工程數(shù)學(xué) 課件 第4章 多元函數(shù)微分

第4章

多元函數(shù)微分第1節(jié)

多元函數(shù)第2節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)第3節(jié)

全微分第4節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

第1節(jié)多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的定義在很多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下。例4.1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有如下關(guān)系：這里有三個(gè)變量,V隨著兩個(gè)獨(dú)立變量r、h的變化而變化.

例4.2具有一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V與絕對溫度T之間具有如下關(guān)系：

這里也有三個(gè)變量，p隨著兩個(gè)獨(dú)立變量T、V的變化而變化。

定義4.1對于變量x、y、z,如果變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取一組數(shù)值，這時(shí)變量z按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它們相對應(yīng)，那么就稱z是x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y稱為自變量，z稱為因變量。x、y的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域，記為D；z的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的值域，記為R(f)。

對于二元函數(shù)z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射為f：D→R，如圖4.1所示。

圖4.1

類似地?？梢远x三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及n元函數(shù)u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

定義4.2平面的區(qū)域是指一條或者幾條曲線所圍成的具有連通性的平面的一部分。其中，連通性是指一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可以用完全屬于這個(gè)部分平面的折線連接貫通。如果區(qū)域能夠無限延伸，則稱此區(qū)域是無界的；如果區(qū)域不能夠無限延伸，它就總是被包含在一個(gè)范圍更大一點(diǎn)的半徑有限的圓內(nèi)，則稱此區(qū)域是有限的.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。閉區(qū)域是包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，開區(qū)域是不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，二者統(tǒng)稱為區(qū)域。為方便起見，我們將開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)。

例4.4求下列函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函數(shù)z=ln(x+y)有意義，應(yīng)有x+y>0，所以函數(shù)的定義域D是位于直線x+y=0上方而不包括這條直線在內(nèi)的半平面，這是一個(gè)無界區(qū)域，如圖4.2(a)所示。

(2)要使函數(shù)z=arcsin(x2+y2)有意義，應(yīng)有x2+y2≤1，所以函數(shù)的定義域D是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的閉圓區(qū)域，如圖4.2(b)所示。

圖4.2

二、二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，我們用“ε-δ”語言描述二元函數(shù)的極限概念。

正如一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運(yùn)算法則：

第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義4.6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

定義4.7如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，

記作

其定義式為

類似地，可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

其定義式為

注偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zx或fx(x,y)；二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zy或fy(x,y)。求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是先將一個(gè)自變量固定為常量，再求函數(shù)對于另外一個(gè)自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則對于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)依然適用。

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值，而f'y(x0,y0)就是偏導(dǎo)數(shù)f'y(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的函數(shù)值。

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)。它們的求法也是一元函數(shù)的微分法問題。

二、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

在實(shí)際求z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。求時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時(shí)，只要把x暫時(shí)看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。

例4.12已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證：

證明因?yàn)?/p>

所以

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

定義4.8設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

于是在D內(nèi)f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函數(shù)。如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。

定理4.1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。

第3節(jié)全微分

在實(shí)際中，有時(shí)需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改變時(shí)二元函數(shù)z=f(x,y)的改變量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般來說，計(jì)算這個(gè)改變量比較麻煩，因此我們希望找出計(jì)算它的近似公式。該公式應(yīng)滿足：①好算；②有一定的精確度。類似一元函數(shù)的微分概念,引入記號和定義:稱Δz為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定義

定義4.9如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示為

其中A、B不依賴于Δx、Δy而僅與x、y有關(guān)，

則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，而稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記作dz，即

證明設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微分。于是，對于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P'(x+Δx,y+Δy)，有Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。特別當(dāng)Δy=0時(shí)有

上式兩邊各除以Δx,再令Δx→0而取極限,就得

例4.15求函數(shù)z=x2y2在點(diǎn)(2,-1)處當(dāng)Δx=0.02、Δy=-0.01時(shí)的全增量與全微分。

解全增量為

函數(shù)z=x2y2的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為

因?yàn)樗鼈兌际沁B續(xù)的，所以全微分是存在的，其值為

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則函數(shù)的全增量與全微分之差是高階無窮小，有近似公式Δz≈d，即

例4.19計(jì)算(1.02)1.99的近似值

第4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)都是關(guān)于x,y的函數(shù)，于是z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是關(guān)于x,y的函數(shù)，則稱函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是z=f(u,v)與u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)的復(fù)合函數(shù)。

定理4.4如果函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y)，ψ