6年高考4年模擬-第八章空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、表面積和體積 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

立體幾何

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、表面積和體積

第一部分六年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010全國(guó)卷2理)(9)已知正四棱錐S—ABC。中，SA=2yf3,那么當(dāng)該棱錐的體

積最大時(shí)，它的高為

(A)1(B)百(C)2(D)3

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問(wèn)題.

h=JSA--(-^￥=產(chǎn)，

【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高V-Y-所以體積

:

V=-a"h=—A/12a"--a

33\2,

v=12a二——a:-§

3

設(shè).2,則-3a-，當(dāng)y取最值時(shí)，v=48a--3a=0,解得a=0或a=4

h=J12-=2

時(shí)，體積最大，此時(shí)V-,故選C.

2.(2010陜西文)8.若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾寺已、

何體的體積是[B]±??左樹(shù)園

口

(A)2(B)1

(C)-(D)-

33

【答案】B

解析：本題考查立體圖形三視圖及體積公式

如圖，該立體圖形為直三棱柱

所以其體積為L(zhǎng)xlxJ^x五=1

?>

2

3.（2010遼寧文）（11）已知S,A,6,C是球。表面上的點(diǎn)，%，平面ABC,ABVBC,

SA=AB=\,BC=血，則球。的表面積等于

(A)4乃(B)37(C)27(D)71

【答案】A

【解析】選A.由己知，球。的直徑為2R=SC=2,.?.表面積為4萬(wàn)/?2=4加

4.（2010安徽文）（9）一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾

何體的表面積是

（A）372（B）360

（C）292（D）280

【答案】B

【解析】該幾何體由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其表面積等

于下面長(zhǎng)方體的全面積加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之

和。

S=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.又三視圖很容易知道是兩個(gè)長(zhǎng)方體

的組合體，畫(huà)出直觀圖，得出各個(gè)棱的長(zhǎng)度.把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長(zhǎng)方體的全面積

加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之和。

5.（2010重慶文）（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)

（A）只有1個(gè)（B）恰有3個(gè)

（C）恰有4個(gè)（D）有無(wú)窮多個(gè)

【答案】D

【解析】放在正方體中研究,顯然，線段OQ、EF、

FG、GH、

HE的中點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、CD的距離都相等，

所以排除A、B、C,選D

亦可在四條側(cè)棱上找到四個(gè)點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、

CD的距離相等

6.（2010浙江文）（8）若某幾何體的三視圖（單位:

cm）如圖所示，則此幾何體的體積是

352

(A)---cm3

3

320

(B)---cm3

3

224

(C)---cm3

3

1603

(D)---cm

3

【答案】B

【解析】選B,本題主要考察了對(duì)三視圖所表達(dá)示的空間兒何體的識(shí)別以及幾何體體積的

計(jì)算，屬容易題

7.（2010北京文）（8）如圖，正方體ABCD-A|B|GD的棱長(zhǎng)為

2,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A|B|上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

P在棱AD上，若EF=1,DP=x,A|E=y（x,y大于零），

則三棱錐P-EFQ的體積：

（A）與x,y都有關(guān)；（B）與x,y都無(wú)關(guān)；

（C）與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)；（D）與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān):

【答案】C

8.（2010北京文）（5）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,察觸柯伊的

正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該

集合體的俯視圖為：

答案：C

9.（2010北京理）（8）如圖，正方體ABCD-44GA的棱長(zhǎng)為

1(1)0岫冊(cè)

2,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A#上，動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD±,若EF=1,&E=x,DQ=y,DP

=z（x,y,z大于零），則四面體PEFQ的體積

（A）與x,y,z都有關(guān)

（B）與x有關(guān)，與y,z無(wú)關(guān)

（C）與y有關(guān)，與x,z無(wú)關(guān)

（D）與z有關(guān)，與x,y無(wú)關(guān)

【答案】D

10.（2010北京理）（3）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾

何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何

體的俯視圖為

【答案】C

11.（2010廣東理）6.如圖1,△ABC為三角形，//CC,CC，平面

3

ABC且3AA'=-33'=CC'=AB,則多面體AABC-A'B'C'的正視圖（也稱主視圖）是

2

【答案】D

12.（2010廣東文）

9.如圖，夫正三角形，平面且，則多面體的正視圖，也稱主視圖）是

13.（2010福建文）3.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱

的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（）

A.V3B.2

C.20D.6

【答案】D第3題圖

【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱，所以底面積為

2x—X4=2A/3,側(cè)面積為3x2xl=6,選D.

4

【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識(shí)圖的能力、空間想象能力等基

本能力。

14.（2010全國(guó)卷1文）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,

則四面體ABCD的體積的最大值為

,、2百，、4G,、.二,、86

（A）-^―（B）^^（02V3（D）

333

【答案】B

【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離，通過(guò)球這

個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.

【解析】過(guò)CD作平面PCD,使AB_L平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為〃，則有

%m*ABCD=§x2xQx2x〃=§〃，當(dāng)直徑通過(guò)AB與CD的中點(diǎn)時(shí)，曦=2五-f=2也，

故Knax=~

二、填空題

1.（2010上海文）6.已知四棱椎P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)棱24_1底

面ABC。，且PA=8,則該四棱椎的體積是0

【答案】96

【解析】考查棱錐體積公式V=1x36x8=96

3

2.（2010湖南文）13.圖2中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm?的幾何體的三視圖，則

【答案】4

3.（2010浙江理）（12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積

是cm3.

解析：圖為一四棱臺(tái)和長(zhǎng)方體的組合體的三視圖，由卷中

所給公式計(jì)算得體積為144,本題主要考察了對(duì)三視圖所表達(dá)

示的空間幾何體的識(shí)別以及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題

俯視圖

（第121S）

4.(2010遼寧文)(16)如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1,在其上用

粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的

長(zhǎng)為.

解析：填2g畫(huà)出直觀圖：圖中四棱錐P-A3CD即是，P

所以最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為=

5.(2010遼寧理)(15)如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1,

在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的

一條棱的長(zhǎng)為.

【答案】2乖)

【命題立意】本題考查了三視圖視角下多面體棱長(zhǎng)的最值問(wèn)題,

考查了同學(xué)們的識(shí)圖能力以及由三視圖還原物體的能力。

【解析】由三視圖可知，此多面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正方

形且有一條長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以最長(zhǎng)棱長(zhǎng)

為屈+愛(ài)+*=20

6.(2010天津文)(12)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這

個(gè)幾何體的體積為。

【答案】3

【解析】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)，和主題體積的計(jì)算,

屬于容易題。

由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則正視圖和俯視圖

可知該幾何體的高為1,結(jié)合三個(gè)試圖可知該幾何體是底面為

直角梯形的直四棱柱，所以該幾何題的體積為

-(l+2)x2xl=3

2

【溫馨提示】正視圖和側(cè)視圖的高是幾何體的高，由俯視圖可

以確定幾何體底面的形狀，本題也可以將幾何體看作是底面是長(zhǎng)為3,寬為2,高為1的長(zhǎng)

方體的一半。

7.（2010天津理）（12）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所

示，則這個(gè)幾何體的體積為

【答案】—

3

【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體

積的計(jì)算，屬于容易題。

由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為1,高為2

的正四棱柱與一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正四棱錐

組成的組合體，因?yàn)檎褥`珠的體積為2,正四棱錐

14

的體積為一x4xl=—,所以該幾何體的體積V=2+

33

4_10

5-T

【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀,結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何

體的形狀，求錐體體積時(shí)不要丟掉!哦。

3

三、解答題

1.（2010上海文）20.（本大題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分7分，第2

小題滿分7分.

如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩

形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱

的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.

（D當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該

最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）；

（2）若要制作一個(gè)如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請(qǐng)作

出

用于燈籠的三視圖（作圖時(shí)，不需考慮骨架等因素）.

解析：（1）設(shè)圓柱形燈籠的母線長(zhǎng)為1,則7=1.2-2r（0<K0.6）,

負(fù)-3%（廣0.4）=0.48萬(wàn)，

所以當(dāng)10.4時(shí)，S取得最大值約為1.51平方米；

（2）當(dāng)眸0.3時(shí)，1=0.6,作三視圖略.

2.（2010陜西文）18.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐人月犯9中，底面力四是矩形為，平面48（刃，A六AB,BABC=2,E,F分

別是做陽(yáng)的中點(diǎn).

（I）證明：比'〃平面必〃；

（H）求三棱錐?的體積V.

解（1）在4外，中，E,尸分別是陽(yáng)，PC的中點(diǎn)，：.EF〃BC.

又BC//AD,J.EF//AD,

又平面PAD,ERZ平面PAD,

...哥'〃平面PAD.

(II)連接AE,AC,EC,過(guò)￡?作EG//PA交AB于點(diǎn)G,

則比，平面ABCD,且EG=-PA.

2

在△必6中，AD=AB,NPA萬(wàn),BP=2,：.AP=AB=\[1,EG-

SAXM—AB,BC^—X,\/2X2=>/2,

22

VEA/￡-—S&VIC,EG=—Xy/2,X——.

3323

3.（2010安徽文）19.（本小題滿分13分）

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AB,EF_LFB,ZBFC=90°,

BF=FC,H為BC的中點(diǎn),

（I）求證：FH〃平面EDB;

（II）求證：AC,平面EDB;

（III）求四面體B—DEF的體積;

【命題意圖】本題考查空間線面平行、線面垂直、

面面垂直的判斷與證明，考查體積的計(jì)算等基礎(chǔ)

第（19）題圖

知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.

【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)底面對(duì)角線交點(diǎn)為G,則可以通過(guò)證明EG〃FH,得FH〃平面EDB；

（2）利用線線、線面的平行與垂直關(guān)系，證明FHL平面ABCD,得FHLBC,EH1AC,進(jìn)而

得EG_LAC,AC_L平面互歸；（3）證明BF_L平面CDEF,得BF為四面體B-DEF的高，進(jìn)

而求體積.

⑴證：設(shè)AC與8。交于點(diǎn)G,則G為4。勺中點(diǎn)，連EG,GH,由于”為8C的中點(diǎn)，故

又EF//LAB,.?.四邊形EFGU為平行四邊形

=2

EGHFH,而EGu平面皮＞8二FH//平面EDB

（□）證：由四邊形ABCD為正方形，有AB_LBC。

又EF//AB,EF1BCo而EF1FB,EF平面8月G,.:EFLFH

又BF=FG,玄為8期中點(diǎn)，二陽(yáng)_LBC.

FH_L平面3s

FH_LAC又FH11EG,AC_L總工又4c_LBD,EGcBD=G

AC_L平面即8,

（III）解:?:邯工FB/BFC=90。BF_L平面CD郎.

仍為四面體8-%漱高，又BC=AB=2,:.BF=FC=^

七3F=g*；*l*點(diǎn)*應(yīng)=；.

【規(guī)律總結(jié)】本題是典型的空間幾何問(wèn)題，圖形不是規(guī)則的空間幾何體，所求的結(jié)論是線

面平行與垂直以及體積，考查平行關(guān)系的判斷與性質(zhì).解決這類(lèi)問(wèn)題，通常利用線線平行證

明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直，通過(guò)求高和底面積求四面體體積.

4.（2010四川理）（18）（本小題滿分12分）已知正方體/Ml/S的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)

〃是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)0是對(duì)角線BD的中點(diǎn).

（I）求證：（2M為異面直線AA和BD的公垂線;

（II）求二面角M-BC—B的大??；

（III）求三棱錐M一詠的體積.

本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí),

并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

解法一：(1)連結(jié)4G取/C中點(diǎn)｛，則/為劭的中點(diǎn)，連結(jié)加

因?yàn)镸是棱44'的中點(diǎn)，點(diǎn)0是加'的中點(diǎn)

所以AMJ/LDDMOK

=2=

所以加幺AK由加'VAK,得

因?yàn)锳KLBD,AK_LBB',所以4(1平面99'B'

所以/AL切'

所以MOVBD'

又因?yàn)?1/是異面直線加'和府都相交故做為異面直線A4'和加的公垂線

(2)取做'中點(diǎn)M連結(jié),底則稱比平面比TB,

過(guò)點(diǎn)N作八心功于〃，連結(jié),以

則由三垂線定理得MLMH

從而，/股W為二面角加g-ff的平面角

1V2

,如M,幃Bnsi破5°

2'~r4

在RtAMNH中,tanZM冊(cè)竺-=2=?=272故二面角M-BC-ff的大小為arctan2叵

NHV2

彳

(3)易知，S區(qū)后S4Ma,且△詠和△〃'D'都在平面比加A,內(nèi)

點(diǎn)〃到平面物‘D'距離方=L

2

=

VffOBC=Vu0,f。=VoUA'ff_L5A.<M'"h=--

324

解法二：

以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系介xyz

則4(1,0,0),6(1,1,0),以0,1,0),4(1,0,1),(7(0,1,1),〃’(0,0,1)

(1)因?yàn)辄c(diǎn)"是棱44’的中點(diǎn)，點(diǎn)。是仍’的中點(diǎn)

所以“(1,0,—),。(一,—,一)

2222

OM=(-,--,Q),A4'=(0,0,1),BD'=(-1,-1,1)

22

11

OM.AA'=0,OM,BD'=——+-+0=0所以。歸_加'，。憶做'

22

又因?yàn)椤ā迸c異面直線AA,和Bff都相交

故為異面直線AA,和BD的公垂線.........................4分

(2)設(shè)平面BMC的一個(gè)法向量為4=(x,y,z)

8"=(0,T,-),BC'=(-1,O,1)

2

1

nrBM=Q-y+-z=0

即《2

%.BC'=0—x+z=0

取z=2,則x=2,y=l,從而4=(2,1,2)

取平面加后的一個(gè)法向量為“=(0,1,0)

勺嗎1_1

COS<〃J,〃2>=

|*|“2「瓦

由圖可知，二面角爐%-月的平面角為銳角

故二面角M-BC-E的大小為arccos-.......................................................................9分

3

(3)易知，SNOBC=-S&KDX=—=——

444

設(shè)平面戚的一個(gè)法向量為〃3=(小,0,zj

=1),BC=(-1,0,0)

4?80'=0即1—X1_y+z=0

%?BC=01一玉=0

?。?1,得力=1,從而4=(0,1,1)

點(diǎn)M到平面斷1的距離d=皿9=,=也%

|%|V24

1c,1V2V21

-?d=—??=—12分

3A°BC34424

2009年高考題

一、選擇題

1.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

c2百4兀+空

A.2乃+2GB.47+26C.27cH-----D.

【解析】：該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,

圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為2〃,四棱錐的底面

邊長(zhǎng)為、歷，高為6,

所以體積為:x（夜『乂百二寺

所以該幾何體的體積為2兀+”.側(cè)（左）視圖

3

答案:C

【命題立意】：本題考查了立體幾何中的空間想象能力,

由三視圖能夠想象得到空間的立體圖，并能準(zhǔn)確地

計(jì)算出.幾何體的體積.

2.一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c,"）為

(A)48+120(B)48+24及(C)36+1272(D)36+24及

3.正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比

為

(A)1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2

TTYI

4.在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,cos—的值介于0到一之間的概率為().

22

1212

A.—B.—C.-D.一

3萬(wàn)23

7TTTYTT

【解析】：在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即1,1］時(shí)，一一<—<一,.?.

222

0<cos—<1

2

區(qū)間長(zhǎng)度為1,而cos二的值介于0到，之間的區(qū)間長(zhǎng)度為L(zhǎng),所以概率為'.故選C

2222

答案C

【命題立意】:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問(wèn)題，由自變量x的取值范圍,得到函

數(shù)值COS空7TY的范圍，再由長(zhǎng)度型幾何概型求得.

2

5.如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為則該集合體

2

的俯視圖可以是

7

AVC

答案:C

6.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)有沿該正方

體

的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)的面的方位

是

A.南B.北

C.西D.下

解：展、折問(wèn)題。易判斷選B

7.如圖，在半徑為3的球面上有A,B,C三點(diǎn)，

ZABC=90°,BA=BC,

球心。到平面ABC的距離是逆，則8、C兩點(diǎn)的球面距離是

2

471一一4萬(wàn)八

A.—B.71C.D.2乃

33

答案B

8.若正方體的棱長(zhǎng)為血，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為

答案C

9,如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3和4,過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)

為4,且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是（）

答案B

二、填空題

10..圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是36,則2=

答案V3

11.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3百，則

△

惻視圖

俯視圖

12.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是.cm3.

答案18

【解析】該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為Ix3x3=9,上面的長(zhǎng)方體體積為

3x3xl=9,因此其幾何體的體積為18

13.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長(zhǎng)度單位為m）。

答案4

14.直三棱柱ABC-AgG的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

A6=AC=A4,=2,ABAC=120°,則此球的表面積等于。

解:在AABC中A3=AC=2,ABAC=120°，可得BC=273，由正弦定理，可得A4BC

外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O,球心為。，在RTAO8O'中，易得球半徑R=百，

故此球的表面積為4萬(wàn)R2=20%.

15.正三棱柱ABC-A4G內(nèi)接于半徑為2的球，若兩點(diǎn)的球面距離為萬(wàn)，則正三

棱

柱的體積為.

答案8

16.體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球。的表面積相等，則球。的體積等

于.

內(nèi)6Sx[b7r

答案——

n

17.如圖球O的半徑為2,圓01是一小圓，QO=0,A、B

24

是圓01上兩點(diǎn)，若A,B兩點(diǎn)間的球面距離為彳，則乙4。乃=;

冗

答案2

18.已知三個(gè)球的半徑/?,.R”R3滿足/?,+2&=3&，則它們的表面積5,,S2,S3,

滿足的等量關(guān)系是.

較案+2jS?=3^5j"

19.若球0kCh表示面積之比且=4,則它們的半徑之比用=___________.

52&

答案2

三、解答題

20.（本小題滿分13分）

某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐

P-EFGH,下半部分是長(zhǎng)方體A6CD-￡FG”。圖5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正

（主）視圖和俯視圖。

（1）請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；

（3）證明：直線_L平面PEG.

【解析】（1）側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

(2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為：y=VP-EFGH=yABCD-EFGH

2

=！X4()2X60+40X20=32000+32000=64000(ci

3v

(3)如圖，連結(jié)EG,HF及BD,EG與HF相交于O,連結(jié)PO.

由正四棱錐的性質(zhì)可知,PO_L平面EFGH,:.PO±HF

又EG工HFHF±平面PEG

又BDPHF平面PEG；

A

2005—2008年高考題

一、選擇題

1.（2008廣東）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示AB,C分別是△GHZ三邊的中點(diǎn)）

得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）

圖1圖2

答案A

2.（2008海南、寧夏理）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為近，在該幾何體的正視圖中，這條棱的

投影是長(zhǎng)為指的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a

和b的線段，貝的最大值為（）

A.272B.2百C.4D.2也

答案C

【解析】結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算。如圖

設(shè)長(zhǎng)方體的高寬高分別為m,”,左，由題意得

\lrrT+n2+k2=V7,yjm2+k2=瓜=>/?=1

Jl+公=a,Vl+m2=b,所以（/—1）+（尸—1）=6

=>4z2+h2=8,［（a+0）2=a2+2ab+b2=8+2ab<S+a2+b2=16

=a+〃K4當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)。

3.（2008山東）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

A.9nB.lOn

C.llnD.12元

2

俯視圖正（主演圖側(cè)cm圖

答案D

【解析】考查三視圖與幾何體的表面積。從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一

個(gè)圓柱組合而成的，其表面及為

S=4^-xl2+^-xl2x2+2?xlx3=12萬(wàn).

3.（2007寧夏理?8）已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,

可得這個(gè)幾何體的體積是（）

—20—?<—20-?

正視圖側(cè)視圖俯視圖

A.4。。。cn?B.80°Qcn?C.2000cm3D.4000cm?

33

答案B

4.（2007陜西理?6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三

個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）

A3石R后「石n百

A.----D.----C.----u.----

43412

答案B

5.（2006安徽）表面積為2省的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體

積為

?&n1c2c2VI

A.-----71B.-71C.-71D.------7t

3333

答案A

￡72

【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為。的正三角形，所以由8乂上二=2若知，

4

a=l,則此球的直徑為0,故選A。

6（2006福建）已知正方體外接球的體積是3二2九，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（）

3

A.2V2B.空C.逑D.迪

333

答案D

【解析】正方體外接球的體積是3絲2力,則外接球的半徑R=2,正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為4,

3

473

棱長(zhǎng)等于空巳，選D.

3

7.（2006湖南卷）過(guò)半徑為2的球。表面上一點(diǎn)A作球。的截面，若04與該截面所成

的角是60°則該截面的面積是（）

A.nB.27rC.37rD.2后"

答案A

【解析】過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球。的截面，若OA與該截面所成的角是60°,

則截面圓的半徑是，R=1,該截面的面積是必選A.

2

8.（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）

A.1：V3B.1：3C.1：3V3D.1：9

答案C

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則它的內(nèi)切球的半徑為它的外接球的半徑為立a,

22

故所求的比為1：3#）,選C.

9.（2005全國(guó)卷I）一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為開(kāi)，則球的表面積

為（）

兀C.4叵兀D.4"

答案B

10.（2005全國(guó)卷I）如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且

ABC》均為正三角形，EF〃AB,EF=2,則該多面體的體積為（）

二、填空題

11.（2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊

形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為二9,

8

底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為.

【解析】令球的半徑為R,六棱柱的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，顯然有1/+（）2=尺,

6a-3

12.（2008海南、寧夏文）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱

柱

的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為6,底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積

為_(kāi)________

4

答案—71

3

【解析】???正六邊形周長(zhǎng)為3,得邊長(zhǎng)為,，故其主對(duì)角線為1,從而球的直徑

2

2R=可+F=2

4

R=1...球的體積V=—兀.

3

13.（2007天津理?12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條

棱

的長(zhǎng)分別為1，2,3,則此球的表面積為.

答案14K

14.（2007全國(guó)II理?15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四

棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm,那么該棱柱的表面積為—cm」

答案2+4也

15.（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱

錐P-ABCDE尸，則此正六棱

錐的側(cè)面積是

答案6萬(wàn)

【解析】顯然正六棱錐P-ABCDEV的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，于是可求得底

面邊長(zhǎng)為2,又正六棱錐P-A8CD所的高依題意可得為2,依此可求得6成.

第二部分四年聯(lián)考匯編

2010年聯(lián)考題

題組二（5月份更新）

1.（池州市七校元旦調(diào)研）在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)掇垂直于底面，

點(diǎn)。是側(cè)面的中心，則49與平面88。。所成角的大小是（）

A.30B.45c.60D.90

答案C

解析：取BC的中點(diǎn)E,則面84GC,.?.A￡_LDE,因此與平面瓦G0所

_A/3rtF,--

成角即為NAPE,設(shè)AF=T^=萬(wàn),即有tanNAOE=6,二NAOE=60".

2.（安徽六校聯(lián)考）如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體的

直觀圖與三視圖.下面是一個(gè)

棱長(zhǎng)為4的正方體，正上面放

一個(gè)球，且球的一部分嵌入正

方體中，則球的半徑是（）

A.-B.1C.-D.2

22

答案B

3.如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABC?！狝gG。的對(duì)角線5R上.過(guò)點(diǎn)P作垂直于平面

8月2。的直線，與正方體表面相交于M,N.設(shè)=MN=y,則函數(shù)y=/（x）

的圖象大致是（）

答案：B

4.（三明市三校聯(lián)考）已知某幾何體的三視圖如右圖所

示，則該幾何體的體積為

答案2/3

5.（昆明一中三次月考理）四面體ABCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長(zhǎng)分

別為1、C、3,若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為o

答案：16萬(wàn)

6.（池州市七校元旦調(diào)研）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖13T

所示，則此幾何體的體積是?！◤V.

答案18

【解析】該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為1X3X3=9,上

面的長(zhǎng)方體體積為3x3xl=9,因此其幾何體的體積為18

7.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）一個(gè)幾何體的三

視圖如圖所示：其中，主視圖中大三角形的邊長(zhǎng)是2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那

么該幾何體幾的體積為.

俯視圖主視圖左視圖

8.（安慶市四校元旦聯(lián)考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐P—ABC。中，ABCD是矩

??^E-PAB~Vp-ABE=弓SMBE'弘=1X彳X1X6X1=

3J2O

(2)當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，￡戶||平面PAC。

理由如下：?.?點(diǎn)E,產(chǎn)分別為CD、PD的中點(diǎn)，.?.EF'IIPC。

PCu平面PAC,平面PAC,EE||平面PAC

(3)???PA_L平EABC。，COu平面ABC。CD±PA

???ABC醒矩矩形，.?.COLA。

?.?PAcAZ)=A,..C。，平面PAO

?.?A/u平面PAO:.AF±DC

?.?PA=AO,點(diǎn)尸是P￡)的中點(diǎn):.AF±PD

又CDCPD=D/.AF±TffiPDC

PEu平面PDC,/.PE±AF

9.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，己

1T

知BC=1,BB]=2,ZBCC,=-A5，側(cè)面BBgC,

（1）求直線CiB與底面ABC所成角正切值；

（2）在棱CG（不包含端點(diǎn)C，G）上確定一點(diǎn)E的位置，

使得E4J.EA（要求說(shuō)明理由）.

（3）在（2）的條件下，若48=0,求二面角A-Eg-A的大小.

解：（1）在直三棱柱ABC—AAG中，C。*1■平面ABC，。田在平面ABC上的射影

為CB.

.?.NGBC為直線G6與底面A8C所成角.........2'

CC|=明=2,5C=1,tanZC,5C=2

即直線與底面ABC所成角正切值為2..............4'

(2)當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，EALEB]..CE=EC1=1,BC=Bg=1

NBEC=NB[EC[=45

NBg=90,即gE，BE.............6'

又ABI.平面84cle,EB、u平面83CCAB±EBt

BEAB=B平面ABE,EAu平?ABE

EAYEBt.............8'

(3)取Eg的中點(diǎn)G,HE的中點(diǎn)F,則FG〃Ag,

Ag±EB]FG±EB,

連結(jié)設(shè)48Ag=O,連結(jié)O￡OG,FG,

則OG〃AE,且OG=，AEAE1EB.OGI￡5,

2

C

.?.NOGF為二面角A-E4—4的平面角.........10'

11V21V2

OG=-AE=1,FG=-A,B,=-,OF=-BE=—,:.ZOGF=45

22國(guó)?222

...二面角A-EB1-A的大小為45°12'

題組一（1月份更新）

一、選擇題

I.（2009濱州一模）設(shè)a、夕是兩個(gè)不同的平面，/、加為兩條不同的直線，命題p：若

平面a〃/?,lua,mu0,則〃/加；命題q：IHa,m±/,mu（3，則/?_La，

則下列命題為真命題的是