(shù)改造后,在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(2)設(shè)從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為萬(wàn)元,求和;(3)依上述預(yù)測(cè),從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?【答案】(1),(2),(3)至少經(jīng)過(guò)4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出即可(3)作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【詳解】(1)由題意得是等差數(shù)列，所以由題意得所以所以是首項(xiàng)為250，公比為的等比數(shù)列所以所以(2)是數(shù)列的前項(xiàng)和所以是數(shù)列的前項(xiàng)和減去600，所以(3)易得此函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增且時(shí)時(shí)所以至少經(jīng)過(guò)4年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)列的綜合知識(shí)，包含通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和的求法及數(shù)列的單調(diào)性.11．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬(wàn)元，同時(shí)將受到環(huán)保部門(mén)的處罰，第一個(gè)月罰3萬(wàn)元，以后每月增加2萬(wàn)元．如果從今年一月起投資500萬(wàn)元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測(cè)算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間個(gè)月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬(wàn)，從第6個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同．同時(shí)，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門(mén)的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬(wàn)元．（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入的值；（2）問(wèn)經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，投資開(kāi)始見(jiàn)效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入．【答案】（1）；（2）經(jīng)過(guò)9個(gè)月投資開(kāi)始見(jiàn)效．【詳解】試題分析:（1）根據(jù)g（3）得到k，再計(jì)算g（5）和g（5）﹣g（4），而g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]，從而得到結(jié)果；（2）求出投資前后前n個(gè)月的總收入，列不等式解出n的范圍即可．試題解析（1）據(jù)題意，解得，第5個(gè)月的凈收入為萬(wàn)元，所以，萬(wàn)元（2）即要想投資開(kāi)始見(jiàn)效，必須且只需，即當(dāng)時(shí)，即不成立；當(dāng)時(shí)，即，驗(yàn)算得，時(shí)，所以，經(jīng)過(guò)9個(gè)月投資開(kāi)始見(jiàn)效．題型三：數(shù)列新定義一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”.記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見(jiàn)到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出，然后由錯(cuò)位相減法求得和，從而可得．【詳解】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則.于是.故選：A．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）01周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)其為01周期序列，并稱(chēng)滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的01序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的01序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱(chēng)數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱(chēng)數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得出，由此判斷A;構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，推出，進(jìn)而得到，從而說(shuō)明，判斷B;當(dāng)時(shí)，說(shuō)明成立，從而判斷C,D.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋瑒t，所以，（這是因?yàn)椋?，則，故時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，故，則，假設(shè)，則，故由歸納法可得成立，所以，故數(shù)列無(wú)界，故A錯(cuò)；又由，設(shè)則，故遞減，則，所以，則，則，故，則，故，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界，故B正確當(dāng)時(shí)，，由，，假設(shè)，則，即成立，所以此時(shí)都無(wú)界，故C,D錯(cuò)誤；【點(diǎn)睛】本題給定數(shù)列的新定義，要求能根據(jù)定義去判斷數(shù)列是否符合要求，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題，較為復(fù)雜，比較困難.5．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積.則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用數(shù)學(xué)歸納法證明.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.記，證明出得到，即，用累加法得：，即可求出.記，證明出.得到，求出，即可得到.【詳解】因?yàn)?，所?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，符合.假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即.當(dāng)時(shí)，，所以顯然成立；因?yàn)?，所以，所以，即，所以結(jié)論成立.綜上所述：對(duì)任意的均成立.記函數(shù)..因?yàn)椋裕▁=1取等號(hào)），所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.記，則（x=1取等號(hào)），所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，所以，所以，累加得：.因?yàn)?，所以，即，所以，所以，?記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?綜上所述：.故選：C【點(diǎn)睛】（1）數(shù)學(xué)歸納法可以用來(lái)證明與自然數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常用的思路層次有三個(gè):其一直接構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其二直接做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明；其三先做適當(dāng)?shù)淖儞Q后再做差構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.二、多選題6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.8．（2022·福建南平·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類(lèi)推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，則，同時(shí)第圈的最后一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，設(shè)在第圈，則圈共有個(gè)數(shù)，可判斷前圈共有個(gè)數(shù)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，向前推導(dǎo)，則可判斷A，B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可判斷C選項(xiàng)；借助與圖可知，即項(xiàng)之和，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，即可求解判斷D選項(xiàng).【詳解】由題，第一圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知；第二圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，即，以此類(lèi)推，可得第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，即，設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故A正確；，故B正確；所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察圖形，利用對(duì)稱(chēng)性求解問(wèn)題，對(duì)D選項(xiàng)，考慮已知的前項(xiàng)和與所求的關(guān)系，結(jié)合圖形，可適當(dāng)先列舉找到規(guī)律，再求解.三、雙空題9．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個(gè)近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱(chēng)小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類(lèi)推，已知，則________；________．【答案】

6

【分析】根據(jù)題意不斷計(jì)算即可解出．【詳解】因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．故答案為：6；．四、解答題10．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，2，2，1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由題意考查的值即可說(shuō)明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)樗运詳?shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?，所以?若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)：若，則，利用性質(zhì)③：，此時(shí)可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因?yàn)?，有即?dāng)時(shí)命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時(shí)，，滿足題意.【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問(wèn)題”，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)解法一首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實(shí)數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（的情況類(lèi)似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二：假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來(lái)證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類(lèi)似的可知?jiǎng)t存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見(jiàn)不成立，從而，然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項(xiàng)，下面我們用反證法來(lái)證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類(lèi)似的可知?jiǎng)t存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設(shè)矛盾；若，則，與假設(shè)矛盾；若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；綜上可知，假設(shè)不成立，則.同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過(guò)程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見(jiàn)解析．(3)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類(lèi)討論驗(yàn)證不行即可．（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對(duì)①：，矛盾，對(duì)②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題意，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)（可以是一項(xiàng)）之和能表示從到中間的任意一個(gè)值．本題第二問(wèn)時(shí)，通過(guò)和值可能個(gè)數(shù)否定；第三問(wèn)先通過(guò)和值的可能個(gè)數(shù)否定，再驗(yàn)證時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題．13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，若無(wú)窮數(shù)列滿足，則稱(chēng)為數(shù)列.(1)數(shù)列是否為數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)已知其中為常數(shù).若數(shù)列為數(shù)列，求；(3)已知數(shù)列滿足，，，求.【答案】(1)是數(shù)列，理由見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)判斷即可；(2)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，求出即可；(3)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，利用所給的條件，合理演繹即可.【詳解】（1）∵，∴，符合的定義，故數(shù)列是數(shù)列；（2）依題意，，，因?yàn)槭菙?shù)列，，①，②,由①②兩式解得.（3）∵是數(shù)列，，，①，，②，，由①②得又因?yàn)?，，所?同理解得.∴猜想是等差數(shù)列，則，公差，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.下面再證明數(shù)列為滿足條件的唯一數(shù)列.因?yàn)椋瑒t，假設(shè)存在使得不成立，且此時(shí)最小的為，則，，，因?yàn)?，所以，與假設(shè)想矛盾，所以，恒成立，所以.下面證明數(shù)列為數(shù)列；檢驗(yàn)：，∴是數(shù)列；，∴是數(shù)列；，∴是數(shù)列，并且，（），∴，符合題意，故.14．（2023·北京海淀·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）如果無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”.(1)下列無(wú)窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為_(kāi)__________；（直接寫(xiě)出結(jié)論）、、、、、、、、、、、、(2)證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；(3)若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項(xiàng)公式.【答案】(1)、(2)證明見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義可得出結(jié)論；（2）驗(yàn)證成立，利用①②推導(dǎo)出，假設(shè)，可得出等差數(shù)列是遞減數(shù)列，結(jié)合①得出，結(jié)合可得出或，，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性推出矛盾，從而說(shuō)明不成立，即可證得結(jié)論成立；（3）由（2）知，，可得知數(shù)列是遞增數(shù)列，推導(dǎo)出不成立，可得出，分、兩種情況討論，驗(yàn)證、滿足①②，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：由“數(shù)列”的定義可知，數(shù)列、為“數(shù)列”.（2）證明：若，則由①可知，所以或，且公差，以下設(shè).由①，、，，，兩式作差得，因?yàn)椋?由①，、，，，兩式作差得，因?yàn)?，所以，因此?若，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，由①為中的項(xiàng)，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，為中的項(xiàng)，且，這與等差數(shù)列遞減矛盾，因此，不成立.綜上，且公差.（3）解：因?yàn)楣睿?，即是遞增數(shù)列.若，因?yàn)?，所以，則，且，由①為中的項(xiàng)，這與等差數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾.因此，，又由（2），故.由，知，且中存在一項(xiàng)為正整數(shù)，取最小的正整數(shù)項(xiàng).則由②，，使得且，.因此，解得，又，故.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，（i）若，則，此時(shí).因?yàn)?，，令，有，且，所以滿足條件①.因?yàn)椋?，有，所以滿足條件②.（ii）若，則，.因?yàn)椋?令，則，且，所以滿足條件①.因?yàn)椋?，，有，所以滿足條件②.綜上，或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義“數(shù)列”，在第二問(wèn)的證明中，可采取反證法證明不成立，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證出結(jié)論；在第三問(wèn)的求解，要注意對(duì)是否為零進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合①②進(jìn)行驗(yàn)證即可.15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號(hào)中各數(shù)的最大值，表示括號(hào)中各數(shù)的最小值.(1)若數(shù)列：2，0，2，1，4，2，求，的值；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；(3)若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項(xiàng)的一個(gè)排列，求的所有可能值（用表示）.【答案】(1)，；(2)；(3)所有可能值為.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義寫(xiě)出，即可.（2）討論數(shù)列A的項(xiàng)各不相等或存在相等項(xiàng)，當(dāng)各項(xiàng)都不相等，根據(jù)題設(shè)定義判斷，當(dāng)存在相等項(xiàng)，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q，進(jìn)而確定的值；（3）利用數(shù)列A的單調(diào)性結(jié)合（2）的結(jié)論求的取值范圍，估計(jì)所有可能取值，再應(yīng)用分類(lèi)討論求證對(duì)應(yīng)所有可能值均可取到，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，，，，則，，，，則，所以，.（2）若數(shù)列任意兩項(xiàng)均不相等，當(dāng)時(shí)；當(dāng)且時(shí)，，又，，此時(shí)；綜上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，則，當(dāng)，則，不合要求；當(dāng)，則，滿足題設(shè)；綜上，.（3）由題設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且，由（2）知：，根據(jù)題設(shè)定義，存在且，，則，由比數(shù)列中個(gè)項(xiàng)大，，同理，所以；又至少比數(shù)列中一項(xiàng)小，，同理，所以；綜上，.令數(shù)列，下證各值均可取到，ⅰ、當(dāng)，而數(shù)列遞增，，且，此時(shí)，，，則；ⅱ、當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且時(shí)，令，則，所以，，此時(shí)；ⅲ、給定，令()且()，則()，()，又?jǐn)?shù)列遞增，，()，()，所以，此時(shí)且，故，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，首先根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和定義求的取值范圍，再由定義結(jié)合分類(lèi)討論求證范圍內(nèi)所有可能值都可取到.16．（2022·北京·?？既＃?duì)于數(shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對(duì)于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．(1)若，寫(xiě)出，并求；(2)對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列，若不存在，說(shuō)明理由：(3)若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個(gè)數(shù)．【答案】(1)；；(2)不存在適合題意的數(shù)列；(3).【分析】（1）利用變換的定義即；（2）利用數(shù)列的定義，記中有個(gè)，有個(gè)，則，進(jìn)而即得；（3）由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.（1）由，可得，，∴；（2）∵，由數(shù)列A為數(shù)列，所以，對(duì)于數(shù)列，，…，中相鄰的兩項(xiàng)，令，若，則，若，則，記中有個(gè)，有個(gè)，則，因?yàn)榕c的奇偶性相同，而與的奇偶性不同，故不存在適合題意的數(shù)列；（3）首先證明，對(duì)于數(shù)列，，…，，有，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，∵，，∴，故，其次，由數(shù)列為數(shù)列可知，，解得，這說(shuō)明數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)不同的情況有2次，若數(shù)列中的個(gè)數(shù)為個(gè)，此時(shí)數(shù)列有個(gè)，所以數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.題型四：數(shù)列不等式一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類(lèi)推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

二、多選題2．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析題意發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等比數(shù)列，按照等比數(shù)列的性質(zhì)逐一驗(yàn)證即可，其中B選項(xiàng)是化簡(jiǎn)成一個(gè)等差數(shù)列進(jìn)行判斷，CD兩個(gè)選項(xiàng)需要利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行判斷，尤其是D選項(xiàng)，需要構(gòu)造新數(shù)列，利用做差法驗(yàn)證單調(diào)性.【詳解】由題可知，；，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)?，所以該?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)椋匀?，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC3．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校考開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)于任意的，都有B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.【詳解】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；C：由且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項(xiàng)，判斷是否與矛盾；對(duì)于C、D，將遞推式變形為，討論、時(shí)研究數(shù)列的單調(diào)性.4．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．任意 B．任意C．任意 D．任意【答案】BCD【分析】B：由題設(shè)得且，，討論大小關(guān)系，結(jié)合給定條件即可判斷；A：根據(jù)B的結(jié)論及，易知隨n變化的趨勢(shì)，并構(gòu)造求得，即可判斷；C：由A分析結(jié)果及即可判斷；結(jié)合C可判斷D.【詳解】由，且，又，故，，則，當(dāng)時(shí)，則，即，顯然與矛盾；當(dāng)時(shí)，則，即，顯然與矛盾；所以且，即遞增，B正確；由，根據(jù)B結(jié)論知：隨n的增大，無(wú)限趨近于0，則無(wú)限接近于1，又，令且遞增，則，即，綜上，，A錯(cuò)誤；由，根據(jù)A的結(jié)論有，又，可得，所以，即，綜上，，C正確；由C結(jié)論知：所以成立，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用已知條件，將各項(xiàng)結(jié)論作轉(zhuǎn)化，并應(yīng)用分類(lèi)討論、極限、函數(shù)思想判斷數(shù)列不等式是否恒成立.5．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC選項(xiàng)，可以通過(guò)令，從而得到矛盾，對(duì)于D，可通過(guò)特例判斷其有可能成立.【詳解】對(duì)于A，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；對(duì)于C，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；對(duì)于B，可取，則，所以，即，故累加后可得，整理得到，時(shí)，也符合該式，從而.此時(shí)，故成立，若成立，取，則，但此時(shí)，，不成立，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，可令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足題干條件，此時(shí)，，故D選項(xiàng)可能成立故選：D【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)列相關(guān)的不等問(wèn)題，要結(jié)合題干條件進(jìn)行適當(dāng)變形，利用基本不等式或?qū)Ш瘮?shù)進(jìn)行求解.三、雙空題6．（2022秋·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列對(duì)任意的，都有，且．①當(dāng)時(shí)，_________．②若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)P，則P＝_________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式確定的周期性即可求，由題設(shè)可得，討論的奇偶性確定后續(xù)數(shù)列出現(xiàn)奇數(shù)項(xiàng)與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設(shè)通項(xiàng)公式，可得，故從第二項(xiàng)開(kāi)始形成周期為3的數(shù)列，而，故．當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)，故；若為奇數(shù)，由，故，不滿足；若為偶數(shù)，則直到為奇教，有，故，當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)，即，故答案為：2，1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論的奇偶性，判斷數(shù)列后續(xù)出現(xiàn)的奇數(shù)項(xiàng)與相等時(shí)是否為奇數(shù).四、解答題7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若不等式2對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）利用得，變形得，則可證明等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（3）令，通過(guò)計(jì)算的正負(fù)，求出的最大值，將題目轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.【詳解】（1）①②①②得，即，變形可得，又，得故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，.（2）令，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又，，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)恒成立，，解得.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可