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廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)2024年招生全國統(tǒng)一考試高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題(三)考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.3.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1405.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有6.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.17.已知集合,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)9.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.412.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.14.已知圓柱的上、下底面的中心分別為,,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為______.15.正四面體的一個頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心,另外三個頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.16.設(shè)是等比數(shù)列的前項的和,成等差數(shù)列,則的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于點(diǎn),曲線與曲線交于點(diǎn),求的面積.18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:19.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.22.(10分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動點(diǎn),且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.2、A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因為,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點(diǎn),所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.4、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系,進(jìn)行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對稱,若關(guān)于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解析】
過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因為,所以,所以,當(dāng)時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.7、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.9、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡,然后用模長公式求模長.【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),若為增函數(shù),則①,
當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).11、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個側(cè)面都是直角三角形,所以計算出邊長,表面積是考點(diǎn):1.三視圖;2.幾何體的表面積.14、【解析】
設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,可求得,代入圓柱的表面積公式,即得解【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,則由,得,∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積,考查了學(xué)生空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【詳解】解:設(shè)正四面體的棱長為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法,考查計算能力,屬于中檔題.16、2【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】
(1)根據(jù)題意代入公式化簡即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過極坐標(biāo)的幾何意義求解,再求點(diǎn)到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1)曲線,即.∴.曲線的極坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為,即,∴直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),,∴,解得.又,∴(舍去).∴.點(diǎn)到直線的距離為,∴的面積為.【點(diǎn)睛】此題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo),直角坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化,注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),屬于較易題目.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當(dāng)時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時,.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.19、(1)證明見詳解;(2).【解析】
(1)取中點(diǎn)為,通過證明//,進(jìn)而證明線面平行;(2)取中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求得兩個平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連結(jié),,如下圖所示:在中,因為為的中點(diǎn),,且,又為的中點(diǎn),,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點(diǎn),連結(jié),,則,平面,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則,,,,,,,,設(shè)平面的一個法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.20、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實(shí)根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實(shí)根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.21、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應(yīng)的的值為.【解析】
(1)當(dāng)時,求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小
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