近幾年清華、北大自主招生數學試題

近年北大清華自主招生試題匯編

2022北大自主招生（三校聯招）

1.（僅文科做）Ovav幾，求證：sina<a<tana.（25分）

2

2.AB為邊長為1的正五邊形邊上的點.證明：AB最長為5近一（25分）

2

3.AB為y=1-x2上在y軸兩側的點，求過AB的切線與x軸圍成面積的最小值.（25分）

4.向量0A與0B夾角，|0A（=1,|0B|=2,0P=（1—t）OA,OQ=tOE,0WtW1.|PQ|在

t時取得最小值，問當0時，夾角的取值國.（25分）

005

5.（僅理科做）存不存在Ovxv幾r使得sinx,8sx,tanx,8tx為等差數列.⑵分）2

2022北大自主招生數學試題

1圓接四邊形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4。求圓工徑。

2一無窮等差數列中有3項：13,25,41o求證：2022為數列中一項。

3是否存在實數*使也*+（根3：與cot*+（根3）為有理數？

4對任意*均有acos*+bcos2*>=-l恒成立，求a+b的最大值

5*次考試共有333名學生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，6道及以上為優(yōu)秀。

問不及格和優(yōu)秀的人數哪個多？

2022北大自主招生數學試題

5+1

1求證：邊長為1的正五邊形對角線長為

2

2六邊形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

iiiiiiiiiiii

求證△ABC面積是六邊形ACBACB的一半。

111

4排球單循壞賽南方球隊比北方球隊多9支南方球隊總得分是北方球隊的9倍求證冠軍是一

支南方球隊（勝得1分敗得。分）

51理科）O*YZ坐標系*oy平面系0共y共2-X2繞y軸旋轉一周構成一個不透光立體在點（1,

0,1）設置一光源*oy平面有一以原點為圓心的圓C被光照到的長度為2兀求C上未被照到的長度

2022年清華大學自主招生數學試題

設當二嗝整數局部為a,小數局部為b

V5-1

（1）求a,b；

（2）求a?+b2+亭；

（3）求lim（b+松+

n）w....）

（\hbn71

2.U）X,y為實數，且x+y=1,求證：對于任意正整數n,X2n+y2n>

22n-1

（\abc八.

a,b,c為正實數，求證：++>3,其中x,y,z為a,b,c的一種羅列

xyz

3.請寫出所有三個數均為質數，且公差為8的等差數列，并證明你的結論

4.橢圓x?+丫？=1,過橢圓左頂點A（-a,0）的直線L與橢圓交于Q,與y軸交于R,過

空巨

原點與L平行的直線與橢圓交于P

求證：AQ,而P,AR成等比數列

5.sint+cost=1,設s=cost+isint,求f（s）=1+s+S2+Sn

6.隨機挑選一個三位數I

（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有兩個數碼相等的概率

7.四面體ABCD中，AB=CD,AC—BD,AD—B0

（1）求證：四面體每一個面的三角形為銳角三角形；

（2）設三個面與底面BCD所成的角分別為a,b,Y,求證：cosa+cosb+cosY=1

8.證明當p,q均為奇數時，曲線y=X2-2px+2q與x軸的交點橫坐標為無理數

9.設a,a,,a均為整數，性質P為：對a,a,,a中任意2n個數，存在1

22n+1122n+1

一種分法可將其分為兩組，每組r個數，使得兩組所有元素的知相等

求證：a,a；??-,a全部相等當且僅當a,a,......,a具有性質P

122n+1122n+1

2022年清華大學自主招生數學試題（文科）

1.數列Q｝,且S=na+n（n-l）

nn

（1）求證：｛a｝是等差數列；

n

（）求（（，）

2|anf|所在的直線方程

2.12名職員（其中3名為男性）被平均分配到3個部門

（1）求此3名男性被分別分到不同部門的概率：

（2）求此3名男性被分到同?部門的概率;

（3）假設有一男性被分到指定部門，求其他2人被分到其他不同部門的概率

3.一元三次函數f（x）的三次項數為Lf（x）+9x<0的解集為（1,2）

3

（1）假設f（x）+7a=0,求f（x）的解析式：

（2）假設f（x）在眩單調增，求a的圍

4.pM|F］N=|2M（-2,0）,N（2,0）,求點P的軌跡W；直線y=k（x?2）與W

交于點A、B,求SQAB（O為原點）

X+X+.......X（）

5.設a=—1---2------------------B-Vn=M

n

（1）求證：S共0

3

（2）求S的最值，并給出此時x,x,x,x滿足的條件

41234

（3）假設S<0,求x,x,x,x,x不符合時的條件

512345

2022屆清華大學自主招生試題

i.a,b,c都是有理數，步時遍是有理數，證明：a,6,6部國有理數；

2.（1）一個四面體，證明：至少存在一個頂點，從其出發(fā)的三條棱組成一個三角形；

IIIIw

（2）四面體一個頂點處的三個角分別是----arctan2,求一的面和arctan2的面

233

所成的二面角；

3.求正整數區(qū)間［m,n］（m<n）中，不能被3整除的整數之和；

4.sina+cosa=#+sin2a,求a的取值圍；

5.假設limf(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=X2,求f(x)；

x)0

6.證明：以原點為中心的面積大于4的矩形中，至少還有兩個格點。

2022清華大學自主招生數學試題

1.求f(X)=2的單調區(qū)間及極值.

X

2.設正三角形邊長為a,T是T的中點三角形，A為T除去T后剩下三個三角

n-1nnnn+1

形切圓面積之和.求limxnA

n)<ok

k=1

3.*音響設備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C路線，D左聲道和E右聲道，其中

每一個部件工作的概率如下列圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B中有一工作，C工作，D

與E中有一工作；且假設D和E同時工作則有立體聲效果.

求：(1)能聽到立體

聲效果的概率：

(2)聽不到

聲音的概率.

4.⑴求三直線

x+y=60,y=/x,y=0所圍成三角形上的整點個數;

y<2x

⑵求方程組［y>-x的整數解個數.

x+>*=60

5.A(_1,_1),△ABC是正三角形，且B、C在雙曲線xy=1(x>0)一支上.

⑴求證B、c關于直線y=x對稱；

(2)求4ABC的周長.

6對于集合M二R2,稱M為開集，當且僅當VP。=M,3r>0,使得

｛P=R2||PP|<r｝二M.判斷集合｛(x,y)4|x+2y_5>0｝與｛(x,y)x|>0,y>0｝是否為

開集，并證明你的結論.

2022清華大學自主招生數學試題

I.求最小正整數n，使得I=(1+1i)n為純虛數，并求出I.

22乖

2.a、b為非負數，M=a4+1>,a+b=1,求M的最值.

3.sin9、sina、cos9為等差數列，sin9、sinb.8s9為等比數列，求cos2a_*os2b的

值.

4.求由正整數組成的集合S，使S中的元素之和等于元素之積.

5.隨機取多少個整數，才干有0.9以上的概率使得這些數中至少有一個偶數.

6.y=X2上一點p(非原點)，在P處引切線交X、y軸于Q、R,求PQJ

lPRl

7.f(x)滿足：對實數a、b有f(a.b)=af(b)+bf(a),且|f(x)|41,求證:f(x)恒為零.

(可用以下結論：假設limg(x)=0,|f(x)|<M,M為一常數，貝”im(f(x).g(x))=0)

X-ttx-<x>

2022大學自主招生數學試題

?求證：邊長為?的正五邊形對角線長為

2

略解：

三角形ABEs三角形DAE

X1-X

1-X

則：x=5T

2

對角線AC=1+x=5+1

2

2六邊形ACBACB中AC=AB,BC=BA,CA=CB,ZA+ZB+ZC=ZA+ZB+ZC

1I1II1IIIIII

求證△ABC面積是六邊形ACBACB的?半

1II

略解：如圖得證

3

4排球單循壞賽南方球隊比北方球隊多9支南方球隊總得分是北方球隊的9倍求證冠軍是

一支南方球隊(勝得1分敗得0分〕

解：設北方球隊共有*支，則南方球隊有*+9支

(2X+9)(2X

所有球隊總得分為C2=+8)=(2x+9)(x+4)

2x+92

南方球隊總得分為粵2X+9)(2X+8)=如加土4)

10210

北方球隊總得分為《x++G

南方球隊部比賽總得分C2

x+9

北方球隊部比賽總得分C2

X

初,日11<22911+V22911+16

解得：---N-^9—

333

(2x+9)(x+4)

因為------今用屣

10

*=6或者*=8

當*=6時

所有球隊總得分為C2=(2X+9)(2X+8)=(2X+9)(x+4)=210

2x492

北方球隊總得分為Qx+