專題07復(fù)數(shù)的綜合運用（原卷版）

專題07復(fù)數(shù)的綜合運用【考點預(yù)測】一、基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．二、基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．【典型例題】例1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，關(guān)于z的方程有四個復(fù)數(shù)根．若這四個復(fù)數(shù)根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是一個正方形的四個頂點，則實數(shù)m的值為________．例2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)與在復(fù)平面上對應(yīng)的向量分別為與，已知，，且，則復(fù)數(shù)______.例3．（2023·高一單元測試）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知頂點的直角坐標(biāo)分別為，，，若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，且是鈍角，則實數(shù)b的取值范圍是______．例5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）以下4個式子：①；②；③；④，正確的是______（寫出正確編號）．例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)______．例7．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）滿足的復(fù)數(shù)為______．例8．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，且為實數(shù)，則______．例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是_____．例10．（2023·高一課時練習(xí)）若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，則_____．例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知(為虛數(shù)單位)．設(shè)集合，則集合中的元素在復(fù)平面上對應(yīng)點所形成圖形的面積為______．例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足．若是實系數(shù)一元二次方程的一個根，則______．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高一單元測試）若復(fù)數(shù)是方程的一個根，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．2．（2023·高一單元測試）復(fù)數(shù).若，則（

）的值與a、b的值無關(guān).A． B． C． D．3．（2023·高一課時練習(xí)）已知、，且，若，則的最大值是（

）．A．6 B．5 C．4 D．34．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）復(fù)平面上復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是（

）．A．拋物線 B．直線 C．線段 D．圓5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由瑞土著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）．A．；B．；C．；D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知下列命題：(1)“為實數(shù)”的充要條件是“”；(2)若，則；(3)；(4).在復(fù)數(shù)集中，上述命題正確的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則，（

）A． B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（均為實數(shù)），下列說法正確的是（

）A．若，則 B．的虛部為C．若，則 D．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．復(fù)數(shù)z虛部的最大值為2B．復(fù)數(shù)z實部的取值范圍是C．的最小值為1D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一、三、四象限13．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則z是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z的模長為定值 D．的最小值為三、填空題14．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）計算：______．15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)，為復(fù)數(shù)，有下列命題：①如果，那么；

②如果，那么；③如果，那么；

④如果，那么．其中一定成立的是______（填代號）．16．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個虛根，則______．四、解答題17．（2023春·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知虛數(shù)z滿足.(1)求證：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上；(2)若是方程的一個根，求與.18．（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，.(1)若為純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求的取值范圍.19．（2023·高一課時練習(xí)）對一般的實系數(shù)一元三次方程，由于總可以通過代換消去其二次項，就可以變?yōu)榉匠蹋谝恍?shù)學(xué)工具書中，我們可以找到方程的求根公式，這一公式被稱為卡爾丹公式，它是以16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（J.Cardan）的名字命名的．卡爾丹公式的獲得過程如下：三次方程可以變形為，把未知數(shù)x寫成兩數(shù)之和，再把等式的右邊展開，就得到，即．將上式與相對照，得到，把此方程組中的第一個方程兩邊同時作三次方，，并把與看成未知數(shù)，解得，于是，方程一個根可以寫成．閱讀以上材料，求解方程．20．（2023·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，且是純虛數(shù)．(1)求z；(2)求z的輻角主值．21．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求及；(2)若，求實數(shù)，的值．22．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，．(1)若，是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，求m，n的值；(2)求的值域．23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)O為復(fù)平面的原點，和為復(fù)平面內(nèi)的兩動點，并且滿足：（1）和所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值和（）；（2）的面積為定值S.求的重心Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模