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2023屆海南省海口市高三5月第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn),若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③3.二項(xiàng)式展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.4.設(shè)集合則()A. B. C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知,,,則()A. B. C. D.7.設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.8.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,是的中點(diǎn),則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.10.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率是______.14.平面向量與的夾角為,,,則__________.15.的展開(kāi)式中含的系數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字填寫答案)16.現(xiàn)有5人要排成一排照相,其中甲與乙兩人不相鄰,且甲不站在兩端,則不同的排法有____種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與直線交于點(diǎn),若的面積為1,求的值和弦長(zhǎng).18.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與交于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)求證:.19.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20.(12分)某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng),顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場(chǎng)某顧客購(gòu)物金額超過(guò)100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購(gòu)物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?21.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于點(diǎn),曲線與曲線交于點(diǎn),求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點(diǎn)M(,﹣),∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.2.B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.5.B【解析】
由題可知,,再結(jié)合雙曲線第一定義,可得,對(duì)有,即,解得,再對(duì),由勾股定理可得,化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖,因?yàn)椋?因?yàn)樗?在中,,即,得,則.在中,由得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法,幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題6.B【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對(duì)比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.7.D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過(guò)韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.8.A【解析】
先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.9.C【解析】試題分析:設(shè)的交點(diǎn)為,連接,則為所成的角或其補(bǔ)角;設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為,則,所以,故C為正確答案.考點(diǎn):異面直線所成的角.10.D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.11.D【解析】
設(shè),,去絕對(duì)值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12.C【解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對(duì)稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)三角形中位線證得,結(jié)合判斷出垂直平分,由此求得的值,結(jié)合求得的值.【詳解】∵,∴為中點(diǎn),,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由平面向量模的計(jì)算公式,直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為,所以,所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算,只需先求出向量的數(shù)量積,進(jìn)而即可求出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題型.15.【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.16.36【解析】
先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法,在此條件下,計(jì)算甲不排在兩端的排法,最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,有種排法,其中甲排在兩端,有種排法,則6人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,且甲不排在兩端,共有(種)排法.所以本題答案為36.【點(diǎn)睛】排列、組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特,計(jì)算量龐大,對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難,所以在解決這類問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問(wèn)題時(shí)必須心思細(xì)膩、考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:,化為一般式得化為極坐標(biāo)方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.18.(1),;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),即可得出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求得,寫出直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求得的值,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程可化為,即,將代入曲線的方程得,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得,聯(lián)立,得或,則點(diǎn)、,因此,線段的中點(diǎn)為;(2)由(1)得,,易知的垂直平分線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入的普通方程得,,因此,.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用,涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19.(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點(diǎn),點(diǎn),∴,.①當(dāng)時(shí),可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個(gè)零點(diǎn),②當(dāng)時(shí),,,∴,∴在恒成立,∴在無(wú)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí),,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個(gè)零點(diǎn).綜上,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1..【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查了分類討論思想,屬于壓軸題.20.(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】
(1)計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望,比較大小得到答案.【詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因?yàn)?,所以選擇方案二更為劃算.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21.(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時(shí),,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令
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