高職數(shù)學課件 第5章定積分

高職實用等數(shù)學第5章定積分及其應(yīng)用5.1.1引例：曲邊梯形的面積5.1.2定積分的定義5.1.3定積分的幾何意義5.1定積分的概念曲邊梯形是指由直線 和一條曲線y=f(x)（其中 ， ）圍成的圖形，如下(左)圖所示．5.1定積分的概念5.1.1引例：曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積A，可以利用微積分“以直代曲”的極限方法解決（見上圖(右)），方法歸結(jié)為以下三步：（1）任意分割在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個點：即把區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為 ， .過各點x作軸的垂線，這些直線把曲邊梯形分割成n個小的長條曲邊梯形．設(shè)第i個長條曲邊梯形的面積為， ．（2）以直代曲，近似求和．在每個小區(qū)間 上任取一點 ,過作x軸的垂線，交曲線y=f(x)于點，設(shè)點的縱坐標為 ．過作平行于x軸的直線，與直線 ,y=0構(gòu)成一個小矩形，其面積為 ．把長條曲邊梯形的面積近似為小矩形的面積：把n個小矩形的面積相加，就得到所求曲邊梯形面積A的一個近似值：（3）求極限顯然，分點越多，每個長條曲邊梯形越窄，所求得的近似值就越接近A的精確值．因此，要求曲邊梯形面積A的精確值，只需使每個小曲邊梯形的寬度趨于零．記 .于是當時 ，每個長條曲邊梯形的寬度便趨于零．所以曲邊梯形的面積定義為：至此，通過以上方法，我們很好地解決了曲邊梯形面積的計算問題．事實上在物理學中，計算變速直線運動的質(zhì)點在一段時間內(nèi)走過的路程，也可以用上述辦法解決．在自然科學和工程技術(shù)中，有許多問題的解決都需要用這種數(shù)學處理方法．因此，我們對上述方法加以歸納，拋開上述問題的具體意義，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括，就抽象出下述定積分的定義．5.1.2定積分的定義定義1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個點：即把區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間.記每個小區(qū)間的長度為在每個小區(qū)間 上任取一點 ，作和式令 ．當 時，如果上式的極限存在，且極限值與區(qū)間［a,b］的分法和的取法無關(guān)，則稱該極限值為f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記為其中，稱為積分號，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達式,［a,b］稱為積分區(qū)間，a和b分別稱為積分上限和下限.關(guān)于定積分的定義的幾點說明：（1）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即（2）和式 通常稱為f(x)的積分和．（3）如果函數(shù)f(x)在［a,b］上的定積分存在，我們就說f(x)在區(qū)間［a,b］上可積．例1設(shè)x2在區(qū)間［0,1］上可積，利用定義計算定積分 ．解因為x2在區(qū)間［0,1］上可積，所以可取特殊的分點，也可取特殊的點．把區(qū)間［0,1］分成等分，分點和小區(qū)間長度記為：取 ，作積分和：因為 ，所以當時 ，．于是，問題，后面的牛頓-萊布尼茲公式很好地解決了這個問題．5.1.3定積分的幾何意義由上面的引例可知，在區(qū)間上［a,b］，當 時,定積分 在幾何上就表示由曲線 ,直線 ， 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積．當 時（見右圖），定積分在幾何上表示該曲邊梯形面積的負值，即一般地，定積分 的幾何意義：它是由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b，所圍圖形的各部分面積(有正也有負)的代數(shù)和．定理1

設(shè)f(x)在［a,b］區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積．定理2

設(shè)f(x)在［a,b］區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在［a,b］上可積．習題5.11．利用定積分定義計算定積分 ．2．利用定積分的幾何意義（即用幾何方法計算帶正負號的面積）計算下列定積分.(1) . (2) .(3) . (4) .5.2定積分的簡單性質(zhì)5.2定積分的簡單性質(zhì)關(guān)于定積分的兩點規(guī)定：(1) . (2)下面各性質(zhì)的前提條件：設(shè)f(x)和g(x)都是閉區(qū)間［a,b］上的可積函數(shù)，k為常數(shù).性質(zhì)1 .證性質(zhì)2 ．性質(zhì)3特別地，性質(zhì)4（定積分的保號性）如果在[a,b]上f(x)≥0，則如果在[a,b]上f(x)≤0

，則推論1

如果在[a,b]上f(x)≤g(x)

，則推論2 ．性質(zhì)5（定積分區(qū)間的可加性）如果在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入任意一點c，則性質(zhì)6

設(shè)M,m分別是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，則性質(zhì)7(定積分中值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一個點x0，使：習題5.21.判斷大小:(5).2.估計下列各積分的值.(1) .(2) .(3) .(4) .3.設(shè)f(x)及g(x)在［a,b］上f(x)≥0連續(xù)，證明：若在上且 ，則［a,b］在 上.5.3.1變上限的積分及其導數(shù)設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，對 ，我們把定積分稱為變上限積分或積分上限的函數(shù)，記為 或 ．定理3

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上一定可導，并且它的導數(shù)為5.3.1變上限的積分及其導數(shù)5.3.2微積分基本公式5.3微積分基本公式證若 ，取使 ，則當 時，有 ，于是推論1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),則函數(shù)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)．推論2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在[a,b]上可導，則有（1）．例1

求下列函數(shù)的導數(shù)（1） ．（2） ．（3） ．（4） ．解（3） ．（4） ．（2）例2

計算下列各題(1) ． (2) ．(3) ．解（1） ．（2） ．（3） ．例3求 ．解這是一個型未定式，由羅必達法得：例3求 ．解這是一個型未定式，由羅必達法得：定理4

(牛頓

萊布尼茨公式)

如果F(x)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則證明根據(jù)定理３的推論１，積分上限函數(shù)也是f(x)的一個原函數(shù)．于是 ，( C為常數(shù))．當x=a時，有 ，而 ，所以．當x=b時，有 ，所以,即例1計算

．解由于 ，所以，原式 ．例2計算

．解原式 例3計算

．例3計算

．解原式 ．例4計算

．解原式 ．習題5.31.設(shè) ，求 及.2．計算下列導數(shù)(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．3．計算下列各定積分(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(5) ． (6) ．4．求下列極限(1) ． (2) ．5．設(shè) ，求 ．5.4.1換元積分法5.4.2分部積分法

5.4定積分的換元積分法與分部積分法定理5

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù) 滿足條件：（1） 在 上具有連續(xù)導數(shù)，且有反函數(shù)（2） ， ．則有這個公式叫做定積分的換元公式.5.4.1換元積分法例1計算

解設(shè) ， ，則 .當x=0時t=0

，x=a時.故原式例2求

.解設(shè) 則當x=0時,t=0；x=8時,t=2.故原式例3求

.

解設(shè) ，則 .當x=0時t=0，x=1時 ．故原式使用定積分換元法計算定積分，必須注意積分變量要同積分區(qū)間相配套.也就是說，換元時一定要變換積分上下線．例4

求證：若f(x)是奇函數(shù)，即f(-x)=-

f(x)

，則 ．證對于，作變換x=1，則dx=-dt.當x=-a時t=a

，x=0時t=0

，即x從-a變到０時，t從a變到０．故所以因為奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，所以以上結(jié)論在幾何上看是很明顯的．利用這個結(jié)論，可以很容易確定一些定積分為零，比如同理可證下列命題：若f(x)是偶函數(shù)即f(-x)=

f(x)

，則若f(x)是奇函數(shù)，即f(-x)=-

f(x)，則

5.4.2分部積分法定理6

若函數(shù)u(x)，v(x)在區(qū)間［a,b］上存在連續(xù)導數(shù)，則叫定積分的分部積分公式.簡記為例1計算 .解原式 .例2計算 .解原式 例3計算 .解原式 .例4計算 .解原式 .習題5.41．計算下列積分(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．(5)．(6) ．(7) ．2.利用被積函數(shù)的奇偶性計算下列積分(1) ．(2) ．3．設(shè)f(x)在［b,-b］上連續(xù)，證明：4.計算下列定積分(1)． (2) ．(3)．(4) ．(5)．(6) ．5.5.1定積分的元素法5.5.2平面圖形的面積5.5.3旋轉(zhuǎn)體的體積5.5定積分的幾何應(yīng)用5.5定積分的幾何應(yīng)用我們再分析一下曲邊梯形面積的計算問題.設(shè) ，如果說定積分是[a,b]以為底的曲邊梯形的面積，則積分上限函數(shù)就是[a,x]以為底的曲邊梯形的面積（如右上圖中左邊的白色區(qū)域）.而微分5.5.1定積分的元素法二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、一、平面圖形的面積三、平面曲線的弧長定積分在幾何上的應(yīng)用第五章一、平面圖形的面積1.直角坐標情形(a)設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍圖則面積微元形面積為A,所以面積(b)設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍圖形的面積為A,則(有正有負),故(a)和(b)兩種情況總有(c)由上下兩條曲線y=f(x)和y=g(x)(f(x)≥g(x)),以及直線所圍圖形的面積為A,則如果[f(x)－g(x)]在[a,b]上有則其面積微元面積正有負,(d)類似地,由左、右兩條曲線以及所圍圖形的面積為A,則和直線例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解得交點由這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示.取x為積分變量,則積分區(qū)間為[0,1].例1計算拋物線 ， 所圍成的圖形的面積.解作圖，見右圖．由方程 以x為積分變量，則積分區(qū)間為[0,1].上下曲線分別為： 和 .面積元素:例2計算拋物線 與直線 所圍成的圖形的面積.解作圖，見右圖.解方程 得交點(2,-2)和(8,4).選y為積分變量，則，所求圖形面積為：例3.求雙曲線xy=1和直線y=x,y=2所圍圖形的面積.解:

由得交點為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有本例也可選擇x作為積分變量,但計算要復雜一些.例3求橢圓 所圍成的圖形的面積．解如右圖所示，橢圓是關(guān)于原點對稱的.橢圓的面積是橢圓在第一象限部分面積的四倍.橢圓第一象限部分在軸上的積分區(qū)間為［0,a］，上下曲線分別為： 和y=0，所以橢圓面積為：作變換x=asint，則dx=acostdt.當x=0時t=0,x=a時,故5.5.3旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是指由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.定理7

由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（見右圖）為：證對 ，過作垂直于x軸的直線，區(qū)間［a,x］上平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積記為V(x).給x以改變量dx

，則相應(yīng)旋轉(zhuǎn)體體積的改變量的近似值為：于是得所求旋轉(zhuǎn)體的體積為例4計算由橢圓 所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積．解如右圖所示，這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由上半個橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，體積元素為于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為例5求由曲線 ，直線y=2以及x=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．解如右圖所示，因為是繞y軸旋轉(zhuǎn)，所以 ．體積元素為于是，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為習題5.51．求下列各曲線所圍成的圖形的面積.（1） 與 ．（2） 與直線 及 ．（3） 與直線 ．（4） ，y軸 與 直線， ．2．求拋物線 及其在(0,-6)點(3,0)和處的切線所圍成的圖形的面積.3．求下列已知曲線所圍成的圖形，按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.（1） 與 ．選x為積分變量，積分區(qū)間為[-2，2]，面積元素為：解作圖如右，由得交點（-2，2）、（2，2），所求面積為：（1） 圍成的圖形，繞y軸．（2） ， 圍成的圖形，分別繞x軸和y軸．4．由 所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積．5.6.1無窮區(qū)間上的廣義積分5.6.2無界函數(shù)的廣義積分*5.6廣義積分*5.6廣義積分5.6.1無窮區(qū)間上的廣義積分定義2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù),取 ，如果極限存在，就稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間 上的廣義積分，記作 ，即這時也稱廣義積分 收斂如果上述極限不存在,則稱函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間 上的廣義積分 發(fā)散或不存在．類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù)，取 ,如果極限存在，就稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間上的廣義積分 ,記作，即這時也稱廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，則稱廣義積分 發(fā)散．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，就稱函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間 上的廣義積分收斂，記作 ，即如果上式右端有一個極限不存在，則稱廣義積分 發(fā)散．在廣義積分的計算中，如果f(x)有一個的原函數(shù)F(x)是，則可采用如下簡記形式：類似地，有例1計算廣義積分 ．解 .所以廣義積分 發(fā)散．例2計算廣義積分 ．解例3計算廣義積分 ．解例4當 時，討論廣義積分 的斂散性．解當 時， ,廣義積分發(fā)散．當 時， ,廣義積分發(fā)散．當 時， ,廣義積分發(fā)散．因此，當 時，此廣義積分收斂，其值為 .當 時，此廣義積分發(fā)散．5.6.2無界函數(shù)的廣義積分定義3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，且 .取 ，如果極限存在，就稱此極限為函數(shù)f(x)在 上的廣義積分，仍然記作 ，即這時也稱廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，就稱廣義積分 發(fā)散．類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù),而 ,取 ，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在上的廣義積分，仍然記作 ，即這時也稱廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，就稱廣義積分 發(fā)散．如果函數(shù)f(x)的無窮間斷點x=c在［a,b］的內(nèi)部，則定義廣義積分當且僅當上式右端的兩個廣義積分都收斂時，才稱廣義積分 是收斂的．否則，稱廣義積分 發(fā)散．如果f(x)有一個原函數(shù)F(x)為， ，則廣義積分的計算可采用如下簡記形式：類似地，如果 ，則記為當 且 時，記為例5討論廣義積分 的斂散性．解因為 ，所以即廣義積分 收斂．例6討論廣義積分 的斂散性．解因為 ，所以即廣義積分 發(fā)散．例7討論廣義積分 的斂散性.解函數(shù)在區(qū)間［-1,+1］除x=0點外連續(xù)，且 =∞,有由于例8

討論廣義積分 的斂散性.解當a=1時， ，廣義積分發(fā)散．當時， ，廣義積分收斂．當時， ，廣義積分收斂．因此，當時，此廣義積分收斂，其值為 ．當 時，此廣義積分發(fā)散．習題5.61．判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，試求廣義積分的值.(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ．(6) ．(7) ． (8) ．(9) ．2．當為何值時，廣義積分 收斂？當為何值時，這個廣義積分發(fā)散？5.7數(shù)學實驗:MATALAB計算定積分5.7數(shù)學實驗:MATALAB計算定積分例1

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:symsxyy=int(((1-x)＾(1/2),0,3)y=5/2例2

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:

symsxyy=int((1-x)＾2)＾(1/2),0,3)解程序和結(jié)果如下:例3

求定積分 .

symsxyy=int(atan(x),0,1)y=1/4*pi-1/2*log(2)例4

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:synsxyy=5/2習題5.7用MATLAB求下列定積分.1． . 2． .3． . 4． .復習題51．求由 所決定的隱函數(shù)對x的導數(shù) ．y=int(1/x＾3,1,inf)y=1/23．求下列定積分(1).(2) ．(3). (4) ．(5). (6) ．(7). (8) ．(9). (10) ．(11). (12) ．2．當x為何值時，函數(shù) 有極值？(13).(14) ．(15).(16) ．(17).(18) ．4．設(shè) 求k的值，使 5．求下列定積分(1).(2) ．(3).(4) ．(5).(6) ．(7).(8) ．(9).(1