高職數(shù)學(xué)課件 1.6函數(shù)的連續(xù)性

1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1函數(shù)連續(xù)的概念1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)1.6.3初等函數(shù)的連續(xù)性1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.6.1函數(shù)的連續(xù)性1．函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性定義1

如果自變量從初值變到終值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由變化到，則稱(chēng)為自變量的增量，記為，即．相應(yīng)地稱(chēng)為函數(shù)的增量，記為，即由于，所以函數(shù)的增量又可以表示為注意，自變量的增量不一定是正的，也不一定是正的．定義2

如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且有就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，還可以等價(jià)地表達(dá)成例1

證明函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．證因?yàn)椋?，即，所以該函?shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．2．函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義3

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)上都連續(xù)，就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的．有時(shí)只考慮單側(cè)連續(xù)．如果，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)．如果，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)．顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是：它在點(diǎn)處既是左連續(xù)同時(shí)又是右連續(xù)．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是指在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，且在左端點(diǎn)a處右連續(xù)，而在右端點(diǎn)b處左連續(xù)．證任取一點(diǎn)，因?yàn)槎?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，是有界變量，所以例2

證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．即函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的．再由點(diǎn)的任意性可得：函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．同理可證函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．例3

證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．證任取一點(diǎn)，因?yàn)榍?，所以有故函?shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．同理可以證明一般的指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．1.6.2函數(shù)的間斷點(diǎn)從函數(shù)連續(xù)的定義可以看出，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）函數(shù)在點(diǎn)處有定義.（2）存在.（3），即當(dāng)時(shí)的極限值與函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值相等．如果函數(shù)不能同時(shí)滿足上述的三個(gè)條件，這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處是間斷的，點(diǎn)稱(chēng)為間斷點(diǎn)．例4

討論符號(hào)函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解因?yàn)樗圆淮嬖冢试摵瘮?shù)在處是間斷的(見(jiàn)圖1-21)．從圖上可以看出，當(dāng)是間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的圖象在處是斷開(kāi)的．例5

討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解因?yàn)楫?dāng)是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的圖象在處是接起來(lái)的．所以，故該函數(shù)在處是連續(xù)的．從圖上可以看出，1.6.3連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算2．連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)均在點(diǎn)處連續(xù)，則：（1）在點(diǎn)處連續(xù)．（2）在點(diǎn)處連續(xù)．（3）若，則在點(diǎn)處連續(xù)．1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.3．復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以，即．又因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以上式可以等價(jià)地改寫(xiě)為也就是，求復(fù)合函數(shù)極限時(shí)，如果在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換．例6

求極限解設(shè)，，它們構(gòu)成復(fù)合函數(shù)．而，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在，又在處連續(xù)，故極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換，從而有4．反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（或嚴(yán)格單調(diào)遞減），則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且是嚴(yán)格單調(diào)遞增（或嚴(yán)格單調(diào)遞減）的．例如，在上是連續(xù)的并且嚴(yán)格單調(diào)遞增．這是因?yàn)槠湓瘮?shù)在上是連續(xù)的并且嚴(yán)格單調(diào)遞增．同理可知，，，在它們各自的定義區(qū)間上是連續(xù)的．5．初等函數(shù)的連續(xù)性利用函數(shù)連續(xù)的定義與運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性以及反函數(shù)的連續(xù)性，可以得到如下的重要結(jié)論：定理初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．上述定理表明，如果點(diǎn)是初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的極限就是．1.6.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面不加證明地給出閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．這些性質(zhì)都有非常明顯的幾何意義，在以后的討論中會(huì)經(jīng)常用到它們．性質(zhì)1（最大最小值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定可以取到最大值和最小值．即至少存在一點(diǎn)，使得對(duì)任意的都有.同時(shí)至少存在一點(diǎn)，使得對(duì)任意的都有．性質(zhì)1的幾何解釋如圖所示．推論1

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定是有界的．由性質(zhì)1知，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定可以取到最大值和最小值，如果設(shè)

在上的最大值與最小值分別為M和m，那么令，則函數(shù)在區(qū)間上一定滿足，即函數(shù)在閉區(qū)間上有界．該推論的幾何解釋見(jiàn)圖性質(zhì)2（介值性定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上一定可以取到最大值和最小值之間的任何一個(gè)中間值．即如果設(shè)最大值與最小值分別為M和m

，且，則至少存在一點(diǎn)，使得．性質(zhì)2的幾何解釋見(jiàn)圖所示．推論2（零點(diǎn)存在定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．由于，所以的最大值，而最小值，即，所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．該推論的幾何解釋見(jiàn)右圖例8

證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根．證作函數(shù)，