專題19立體幾何初步解答題壓軸訓練-2020-2021學年高一數(shù)學下學期期末考試壓軸題專練（2019尖子生專用）

專題19立體幾何初步解答題壓軸訓練（時間：90分鐘總分：120）班級姓名得分解答題解題策略：（1）常見失分因素：①對題意缺乏正確的理解，應做到慢審題快做題；②公式記憶不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性質等；③思維不嚴謹，不要忽視易錯點；④解題步驟不規(guī)范，一定要按課本要求，否則會因不規(guī)范答題而失分，避免“對而不全”，如解概率題時，要給出適當?shù)奈淖终f明，不能只列幾個式子或單純的結論，表達不規(guī)范、字跡不工整等非智力因素會影響閱卷老師的“感情分”；⑤計算能力差導致失分多，會做的試題一定不能放過，不能一味求快，⑥輕易放棄試題，難題不會做時，可分解成小問題，分步解決，如最起碼能將文字語言翻譯成符號語言、設應用題未知數(shù)、設軌跡的動點坐標等，都能拿分。也許隨著這些小步驟的羅列，還能悟出解題的靈感。（2）何為“分段得分”：對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺；有的人解決的多，有的人解決的少。為了區(qū)分這種情況，中考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分。這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”——踩上知識點就得分，踩得多就多得分。與之對應的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題。有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的——會而不對。有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關鍵步驟——對而不全。因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學，防止被“分段扣分”。經(jīng)驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”。對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結論雖然未得出，但分數(shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”。②跳步答題：解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時，我們可以先承認中間結論，往后推，看能否得到結論。如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作為“已知”，先做第二問，這也是跳步解答。③退步解答：“以退求進”是一個重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論。總之，退到一個你能夠解決的問題。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。④輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實質性的步驟，也有次要的輔助性的步驟。實質性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉。如：準確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學表達式，設應用題的未知數(shù)等。答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準確，盡量一次成功，提高成功率。試題做完后要認真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷。一、解答題1．棱錐是生活中最常見的空間圖形之一，譬如我們熟悉的埃及金字塔，它的形狀可視為一個正四棱錐.我國數(shù)學家很早就開始研究棱錐問題，公元一世紀左右成書的《九章算術》第五章中的第十二題，計算了正方錐、直方錐（陽馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，并給出了通用公式.公元三世紀中葉，數(shù)學家劉徽在給《九章算術》作的注中，運用極限思想證明了棱錐的體積公式.請你使用學過的相關知識，解決下列問題：如圖，正三棱錐中，三條側棱SA，SB，SC兩兩垂直，側棱長是3，底面內一點P到側面的距離分別為x，y，z.（1）求證：；（2）若，試確定點P在底面內的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點P為正三角形的中心.【分析】（1）P為底面ABC內的一點，連接PA，PB，PC，PS，如圖，可將原三棱錐分成三個三棱錐，它們的高分別為，三棱錐的體積公式可得證；（2）由，可整理得.再利用基本不等式可得結論.【詳解】（1）在正三棱錐中，SA，SB，SC兩兩垂直且AB=BC=CA，P為底面ABC內的一點，連接PA，PB，PC，PS，如圖，可將原三棱錐分成三個三棱錐，它們的高分別為，由，即，得（2）由，得.又，∴，∴，當且僅當時取等號.故當時，點P為正三角形的中心.【點睛】關鍵點睛：本題考查空間中點到面距離的關系，關鍵在于利用三棱錐的體積，將點到面的距離轉化為三棱錐的高得以解決.2．如圖所示的多面體中，四邊形是正方形，平面平面，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求這個多面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）過點在平面內做的垂線，垂足為，結合面面垂直的性質可證，又知四邊形是正方形，所以，即證平面，面面垂直的判定定理可證明平面平面．（2）在平面內，過點作的垂線，垂足為，過作，交平面于，連接，可證明平面，又與平面所成角的正弦值為，可求出，將所求多面體分為四棱錐以及三棱錐，代入數(shù)值計算即可求出多面體的體積.【詳解】解：（1）證明：過點在平面內做的垂線，垂足為．因為平面平面，平面平面，所以平面，所以．又因為四邊形是正方形，所以．∵，又，從而平面，而平面，所以平面平面．（2）在平面內，過點作的垂線，垂足為，因為平面平面，平面平面，所以平面，過作，交平面于，連接，∴平面，∴是在平面內的射影．∴為與平面所成角；∵平面，平面，∴，即．由，，，得．∵與平面所成角的正弦值為，所以．因為，平面，平面，所以平面，所以，又，所以，從而是正三角形，可得．因為平面，，所以平面，所以這個多面體的體積．【點睛】思路點睛：不規(guī)則的幾何體的體積經(jīng)常拆分成規(guī)則的三棱錐、四棱錐或其他比較規(guī)則的幾何體,求體積之和或差.3．已知集合，定義上兩點，的距離.（1）當時，以下命題正確的有__________（不需證明）：①若，，則；②在中，若，則；③在中，若，則;（2）當時，證明中任意三點滿足關系；（3）當時，設，，，其中，.求滿足點的個數(shù)，并證明從這個點中任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于.【答案】（1）①；（2）證明見解析；（3），證明見解析．【分析】（1）①根據(jù)新定義直接計算．②根據(jù)新定義，寫出等式兩邊的表達式，觀察它們是否相同，即可判斷；③由新定義寫出等式的表達式，觀察有無；（2）由新定義，寫出不等式兩邊的表達式，根據(jù)絕對值的性質證明；（3）根據(jù)新定義，及絕對值的性質得點是以為對角線的正方體的表面和內部的整數(shù)點，共125個，把它們分布在五個平面上，這五個面一個面取3個點，相鄰面上取一個點，以它們?yōu)轫旤c構成三棱錐（能構成時），棱錐的體積不超過，然后任取11點中如果沒有4點共面，但至少有一個平面內有3個點．根據(jù)這3點所在平面分類討論可得．【詳解】（1）當時，①若，，則，①正確；②在中，若，則，設，所以而，，但不一定成立，②錯誤；③在中，若，在②中的點坐標，有，但不一定成立，因此不一定成立，從而不一定成立，③錯誤．空格處填①（2）證明：設，根據(jù)絕對值的性質有，，所以．,（3），，所以，當且僅當以上三個等號同時成立，又由已知，∴，又，∴，，點是以為對角線的正方體內部（含面上）的整數(shù)點，共125個，．這125個點在這五面內．這三個平面內，一個面上取不共線的3點，相鄰面上再取一點構成一個三棱錐．則這個三棱錐的體積最大為，現(xiàn)在任取11個點，若有四點共面，則命題已成立，若其中無4點共面，但11個點分在5個平面上至少有一個平面內有3個點（顯然不共線），若這三點在這三個平面中的一個上，與這個面相鄰的兩個面上如果有一點，那么這一點與平面上的三點這四點可構成三棱錐的四個頂點，其體積不超過，否則還有8個點在平面和上，不合題意，若這三個點在平面或上，不妨設在平面，若在平面在一個點，則同樣四點構成的三棱錐體積不超過，否則剩下的8個點在三個平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一種分布都有四點構成的三棱錐體積不超過，綜上，任取11個點，其中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于.【點睛】關鍵點點睛：本題新定義距離，解題關鍵是利用新定義轉化為絕對值，利用絕對值的性質解決一些問題．本題還考查了抽屜原理，11個放在5個平面上，至少有一個平面內至少有3點，由此分類討論可證明結論成立．4．如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且，在四邊形中，，，，，M為的中點.

（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交于S，取中點R，連接，證明即可；（2）取中點N，連接，則，連接交于S，連接，作于G，于H，可知為直線與平面所成角，求出其正弦值即可.【詳解】（1）如圖，過作,與延長線交于,，可知四邊形為平行四邊形，連接交于S，連接交于R，連接，∵，，，在中，，，,∴四邊形是平行四邊形，∴,又∵平面平面,∴直線平面（2）取中點N，連接，則，連接交于S，連接，∵，∴，又∵，∴平面，平面，∴，又∵，,∴平面，∴平面平面，作于G，于H，則平面，∴為直線與平面所成角，等于直線與平面成角，，，∴.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的求法，屬于較難題.5．定義空間點到幾何圖形的距離為：這一點到這個幾何圖形上各點距離中最短距離.（1）在空間，求與定點距離等于1的點所圍成的幾何體的體積和表面積；（2）在空間，線段(包括端點)的長等于1，求到線段的距離等于1的點所圍成的幾何體的體積和表面積；（3）在空間，記邊長為1的正方形區(qū)域(包括邊界及內部的點)為，求到距離等于1的點所圍成的幾何體的體積和表面積.【答案】（1），；（2），；（3），.【分析】（1）根據(jù)球的體積和表面公式計算可得結果；（2）依題意可知圍成的幾何體是一個圓柱和兩個半球的組合體，依據(jù)公式即可求得結果；（3）分析可知，到距離等于1的點所圍成的幾何體是一個棱長分別為1，1，2的長方體和四個高為1，底面半徑為1的半圓柱以及四個半徑為1的四分之一球所圍成的幾何體，根據(jù)公式計算可得答案.【詳解】（1）與定點距離等于1的點所圍成的幾何體是一個半徑為1的球，其體積為，表面積為，（2）到線段的距離等于1的點所圍成的幾何體是一個以為高，底面半徑為1的圓柱的側面與兩個半徑為1的半球面所圍成的幾何體，其體積為，表面積為.（3）到距離等于1的點所圍成的幾何體是一個棱長分別為1，1，2的長方體和四個高為1，底面半徑為1的半圓柱以及四個半徑為1的四分之一球所圍成的幾何體，其體積為，表面積為.【點睛】本題考查了空間想象能力，考查了長方體、圓柱、球的體積和表面積公式，解題關鍵是根據(jù)定義得到幾何體是由哪些幾何體組合而成，屬于難題.6．正四棱柱中，底面的邊長為1，為正方形的中心.（1）求證：平面；（2）若異面直線與所成的角的正弦值為，求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明四邊形一組對邊平行且相等，得出四邊形是平行四邊形，從而得出另一組對邊平行，得出線線，即可證出線面；（2）法一：通過已知異面直線與所成的角的正弦值為，可求出正方體的高，由（1）得出平面，將直線到平面的距離轉化成點到面的距離，即點到平面的距離，再利用線面垂直的判定和性質，證出平面，所以在直角三角形中，求出的值，即可得出所求答案；法二：直線到平面的距離轉化成點到面的距離，即點到平面的距離，再利用三棱錐等體積法求點到面的距離，即，化簡便可求出結果.【詳解】（1）連接，交于點，連接，交于點，連接，正四棱柱中，，且，又因為點、分別為、的中點，所以，且，則四邊形為平行四邊形，故，又不在平面內，在平面內，故平面.（2）由（1），，故異面直線與所成的角等于，因為正四棱柱中，側棱底面，則，又，則平面，則.因正方形的邊長為1，則.得，則.因為平面，則直線到平面的距離等于點到平面的距離，又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在三角形內作，因為平面，則平面平面，故平面.直角三角形中，，，，則.則直線到平面的距離為.方法二（等體積法）：因為平面，則直線到平面的距離等于點到平面的的距離，又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離，設點到平面的距離為，由，，且，，.求得.則直線到平面的距離為.【點睛】本題主要考查線面平行的判定和點到面的距離，其中涉及到平行四邊形的性質和利用線面垂直的判定和性質、等體積法求點到面的距離，還運用了三棱錐的體積公式.7．如圖，是由兩個全等的菱形和組成的空間圖形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.（1）求證：；（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）取的中點，連接、，.利用菱形的性質、等邊三角形的性質分別證得，，由此證得平面，進而求得，根據(jù)空間角的概念，證得.（2）根據(jù)（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的長.利用等體積法計算出到平面的距離，根據(jù)線面角的正弦值的計算公式，計算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取的中點，連接、，.在菱形中，∵，∴是正三角形，∴，同理在菱形，可證，∴平面，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，又，所以是正三角形，故有，如圖，取的中點，連接，則，又由（1）得，所以，平面，且，又，在直角中，，所以，設到平面的距離為，則，，所以，故直線與平面所成角正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.8．如果一個正四棱柱與一個圓