專(zhuān)題48相似三角形幾何模型（一線三等角）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（浙教版）

專(zhuān)題4.8相似三角形幾何模型（一線三等角）（基礎(chǔ)練）模型：一線一線三直角型一線三等角1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．2．（2021秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，．求證：∽．3．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且，求證：．4．（2021秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連接FC，求證：．5．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，，那么與相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．6．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.寫(xiě)出圖中的所有相似三角形，并選擇一對(duì)加以證明．7．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，若≌，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)．求證：∽．8．（2022秋·北京昌平·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一個(gè)與正方形疊放在一起，并使其直角頂點(diǎn)P落在線段上（不與C，D兩點(diǎn)重合），斜邊的一部分與線段重合．（1）圖中與相似的三角形共有________個(gè)，分別是_____________________；（2）請(qǐng)選擇第（1）問(wèn)答案中的任意一個(gè)三角形，完成該三角形與相似的證明．9．（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，為上一點(diǎn)，．

（1）求證：；（2）若平分，，求的長(zhǎng)．10．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知矩形，點(diǎn)在邊上，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，，求的長(zhǎng)．11．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．

（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．12．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．（1）證明：．（2）求線段的長(zhǎng)．13．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知等腰，點(diǎn)D、E分別在上，且．（1）求證：；（2）如果，求的長(zhǎng)．14．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，在等腰中，，以的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F，，，求底邊的長(zhǎng)．

15．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)E、D、F分別在邊上，．（1）求證：．（2）若，時(shí)，求的長(zhǎng)．16．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E在線段上，，，．求證．17．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是等邊的邊上一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，與交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)18．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形中，為上的一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．19．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)河南師大附中?？计谀┤鐖D，在矩形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．20．（2023·上海徐匯·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．21．（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同市第二中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，點(diǎn)在上，．（1）求證：．（2）若，，，求的長(zhǎng)．22．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形中，，E是上一點(diǎn)，過(guò)E作交于點(diǎn)F，連接．（1）證明：．（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．23．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，在菱形中，E為邊上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的值．24．（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形中，，為對(duì)角線，．（1）如圖1，求證：平分；（2）如圖1，求，，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，若，為的中點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，，，求的值．參考答案1．證明見(jiàn)分析【分析】由四邊形是正方形可知，，由，可得，由是的中點(diǎn)，可得，可得，進(jìn)而結(jié)論得證．解：證明：∵四邊形是正方形∴，∵∴∵是的中點(diǎn)∴∵，∴∵∴．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于找出相似所需的條件．2．見(jiàn)分析【分析】首先根據(jù)等要直角三角形的性質(zhì)求出∠A=∠B=45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)推∠EDF+∠FDB=∠A+∠AED，根據(jù)∠EDF=45°，得∠AED=∠FDB，從而證明△ADE∽△BFD．解：證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵∠EDB是△ADE的外角，∴∠EDF+∠FDB=∠A+∠AED，∵∠EDF=45°，∴∠AED=∠FDB，∴△ADE∽△BFD．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟練應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)，外角性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．見(jiàn)分析【分析】利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．解：證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB是解題的關(guān)鍵．4．證明見(jiàn)分析【分析】由矩形，證明結(jié)合：，證明：，從而可得結(jié)論．解：矩形ABCD，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定，掌握兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．見(jiàn)分析【分析】利用等邊三角形性質(zhì)及已知條件，可得，根據(jù)三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得為等邊三角形，根據(jù)三角形相似的判定定理即可證明兩個(gè)等邊三角形相似．解：與相似，理由如下：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，在與中，，∴，同理可得：，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查了相似三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，證明見(jiàn)分析.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可以直接寫(xiě)出圖中有3對(duì)相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)證明△AMF∽△BGM．解：圖中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下證明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定．解答此題，要找出對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明三角形相似．7．見(jiàn)分析【分析】首先得出∠B＝∠C，∠AEF＝∠B，然后證明∠CEM＝∠BAE即可得出△ABE∽△ECM．解：證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM．【點(diǎn)撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)鍵．8．（1）3，；（2）選，理由見(jiàn)分析或選，理由見(jiàn)分析或選，理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)證明即可．（1）解：圖中與相似的三角形共有3個(gè)，分別是；故答案為：3，（2）解：選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴；選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；選，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（1）見(jiàn)分析；（2）6【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于和它不相等的兩個(gè)內(nèi)角和可得，證明即可解答．（2）結(jié)合（1）和平分，證明，可得，進(jìn)而可得答案．解：（1）證明：∵，，∴，又∵，∴．（2）解：∵平分，∴，由（1）知，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．10．（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（2）的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得，由此可得，根據(jù)相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，再根據(jù)等量代換可得，進(jìn)而可求證．（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及勾股定理可得，由（1）可得，進(jìn)而可解．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，，，，，，．（2）∵E是的中點(diǎn)，，在中，，，由（1）知，則：，，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．解：（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（1）證明見(jiàn)分析；（2）12【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及已知即可完成證明；（2）由相似三角形的性質(zhì)即可完成解答．解：（1）證明：∵，∴，∵．∴；（2）由（1）得，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握這兩方面的知識(shí)是關(guān)鍵．14．【分析】先證明，，即可證明，得出，根據(jù)，即可求出．解：，而，，又，，，，，，，，又，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．15．（1）證明見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由條件可得出，可得到，且，可證得結(jié)論；（2）利用（1）結(jié)論可得出，且，代入可求得．解：（1）證明：為等邊三角形，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，解得．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，利用條件得到是解題的關(guān)鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用．16．見(jiàn)分析【分析】先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余和平角說(shuō)明，再判斷，最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．解：證明：，，，．，．，．又，．．．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．17．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得角度之間的相等關(guān)系，再根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似，即可求證；（2）由得出，計(jì)算即可得出解：（1）證明：∵是等邊三角形，∴；又；∴；∴．（2）∵，∴，∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．18．（1）證明見(jiàn)分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得到，再根據(jù)折疊性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，即可證明結(jié)論；（2）由題意可知，，，，設(shè)長(zhǎng)為，則，根據(jù)勾股定理得到，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．解：（1）證明：四邊形是矩形，，是翻折得到，，，，，；（2）解：由題意可知，，，，設(shè)長(zhǎng)為，則，在中，，，，即，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（1）證明見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再證明即可證明；（2）先根據(jù)已知條件求出，再由相似三角形的性質(zhì)得到，由此即可得到答案．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）首先根據(jù)等要直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)外角的性質(zhì)推，根據(jù)，得，從而證明；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，即可得證．解：（1）證明：，，，是的外角，，，，．．（2），，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，∵，，∴，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟練應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)，外角性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．21．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由、可得出，由等角的余角相等可得出，進(jìn)而即可證出∽；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)度，結(jié)合即可求出的長(zhǎng)度．解：（1）證明：，，，，．，，，∽．（2）解：∽，，即，，．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的判定定理找出∽；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度．22．（1）見(jiàn)分析；（2）2．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法，求證即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求解即可．解：（1）證明：∵四邊形是正方形∴∴∵∴∴∴（2）解：∵，∴，∴，∴【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．23．（1）見(jiàn)分析；（2）5【分析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，可得出，結(jié)合即可證明兩三角形都得相似；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得出，進(jìn)而代入可得出的值．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴．∴．∵