數(shù)學(xué)-高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷

絕密★考試結(jié)束前2022屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（上海專用）數(shù)學(xué)（滿分150分）一、填空題（本大題共12小題，滿分54分，第16題，每道題4分，第712題，每道題5分。）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則_______.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得，故答案為：.2．已知集合，，則__________.【答案】.【分析】先解出集合P，M，進(jìn)而求出交集即可.【詳解】由題意，，，則.故答案為：.3．已知的圖象經(jīng)過點(diǎn)，的反函數(shù)為，則的圖象必經(jīng)過點(diǎn)___________.【答案】【分析】求出函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意可得，則，即，故函數(shù)的圖象必過點(diǎn).故答案為：.4．設(shè)某同學(xué)選擇等級(jí)考科目時(shí)，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學(xué)科目的概率為0.6，且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，則該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是________【答案】0.8【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式,及對(duì)立事件的概率求法,即可求解.【詳解】因?yàn)檫x擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學(xué)的概率為所以由對(duì)立事件的性質(zhì)可知至少選擇一個(gè)科目的概率為故答案為:5．已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是___________.【答案】或【分析】由題意可得的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可【詳解】圓的圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，所以的最小值為，故答案為：6．已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，側(cè)面積為，過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面，則截面面積最大為__________【答案】【分析】圓錐軸截面頂角（兩母線夾角）小于等于時(shí)，軸截面面積最大，軸截面夾角大于時(shí)，母線夾角為時(shí)截面面積最大.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，，圓錐的高，設(shè)軸截面中兩母線夾角為，則，，所以當(dāng)兩母線夾角為時(shí)，過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大，最大面積為.故答案為：7．設(shè)為正數(shù)列的前項(xiàng)和，，，對(duì)任意的，均有，則的取值為__________.【答案】2【分析】由已知遞推式，結(jié)合與的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，可判斷是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，寫出、，根據(jù)題設(shè)不等式恒成立可得恒成立，即可求值.【詳解】由題設(shè)知：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，綜上知：是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，即，而，∴由題設(shè)知：對(duì)任意的，有成立，又，∴，整理得：恒成立，而時(shí)，∴.故答案為：2.8．假如的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是__________.【答案】【分析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，結(jié)合指定項(xiàng)系數(shù)求，利用二項(xiàng)式的對(duì)稱性確定系數(shù)最小的項(xiàng)的值，即可求系數(shù)最小的項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式知：，而項(xiàng)的系數(shù)是，∴時(shí)，有且為奇數(shù)，又由，∴可得.∴，要使系數(shù)最小，為奇數(shù)，由對(duì)稱性知：，∴.故答案為：.9．若線性方程組的增廣矩陣為，其解為，則_____________.【答案】6【分析】根據(jù)增廣矩陣表示出線性方程組，代入解后求出和，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可知線性方程組為，因其解為，所以，即，故.故答案為：6.10．設(shè)四邊形為平行四邊形，，，．若點(diǎn)滿足，則_________【答案】12【分析】計(jì)算，則，根據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】，.故答案為：12.11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)的直線交該雙曲線的右支于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，且滿足，則直線的斜率___________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求出，即可得到直線的斜率【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點(diǎn)分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由引可知，在中，軸于點(diǎn)，同理可得軸于點(diǎn)，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因?yàn)?，所以與直線的傾斜角相等，因?yàn)?，不妨設(shè),則,在中，，所以所以直線的斜率為，故答案為：12．有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計(jì)算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.二、單選題（本大題共4題，滿分20分，每題5分）13．定義在R上的函數(shù)，“是奇函數(shù)”是“的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和充分、必要條件的定義進(jìn)行判定即可.【詳解】若是奇函數(shù)，則,∴,∴為偶函數(shù)，∴的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，但不是奇函數(shù)，∴“是奇函數(shù)”是“的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”的充分不必要條件，故選：14．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．15．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種【答案】A【分析】根據(jù)給定條件先求出“射”不在第一次的“六藝”講座不同的次序數(shù)，去掉“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的“六藝”講座不同的次序數(shù)即可得解.【詳解】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動(dòng)，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A16．中，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)積化和差公式得，再結(jié)合不等式放縮和輔助角公式求解即可.【詳解】解：，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為故選：C三、解答題（本大題共5題，共76分。第1719題，每題14分；第20題16分；第21題18分。）17．如圖，在空間四邊形ABCD中，平面平面ABC，，，，.(1)求證：；(2)已知BC與平面ABD所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)過在平面內(nèi)作的延長(zhǎng)線于，連接，根據(jù)勾股定理可得，由線面垂直判定定理可得面，即可得線線垂直；（2）先證明OA,OB,OD兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角及二面角即可得解.(1)過在平面內(nèi)作的延長(zhǎng)線于，連接，如圖，則中,則，,在中，由余弦定理可知,即，滿足,即有，又因?yàn)?所以面，則.(2)因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊥AC，則DO⊥平面ABC，所以BO⊥DO，又有BO⊥AC，DO⊥AC，則有OA,OB,OD兩兩垂直.以為原點(diǎn)，、?分別為，，軸，建系，設(shè)，則，，，，則，設(shè)，分別為面，面的法向量，則由,取，所以BC與平面ABD所成角的正弦為，解得或(舍)，由,令，可得，則故二面角的余弦值為.18．已知在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求角；（2）由（1）知：，根據(jù)是銳角三角形可求出，利用正弦定理化角為邊，，，結(jié)合以及角的范圍，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.(1)因?yàn)?，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，所以，所以，，因?yàn)?，，所以可得：，所?(2)由正弦定理知：，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，故的取值范圍?19．某企業(yè)為一個(gè)高科技項(xiàng)目注入了啟動(dòng)資金1000萬(wàn)元，已知每年可獲利25%，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需從利潤(rùn)中抽取200萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，設(shè)經(jīng)過n年后，該項(xiàng)目的資金為an萬(wàn)元．(1)求a1、a2；(2)設(shè)，證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求出至少需經(jīng)過多少年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過翻兩番（即為原來(lái)的4倍）的目標(biāo)（取lg2=0.3）；(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．【答案】(1)萬(wàn)元，萬(wàn)元；(2)證明見解析，至少12年；(3).【分析】（1）根據(jù)已知條件求得.（2）利用湊配法證得是等比數(shù)列，并求得，由求得經(jīng)過年后達(dá)到或超過翻兩番.（3）利用錯(cuò)位相減求和法求得.(1)第年后，資金為萬(wàn)元，第年后，資金為萬(wàn)元.(2)第年后，資金為，，所以數(shù)列，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，，，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，，即至少要年.(3)，，，兩式相減得，所以.20．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個(gè)求解，，然后可證結(jié)論.(1)解：由題意，解得故橢圓C的方程為.(2)證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因?yàn)?，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得．故點(diǎn)Q坐標(biāo)為，．聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得．設(shè)點(diǎn)．因?yàn)榕袆e式，得．又，所以．故，于是為定值.21．設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間,上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的取值集合；(3)試討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的公切線條數(shù)．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為；(2),；(3)答案見解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用求單調(diào)減區(qū)間即可.（2）由題設(shè)得，討論參數(shù)a研究在,上單調(diào)性及最大值，結(jié)合題設(shè)要求確定的取值集合；（3）設(shè)，切點(diǎn)為，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，結(jié)合得到，由相切關(guān)系有得，進(jìn)而構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、討論參數(shù)a研究單調(diào)性、極值，判斷方程根的個(gè)數(shù)，即知題設(shè)函數(shù)間公切線的條數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，即當(dāng)時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為.(2)，：當(dāng)時(shí)，在,上恒成立，即單調(diào)遞增，令，可得，與矛盾．：當(dāng)時(shí)，，由在,上的最大值為3，則，當(dāng)，即時(shí)，在,上恒成立，即單調(diào)遞減，令，得，即符合題意，當(dāng)，即時(shí)，在,的解集為,，即在,上單調(diào)遞減，在,單調(diào)遞增，∴,，又，令，求得，即符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值集合為,．(3)設(shè)，切點(diǎn)為，則，∴切線方程為，整理得，又，由題意，令此直線與的圖象相切，即，整理得：，∴，整理得，由題意知，此方程根的個(gè)數(shù)即為與的公切線條數(shù)，設(shè)，則，令，解得或，：當(dāng)，即時(shí)，的解集為，列表如下：，000遞增極大值遞減極小值遞增由表知：當(dāng)時(shí)取得極