高職數(shù)學課件 8.1-8.4 行列式

線性代數(shù)初步

8.1-8.3行列式的概念及運算一、二階線性方程組與二階行列式1、定義：考慮含有兩個未知量x1，x2

的線性方程組§1二階行列式與三階行列式為求得上述方程組的解，可利用加減消元得到。直接用消元法解二元線性方程組方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.(1)(2)(1)×a22

：(2)×a12

：兩式相減消去x2,得類似地,消去x1,得當a11a22–a12a21≠

0時，

為了記憶該公式，引入記號并稱之為二階行列式．第二個下標

j稱為列標，表示該元素所在的列．

第一個下標

i

稱為行標，表示該元素所在的行，aij

的兩個下標表示該元素在行列式中的位置，其中aij

稱為行列式的(i,j)元素

或元素，主對角線副對角線行列式的展開式

例計算二階行列式：(1)(2)258–4124–85解：(1)258–4=2·(–4)

–5·8=–48(2)124–85=12·5–4·(–8)=92解二元線性方程組方程組的解為時，當2112221110

-aaaa若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式解二元線性方程組方程組的解唯一,且為記

時，當0211222111-aaaa22211211aaaaD==DDx11=

方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式例

解二元線性方程組解方程組有唯一解.又于是方程組的解為2、利用二階行列式解二元一次方程組定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式

.

§2三階行列式)5(333231232221131211aaaaaaaaa339列的數(shù)表行個數(shù)排成設(shè)有)6(,312213332112322311aaaaaaaaa---322113312312332211aaaaaaaaa++=(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標

§2三階行列式(2)對角線法則

注意

紅線上三元素的乘積以正號，藍線上三元素的乘積以負號．(3)降階法=2·4·(–1)+(–3)(–3)·3+2·1·(–1)–2·4·3–(–3)·1·(–1)–2·(–3)·(–1)=–8+27–2–24–3–6=–16例：計算三階行列式解：D練習

計算三階行列式解由對角線法，有

系數(shù)行列式解線性方程組：解=5于是將前面2元方程的方法直接推廣,有

在n

階行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第j

列劃去后，留下來的n–1階行列式叫做元素aij

的余子式，記作Mij.

記Aij=(–1)i+jMij,叫做元素aij

的代數(shù)余子式.例如一、余子式與代數(shù)余子式§3行列式按行(列)展開行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式。中，元素a23的余子式及代數(shù)余子式的值.

651310223D---=例解

求出行列式二、行列式的降階展開公式

D=a11A11+a12A12+···+a1nA1n

即n

階行列式D等于它的第一行的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和。=

一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式來看

§3行列式按行(列)展開

二、降階展開公式

D=a11A11+a12A12+···+a1nA1n

例：用降階法計算行列式解：直接套公式–(–2)+(–3)–(–4)=1–(–2)·2+(–3)·3–(–4)·(–4)=–20

系數(shù)行列式例：利用三階行列式解線性方程組：解=5于是將前面2元方程的方法直接推廣,有經(jīng)檢驗確實為方程組的解.

§4定義n行列式

由n

階行列式的定義可知，當n

較大時，用定義計算行列式運算量很大．例如，計算一20階的行列式，需作1920!次乘法，若用每秒運算億萬次的電腦，也要算年才行！

為了解決這一問題，需先研究行列式的性質(zhì)．本節(jié)主要介紹行列式的基本性質(zhì)，運用這些性質(zhì)，不僅可以簡化行列式的計算，而且對行列式的理論研究也很重要．一千

因此如何有效地計算行列式，這是我們要解決的一個重要課題．考慮

D=稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式

.將它的行依次變?yōu)橄鄳?yīng)的列，得

DT=§5行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）

解例計算行列式D=DT

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式值變號.推論

若行列式D的兩行（列）完全相同，則D=0.性質(zhì)3行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k，等于數(shù)k

乘以此行列式，即推論

(1)D中一行(列)所有元素的公因子可提到D的外面；(2)D中一行(列)所有元素為零，則D=0；(3)性質(zhì)4D的兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.記為

kri

(kci)記為ri

rj

(ci

cj)性質(zhì)5若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即

性質(zhì)6行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，行列式值不變.即=ri

+

krji行

j行

記為

ri

+

krj

(ci

+

kcj)例計算行列式解：原式=======5=302–300297–300203–200=9–18–16–12+36+6把第2列乘上（–100）加到第3列

c3

–100c2行列式與克萊姆法則

8.4復習：行列式的性質(zhì)

n

階行列式的性質(zhì)（須重點記住以下3條）

1、每行可提公因子。

2、交換兩行行列式變號。

3、用一個數(shù)乘上行列式某一行的所有元素分別加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式的值不變。D=DT

記住：如果三元線性方程組的系數(shù)行列式利用三階行列式求解三元線性方程組

克萊姆(Cramer)法則

系數(shù)行列式記為得則三元線性方程組的解唯一，且為：一、解n

個未知數(shù)n

個方程的線性方程組的行列式法

克萊姆(Cramer)法則令D

為系數(shù)行列式D=D

j

為D

的第j

列用常數(shù)列替代的行列式則當D≠0時，這就是一種解線性方程組的方法:克萊姆(Cramer)法則例

解線性方程組解方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解，而第2行乘–1加到第1行所以方程組的解為注當線性方程組的系數(shù)行列式等于零時,不能應(yīng)用克萊姆法則求解.二、n

個未知數(shù)n

個方程的齊次線性方程組

克萊姆(Cramer)法則一、解n

個未知數(shù)n

個方程的線性方程組的行列式法齊次線性方程組一定有解,至少有零解。于是由克萊姆法則當系數(shù)行列式D≠0時，只有零解?？傻媒Y(jié)論：(定理5)

系數(shù)行列式D≠0

齊次線性方程組只有零解?；颍合禂?shù)行列式D

=0

齊次線性方程組有非零解。x1=x2=···=xn=0例：判別齊次線性方程組的解的情況。解：∵D==0∴原方程有非零解。(2)∵D==–23≠

0∴原方程只有零解。例16問

為何值時，齊次線性方程組有非零解？解方程組的系數(shù)行列式為若方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式D=0,

從而得

=2、

=5或

=8時,齊次線性方程組有非零解.=80–66

+15

2

–

3

=(2–

)(5–

)(8–

)練習

問齊次線性方程組x1+x2+x3+ax4=0x1+2x2+x3+x4=0x1+x2–3x3+x4=0x1+x2+ax3+bx4=0解：∵齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于0，而

D=

111a121111–3111a

b=

121111–31111a11a

b=(a+3)(a–1)–4(b–1)有非零解時，a,b必須滿足什么條件？=

12110–1–400–10a–10–1a–1b–1=

–1–4004a–10a+3b–1=(a+1)2–4b

∴a，b必須滿足的條件為：(a+1)2=4b.

n

階行列式的定義本章小結(jié)

n

階行列式的性質(zhì)（須重點記住以下3條）

1、每行(列)可提公因子。

2、交換兩行(列)行列式變號。

3、用一個數(shù)乘上行列式某一行(列)的所有元素分別加到另一行(列)的對應(yīng)元素上，行列式的值不變。降階展開公式

D