《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》習(xí)題及全解 苗巧云

《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》習(xí)題全解目錄TOC\o"1-2"\u第一章習(xí)題解答 3第一節(jié)初等函數(shù)習(xí)題1.1 3第二節(jié)極限的概念與運(yùn)算法則習(xí)題1.2 6第三節(jié)函數(shù)的微分習(xí)題1.3 11第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題1.4 14第二章習(xí)題解答 18第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念習(xí)題2.1 18第二節(jié)求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式習(xí)題2.2 20第三節(jié)函數(shù)的微分習(xí)題2.3 26第四節(jié)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題2.4 28第三章習(xí)題解答 33第一節(jié)不定積分習(xí)題3.1 33第二節(jié)定積分習(xí)題3.2 38第三節(jié)定積分的應(yīng)用習(xí)題3.3 42第四章習(xí)題解答 47第一節(jié)微分方程的基本概念習(xí)題4.1 47第二節(jié)一階微分方程習(xí)題4.2 49第三節(jié)二階微分方程習(xí)題4.3 55第四節(jié)微分方程的應(yīng)用習(xí)題4.4 62第五章習(xí)題解答 66第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算習(xí)題5.1 66第二節(jié)消元法與矩陣的初等變換習(xí)題5.2 71第三節(jié)行列式簡介習(xí)題5.3 82第一章習(xí)題解答習(xí)題1.11.求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）由，得的定義域是.（2）由，得的定義域是.（3）由，得的定義域是.（4）由，得的定義域是.2.判斷下列各題中兩個(gè)函數(shù)是否相同，并說明理由.（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）否.因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不相同.（2）否.因?yàn)椋?，而的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不相同.（3）是.因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域均為，且對(duì)應(yīng)法則相同，所以它們是相同的函數(shù).（4）是.因?yàn)?，，顯然兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式相同，即對(duì)應(yīng)法則相同，且兩個(gè)函數(shù)的定義域也相同，所以它們是相同的函數(shù).3.已知，求及.解令，，得.因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)是由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定的，與自變量選用什么字母表示無關(guān)，所以上述函數(shù)中的自變量可以換成字母，即.再把換成得.4.下列函數(shù)中哪些是奇函數(shù)，哪些是偶函數(shù)，哪些是非奇非偶函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1），該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2），該函數(shù)為偶函數(shù).（3），該函數(shù)為奇函數(shù).（4），該函數(shù)為奇函數(shù).（5），該函數(shù)為偶函數(shù).（6），該函數(shù)為偶函數(shù).5.求下列反三角函數(shù)的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）因?yàn)樵诘闹涤騼?nèi)，，所以.（2）因?yàn)樵诘闹涤騼?nèi)，，所以.（3）因?yàn)樵诘闹涤騼?nèi)，，所以.（4），.（5），，所以.（6），，所以.6.指出下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算得到的：（1）；（2）（為常數(shù)）；（3）；（4）；（5）；（6）（為常數(shù)）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.習(xí)題1.21.觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，討論它們的極限是否存在：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.可見，當(dāng)數(shù)列不趨于一個(gè)常數(shù)，所以不存在.（2）因?yàn)?，?dāng)，所以.（3）因?yàn)?，所?（4）當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，故.2.設(shè)求及.解在處有，，即，故不存在.在處有.3.設(shè)求及.解在處有，，即，所以.在處有.4.設(shè)問為何值時(shí)，存在？極限值是多少？解因?yàn)?，，所以，?dāng)，即時(shí)，存在，且.5.設(shè)求及.解因?yàn)椴淮嬖?，即在點(diǎn)處函數(shù)的右極限不存在，所以不存在.因?yàn)槠渲幸粋€(gè)單側(cè)極限不存在，不存在.6.當(dāng)時(shí)，將下列函數(shù)與進(jìn)行比較，哪些是高階無窮??？哪些是低階無窮??？哪些是同階無窮??？哪些是等價(jià)無窮?。浚?）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1），當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小.（2），時(shí)，是無窮小量，又，即是有界函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小.（3），，，，于是，故當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小.（4），當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小.（5），當(dāng)時(shí)，是比低價(jià)的無窮小.（6），當(dāng)時(shí)，與是同價(jià)無窮小.7.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）（2）（3）（4）（5），（6）（7）（8）（9）.（10）8.設(shè)求.解因?yàn)椋?，所?習(xí)題1.31.利用夾逼法則求極限.解因?yàn)?；且，于是?又，，根據(jù)夾逼法則得.2.求下列極限：（1）（為常數(shù)）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（7）；（8）；（9）；（10）（為常數(shù)）.解（1）（2）.（3）法1.法2.（4）（5）.（6）法1.法2.（7）.（8）.（9）.（10）.3.設(shè)某人把20萬存入銀行，銀行的利率是2.8%，如果連續(xù)復(fù)利計(jì)算，問10年末的本利和是多少？解按連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式得10年后的本利和為（萬元）.4.假設(shè)某人把10萬元存入銀行，銀行的年利率是5%，如果按連續(xù)復(fù)利計(jì)息，需要經(jīng)過多少時(shí)間才能增值為20萬元？解設(shè)需要經(jīng)過年能增值為20萬元，則，即，.故需要經(jīng)過14年能增值為20萬元.習(xí)題1.41.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性：（1）；（2）（3）（4）解（1）因?yàn)樵谔師o定義，所以函數(shù)在處不連續(xù).（2）因?yàn)椋矗院瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù).（3）因?yàn)?，且，即，所以函?shù)在點(diǎn)處連續(xù).（4）因?yàn)椋?，所以函?shù)在處的極限不存在，故函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù).2.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間：（1）；（2）；（3）（4）解（1）因?yàn)樵邳c(diǎn)處無定義，在內(nèi)是初等函數(shù)，所以是函數(shù)的間斷點(diǎn)，連續(xù)區(qū)間是.（2）因?yàn)?，函?shù)在點(diǎn)和處無定義，所以和是函數(shù)的間斷點(diǎn).在內(nèi)該函數(shù)是初等函數(shù)，故連續(xù)區(qū)間是.（3）因?yàn)?，即，所以函?shù)在點(diǎn)處極限不存在，是函數(shù)的間斷點(diǎn).函數(shù)在內(nèi)是初等函數(shù)，故連續(xù)區(qū)間是.（4）因?yàn)?，，即，因此函?shù)在處極限不存在，是函數(shù)的間斷點(diǎn).函數(shù)在內(nèi)是初等函數(shù)，所以函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是.3.利用函數(shù)的連續(xù)性求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，且連續(xù)函數(shù)滿足，所以函數(shù)在有定義的點(diǎn)的極限就等于該點(diǎn)的函數(shù)值；對(duì)于函數(shù)沒有定義的點(diǎn)的極限，可以利用連續(xù)函數(shù)滿足極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換的性質(zhì)求其極限.（1）.（2）.（3）（4）（5）.（6）4.設(shè)在處連續(xù)，求的值.解由于函數(shù)在處連續(xù)，所以，即，故.5．設(shè)在處連續(xù)，求和的值.解由函數(shù)在處連續(xù)，所以有，又，，因此，即，.6．證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一根.證明設(shè)函數(shù)，由多項(xiàng)式的連續(xù)性可知，在上連續(xù)，且有.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在內(nèi)至少有一實(shí)根.

第二章習(xí)題解答習(xí)題2.1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解2．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，，求.解由在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)及，有.4.設(shè)函數(shù)，求及，并判斷在處是否可導(dǎo).解，，因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處不可導(dǎo).5.討論函數(shù)在處是否連續(xù)性？是否可導(dǎo)？解，，即，所以在處連續(xù).又，，可見，故在處可導(dǎo)，且.6.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解，因此不存在.故在點(diǎn)處不連續(xù).由于不連續(xù)一定不可導(dǎo)，所以在處不可導(dǎo).7.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解由有界，，得，所以在點(diǎn)處連續(xù).又，，，可見，所以在點(diǎn)處不可導(dǎo).8.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解，，又時(shí)，，所以切線方程為，即，法線方程為，即.9．求曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解，，切線方程為，即，法線方程為，即.習(xí)題2.21.利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則證明下列結(jié)果：（1）；（2）.證明（1）.（2）.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8），（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.解（1）法1.法2，.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）（9）.（10）（11）.（12）.（13）等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，所以.（14）等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，故.（15）等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，解出.（16）等式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，解出.3.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，，.（2）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，，.（3）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，，.（4）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，.4.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）..（2）..（3）..（4）.5.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（）；（3）；（4）.解（1），……，.（2），……，.（3）,，，……，.（4），，，……，.習(xí)題2.31.已知，計(jì)算在處，當(dāng)分別等于，時(shí)函數(shù)的改變量、微分及.解因?yàn)?，所?.當(dāng)，時(shí)，有...當(dāng)，時(shí)，有...求下列函數(shù)的微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.3．將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入到下列各括號(hào)內(nèi)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.4.求下列各式的近似值：（1）；（2）.解（1）設(shè)，有.取，，則，.由近似公式，得.（2）設(shè)，有.取，，則，.由近似公式，得.5.設(shè)水管壁的正截面為一圓環(huán),其內(nèi)半徑為10cm，水管壁厚為0.1cm，利用微分計(jì)算圓環(huán)面積的近似值.解設(shè)半徑為的圓的面積為，則.當(dāng)圓的半徑由變到時(shí)，所形成的圓環(huán)的面積為.利用微分計(jì)算圓環(huán)面積的近似值為，.將水管壁內(nèi)半徑cm，水管壁厚度cm代入上式，得到所求圓環(huán)面積的近似值為.習(xí)題2.4設(shè)函數(shù)，試用羅爾定理證明：方程在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根.解因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，滿足羅爾定理的三個(gè)條件，所以必定存在一點(diǎn)使得，即方程在區(qū)間內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根.同理，方程在區(qū)間內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根.2.驗(yàn)證下列函數(shù)在給出的閉區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出滿足定理的值.（1）；（2）.解（1）因?yàn)樯线B續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，所以存在一點(diǎn)使得，即.（2）因?yàn)樯线B續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，所以存在一點(diǎn)使得，即.3.證明等式成立.證明設(shè)，則，.因此，（為一個(gè)常數(shù)）.又，所以，.4.用洛必達(dá)法則求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（為常數(shù)）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）（7）.（8）（9）（10）設(shè)，取對(duì)數(shù)得.再由洛必達(dá)法則得故.5.求極限時(shí)能用洛必達(dá)法則嗎?解由于不存在且非無窮大，不滿足洛必達(dá)法則的條件，所以不能用洛必達(dá)法則求此極限.可用無窮小量的性質(zhì)求該極限.6.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：（1）；（2）.解（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，不存在.+不存在－+單調(diào)性極值極大值極小值列表討論如下：（2）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，得駐點(diǎn)，，.法1利用判別極值的第一充分條件.列表討論如下：+－+－單調(diào)性極值極大值極小值極大值法2利用判別極值的第二充分條件.，.因此，函數(shù)在處取極小值，在和處都取極大值.7.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最值：（1）；（2）.解（1），令，得駐點(diǎn).因?yàn)?比較后知，函數(shù)在上的最大值為，最小值為（2），令，得駐點(diǎn).由于.比較后知，函數(shù)在上的最大值，最小值為8.要做一個(gè)容積為的圓柱形無蓋鐵桶，問怎樣設(shè)計(jì)半徑和高度才能使所用的材料最??？解設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，制造鐵桶所用材料面積的大小為，則為.由體積公式，代入上式消去，得.令.由問題的實(shí)際意義可知，在容積一定的情況下，鐵桶用料一定存在最小值，故唯一駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最小值.因此，當(dāng)?shù)酌姘霃胶透叨紴闀r(shí)，所做的圓柱形無蓋鐵桶的用料最省.

第三章習(xí)題解答習(xí)題3.1試驗(yàn)證與是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).解因?yàn)?，所以與是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).2.若函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，求及.解因?yàn)槭堑囊粋€(gè)原函數(shù)，所以有，于是，.3.求下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.4．用換元積分法計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）..（12）.（13）.（14）法1.法2.（15）.為了把上式換回的函數(shù)，可根據(jù)，即，作一個(gè)直角三角形，如圖3.1所示，由圖可得，因此圖3.1.（16）.根據(jù)，即，作輔助三角形，如圖3.2所示，由圖可得圖3.2，因此，.5．用分部積分法求下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.習(xí)題3.21．利用定積分的幾何意義判斷下列定積分的值是正還是負(fù)：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）的值是正的.設(shè)曲線與直線及軸所圍的圖形在軸上方的面積為，軸下方的面積為.由圖3.3可知，根據(jù)定積分的幾何意義有.圖3.3（2）的值是正的.因?yàn)樵谏?，與軸所圍的面積在軸上方，如圖3.4所示，所以.圖3.4圖3.5圖3.6（3）的值是負(fù)的.因?yàn)樵谏?，與軸所圍的面積在軸下方，如圖3.5所示，所以.（4）的值是負(fù)的.因?yàn)樵谏?，與軸所圍的面積在軸下方，如圖3.6所示，所以.2．利用定積分的性質(zhì)，比較下列積分值的大?。海?）與；（2）與；（3）與；（4）與．解（1），所以.（2），所以.（3），所以.（4），所以.3．求下列導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（2）；（4）．解（1）.（2）.（3）.（4）.4．計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.5．設(shè)求，.解..習(xí)題3.31.求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積：（1）與；（2）與及；（3）與；（4）與及；（5）與及；（6）與；（7）與；（8）與及．解（1）由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)為及，見圖3.7，所求面積為.圖3.7（2）與交點(diǎn)坐標(biāo)為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，見圖3.8，以為分變量，所求面積為.圖3.8（3）與的交點(diǎn)為，，見圖3.9，所求面積為.圖3.9（4）與的交點(diǎn)為，，與的交點(diǎn)為，，見圖3.10，所求面積為.圖3.10圖3.11圖3.12（5）與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，見圖3.11，所求面積為.（6）與的交點(diǎn)為，，見圖3.12，以為積分變量，所求面積為.（7）的交點(diǎn)為，見圖3.13.所求面積為.圖3.13（8）與的交點(diǎn)為，，，見圖3.14，所求面積為.圖3.142．求下列曲線圍成的圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積：（1）及軸，繞軸；（2），繞軸；（3）及軸，繞軸（）；（4）繞軸；（5），繞軸；（6）軸，分別繞軸與軸.解（1）由曲線及軸所圍成的圖形，見圖3.15，該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為圖3.15.（2）由曲線圍成的圖形見圖3.16.由方程組解得兩曲線的交點(diǎn)為及所求旋轉(zhuǎn)體的體積為圖3.16.（3）由曲線及軸圍成的圖形見圖3.17，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為.圖3.17（4）由曲線得上半圓曲線為，下半圓曲線為，見圖3.18.所求旋轉(zhuǎn)體的體積為上半圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積與下半圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積之差，即.圖3.18（5）由曲線圍成的圖形見圖3.19，所求旋轉(zhuǎn)體體積為.圖3.19（6）由曲線軸圍成的圖形見圖3.20，該圖形繞軸所求旋轉(zhuǎn)體的體積為.繞軸所求旋轉(zhuǎn)體體積為.圖3.20

第四章習(xí)題解答習(xí)題4.1判斷下列等式中哪些是微分方程，并指出微分方程的階數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）是微分方程.一階.（2）不是微分方程.（3）是微分方程.一階.（4）是微分方程.一階.（5）是微分方程.二階.（6）是微分方程.二階.2．判斷下列函數(shù)是否為微分方程的解？若是，是通解還是特解（是任意常數(shù)）？（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）是方程的解，是通解.將代入方程得，等式成立，故是方程的解.因?yàn)橹泻幸粋€(gè)任意常數(shù)，方程是一階微分方程，所以是方程的通解.（2）不是方程的解.將代入方程得，等式不成立，所以不是方程的解.（3）是方程的解，是特解.將代入方程得，等式成立，故是方程的解.因?yàn)橹胁缓我獬?shù)，所以是方程的特解.（4）當(dāng)時(shí)，是方程的解，是特解；當(dāng)時(shí)，不是方程的解.將代入方程得，當(dāng)時(shí)，等式成立，是方程的解，因?yàn)橹袥]有任意常數(shù)，所以是特解；當(dāng)時(shí)，等式不成立，不是方程的解.3.驗(yàn)證（其中是獨(dú)立的任意常數(shù)）是微分方程的通解，并求方程滿足初值條件，的特解.解由得，.于是.等式成立，所以是方程的解.又因?yàn)槭莾蓚€(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，且方程是二階微分方程，所以是方程的通解.將，分別代入，，得即所以方程的特解為.4.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，試建立曲線所滿足的微分方程.解設(shè)曲線方程為，則它在點(diǎn)處的切線斜率為，由已知條件可知，該曲線滿足的微分方程為，或.習(xí)題4.21．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）對(duì)方程分離變量并兩邊積分，得，或.（2）對(duì)方程分離變量并兩邊積分，法1積分結(jié)果為，，即.法2對(duì)于關(guān)系式，左邊關(guān)于的積分，得到的對(duì)數(shù)函數(shù)不加絕對(duì)值，同時(shí)，最后加的任意常數(shù)不是而是（為任意常數(shù)），即，去掉對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)，得.與方法1的結(jié)果完全相同.說明：解其它微分方程時(shí)，若最后的積分結(jié)果是對(duì)數(shù)函數(shù)，并且積分后的結(jié)果要去掉對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)的情況下，分別用上題的法1和法2得到的最終結(jié)果也都是完全相同的.顯然，法2更簡單，所以在以下各題中，遇到上述情況都用了法2.（3）對(duì)方程分離變量并兩邊積分，得，去掉對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)得.（4）對(duì)方程分離變量，得，兩邊積分，得，即（其中）.（5）對(duì)方程分離變量，得，兩邊積分，得，即.（6）將方程兩邊同時(shí)除以，得.令，于是，，代入方程，得.化簡并分離變量，得，兩邊積分得，即.將代入，得，或，.2．解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）用常數(shù)變易法.方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，其通解為.設(shè)原方程的通解為，則.將代入原方程得，即，于是，.故原方程的通解為.（2）方程是，的一階線性非齊次微分方程.由通解公式，得.（3）方程是，的一階線性非齊次微分方程.由通解公式得.（4）由方程得，這是的一階線性非齊次微分方程.由通解公式得.（5）方程是伯努利方程.兩邊同除以，得.令，則，所以，.由一階線性非齊次微分方程通解公式得.所以原方程的通解為.3．求下列微分方程滿足初值條件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），.解（1）由，分離變量得，兩邊積分，得，即，.將帶入，得，，故方程的特解為.（2）將方程分離變量并積分，得.將代入，得，，所以方程的特解為.（3）方程是一階線性非齊次微分方程，由通解公式得.將代入，得，，故方程的特解為.（4）方程是一階線性非齊次微分方程，由通解公式得.將代入，得，，所以方程的特解為習(xí)題4.31．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）設(shè)，則.由方程得，或.由一階線性非齊次微分方程通解公式得.于是.（2）設(shè)，則.由方程得，分離變量并兩邊積分，得，即.故.（3）設(shè)，則.由方程得.所以.于是.（4）設(shè)，則，由方程有.當(dāng)時(shí)，，是方程的解.當(dāng)時(shí)，有，分離變量并兩邊積分，得，即，再分離變量并兩邊積分，得原方程的通解為，或（其中）.2．求下列微分方程滿足初值條件的特解：（1），，；（2），，；（3），，；（4），，.解（1）設(shè)，則.原方程可表示為.由一階線性非齊次微分方程的通解公式得，所以.將，，代入上述兩個(gè)式子，可得，，故原方程滿足初始條件的特解為.（2）設(shè)，則.由方程得.當(dāng)時(shí)，，為方程的解.當(dāng)時(shí)，有，即，兩邊積分得.由，，可得，所以，即，分離變量并積分，得.因?yàn)?，所以，故原方程滿足初始條件的特解為.（3）設(shè)，則.由方程得當(dāng)時(shí)，，為方程的解.當(dāng)時(shí)，有，即，兩邊積分得.由，，可得，故，分離變量得，兩邊積分得.由，可得，故原方程滿足初始條件的特解為.（4）設(shè)，則有.由方程得.當(dāng)時(shí)，，為方程的解.當(dāng)時(shí)，有，兩邊積分得，即，分離變量得.再兩邊積分得.由，，可得，.故原方程滿足初始條件的特解為，或.（注意：課本中，習(xí)題參考答案給出的是錯(cuò)誤的.）3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；解微分方程的特征方程為，即，解得，，則所求方程通解為.（2）微分方程的特征方程為，即，解得，于是所求方程通解為．（3）微分方程的特征方程為，解得，所求方程通解為.（4）微分方程的特征方程為，解得.所求方程通解為.（5）微分方程的特征方程為，解得，所求方程通解為.（6）微分方程的特征方程為，即，特征根為，所求方程通解為.4．求下列微分方程滿足初值條件的特解：（1），，；（2），，.解（1）微分方程的特征方程為，解得，.所求方程通解為.由，，及，得即于是所求特解為.（2）微分方程的特征方程為，特征根為，所求方程通解為，于是.由，，得即因此所求特解為.習(xí)題4.4已知某商品的凈利潤與廣告支出有如下關(guān)系：，其中為已知常數(shù)，且，求.解由，這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，由通解公式得.代入初始條件，得，故所求函數(shù).2.設(shè)某商品的供給函數(shù)、需求函數(shù)分別是，其中表示時(shí)間時(shí)的價(jià)格，表示價(jià)格關(guān)于時(shí)間的變化率，且.假定市場(chǎng)上的價(jià)格是由供給與需求確定的，那么市場(chǎng)均衡價(jià)格應(yīng)為.試將市場(chǎng)均衡價(jià)格表示為時(shí)間的函數(shù).解因?yàn)槭袌?chǎng)均衡價(jià)格為，即，整理得.由一階線性非齊次微分方程的通解公式得.將代入得，因此均衡價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為.3.設(shè)為國民債務(wù)，為國民收入，它們滿足如下的經(jīng)濟(jì)關(guān)系：，，其中為已知常數(shù).若，，求，.解由，分離變量并兩邊積分，得，即.將代入，得，因此.將代入，得，分離變量并兩邊積分，即所以.將代入，得，即，故.總之，所求函數(shù)為，.牛頓冷卻定律指出：物體的冷卻速度與物體本身溫度和環(huán)境溫度之差成正比，即有，其中為物體溫度，為環(huán)境溫度，為時(shí)間，為物體在時(shí)刻的溫度，為散熱系數(shù)（散熱系數(shù)只與系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)）.若室內(nèi)溫度為，現(xiàn)有一杯剛燒開的的熱水，經(jīng)過20min后，水的溫度降至.求水溫隨時(shí)間的變化規(guī)律，并計(jì)算還需要多長時(shí)間水溫能降至？解由，分離變量并兩邊積分，得，即.因?yàn)槭覂?nèi)溫度為，所以.于是.將代入上式得解得，所以水溫隨時(shí)間的變化規(guī)律為.將代入上式得，可得，，.可見水溫由降至所需要的時(shí)間為60分鐘，由題意知水溫由降至所需要的時(shí)間為20分鐘，因此水溫由降至還需要（分鐘）.

第五章習(xí)題解答習(xí)題5.11.設(shè)矩陣，，求（1）與；（2），求.解（1）..（2）由可得.2.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）.（2）（3）.（4）.（5）（6）.3.設(shè)，，求,,,,.解，，，，.4.設(shè)有甲、乙、丙三名學(xué)生的考試成績?nèi)缦卤恚赫Z文數(shù)學(xué)英語政治歷史地理甲859287869087乙799193857879丙838675878380試用矩陣的運(yùn)算計(jì)算這三名同學(xué)的總成績和平均成績.解設(shè)，，則這三名學(xué)生6門科目的總成績和平均成績可分別表示為，及.5．寫出將圖（a）變換為圖（b）、（c）及（d）的矩陣.（a）（b）（c）（d）解顯然圖（b）、（c）及（d）分別是由圖像（a）壓縮變換、鏡像變換及旋轉(zhuǎn)變換得到的.設(shè)是平面坐標(biāo)系里的任一點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)表示為列矩陣的形式.將圖像（a）變換為其它圖像的矩陣設(shè)為，由矩陣乘法的定義可以得到一個(gè)由矩陣決定的對(duì)應(yīng)法則，即點(diǎn)經(jīng)過矩陣變換后在該平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.（1）圖（b）是由圖（a）沿軸方向壓縮的結(jié)果，所以圖像（a）里點(diǎn)在圖（b）里點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)地為，因此有，可得變換矩陣為，此時(shí)有.（2）圖（c）是由圖（a）關(guān)于軸的鏡像變換的結(jié)果，變換后的坐標(biāo)為，故，可得變換矩陣為，此時(shí)有.（3）圖（d）是由圖（a）繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，變換后的坐標(biāo)為，故，得變換矩陣為，此時(shí)有.習(xí)題5.21.用消元法解下列線性方程組：（1）（2）（3）（4）解（1）將方程組中第一個(gè)方程與第二個(gè)方程對(duì)調(diào)，得方程組消去第二個(gè)和第三個(gè)方程的，得消去第三個(gè)方程的，得因此方程組的解為（2）將方程組中第一