滬教版 八年級(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第14講 命題與證明舉例(解析版)

丘幾何證明

內(nèi)容分析

命題與證明是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第十九章第一節(jié)內(nèi)容，主要對演繹證明和命

題、公理、定理的概念及舉例證明進(jìn)行講解，重點(diǎn)是真假命題的判定，難點(diǎn)是改

寫出已知命題和舉例證明.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)一方面為我們后面學(xué)習(xí)垂直平分線

和角平分線等幾何內(nèi)容提供依據(jù)，另一方面也為后面學(xué)習(xí)直角三角形性質(zhì)奠定基

礎(chǔ).

Mi知識結(jié)構(gòu)

模塊一：演繹證明

知識精講

1、演繹證明的概念

演繹證明：演繹推理的過程就是演繹證明.也就是說演繹證明是指：從已知的概念、條

件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實(shí)和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過程.

演繹推理是數(shù)學(xué)證明的一種常用的、完全可靠的方法.演繹證明是一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,

是我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的證明方式，簡稱為證明.

例題解析

【例1】填空：

(1)己知，如圖/4BC=/AOC,NAED=NEDC,BF、OE分別平分N4BC和

ZADC,求證：DE//EF

證明：因?yàn)锽尸平分NABC,(),

所以ZABC().

2

同理ZADC.

2

因?yàn)镹ABC=NAOC(),所以(),

又因?yàn)镹AED=NEDC,所以NAE￡)=NABF(),

所以DE//EF().

(2)已知：如圖，CDVAB,BELAC,垂足分別為D、E,EB交CD于點(diǎn)F,且

AD=DF.求證：AC=BF.

證明：因?yàn)镃C_LA8,BE_LAC(已知)，

所以ZAEB=NBDC=ZADC=90°(),

ISZA+ZB+ZAEB=180°(),

同理ZBFD+ZB+ZBDC=180°.

所以NA+N8+/AEB=NBFD+NB+NBDC(),

所以NA=NBF￡).()

在ZAOC與△尸C8中，

'NA=NBFD

■,所以△4OC名△FOB()

ZADC=NFDB

【答案】略

【解析】(1)己知；角平分線的定義；已知；等量代換；等量代換；同位角相等，兩直線平

行；

(2)垂直的意義；三角形內(nèi)角和180°；等量代換；等式性質(zhì)；AD=DF-,ASA；AC=B尸;

全等三角形的對應(yīng)邊相等.

【總結(jié)】考查證明題證明過程的依據(jù)和相關(guān)條件.

【例2】(1)如圖，由4B=4C,AD±BC,得,依據(jù)是

(2)如圖，由AB=AC,BD=DC,得,依據(jù)是

【例3】求證：等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.

【答案】略A

【解析】己知：如圖AB=AC,BD=CD,￡坦_!_45交48于點(diǎn)￡,

求證：DE=DF.

證明：-.AB-AC,BD=CD,

NBAD=NCAD

-.-DE±AB,DFVAC,

uD

.?.Z￡>E4=ZD網(wǎng)=90。

AD=AD,

.\^ADE=AADF

:.DE=DF

【總結(jié)】考查等腰三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用，作圖，已知，求證，證明的完整過程.

【例4】求證：等腰三角形底邊上的高上任意一點(diǎn)到兩腰的距離相等.

【答案】略.

【解析】己知：如圖AB=AC,ADA.BC,歷為線段AD上任意一點(diǎn),

仞交于點(diǎn)E,MFJ.AC交AC于點(diǎn)尸.

求證：ME=MF.

證明：?.,AB=AC,ADA.BC,..ZBAD=ZCAD.

■：MELAB，MFA.AC,r.ZME4=ZM用=90。.

AM=AM，/.MA/E=ZWWF.

:.ME=MF.

【總結(jié)】考查等腰三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用，作圖，已知，求證，證明的完整過程.

【例5】如圖，已知四邊形A8CD是凹四邊形，求證：ZD-ZA+Zfi+ZC.

【答案】略.

【解析】證明：聯(lián)結(jié)BC.

ZA+ZABC+ZACB=180°,

ZACB=ZABD+ZBDC,ZACB=ZACD+ADCB

.-.ZA+ZABD+ZACD=180°-ZDBC-ZDCB

ZD+ADBC+NDCB=180°

/.ZD=180°-NDBC-NDCB

.-.ZD=ZA+ZABD+ZACD

【總結(jié)】考查三角形中的等量代換，利用三角形內(nèi)角和180°即可解題.

【例6】如圖，已知AABC中，求證：NA+N8+NC=180°

證明：過8c上一點(diǎn)。，分別作,交A8于點(diǎn)E,交47于點(diǎn)尸,

因?yàn)?，所?A=.

同理ZB=,NC=.

因?yàn)椋?/p>

所以.

SZEDB+ZEDF+ZFDC=180°(

所以.

【答案】略

【解析】DE//AC,DFHAB-,DF//AB,

NEDF=NCFD=m平角的意義；NA+N8+NC=180°.

【總結(jié)】考查三角形內(nèi)角和的證明，利用平行線得到相等角等量代換即可.

模塊二：命題、公理'定理

知識精講

1、命題：能界定某個對象含義的句子叫作定義；對某一件事情做出判斷的句子叫作命題；

其判斷為正確的命題叫作真命題；其判斷為錯誤的命題叫作假命題.

數(shù)學(xué)命題通常由假設(shè)、結(jié)論兩部分組成，可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”開始

的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.

逆命題：在兩個命題中，如果第一個名義的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論

是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中的一個命題叫做原命題,

那么另一個叫做它的逆命題.

2、公理：人們從長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的原始

依據(jù).

3、定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命

題定理真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.

逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一

個叫做另一個的逆定理.

所有的命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理.

例題解析

【例7】判斷下列語句是不是命題?

（1）直線AB和直線CD垂直；

（2）同旁內(nèi)角不相等，兩直線平行；

（3）天氣預(yù)報(bào)播報(bào)，明天下雨的概率較大，大家出門帶好雨具；

（4）兩點(diǎn)之間，線段最短；

（5）對頂角相等；

（6）請把門關(guān)上！

【答案】（2）、（4）、（5）是命題，（1）、（3）、（6）不是命題.

【解析】根據(jù)命題的定義，對某一件事情做出判斷的句子叫做命題，（2）（4）（5）是對一件

事情做出判斷的句子，是命題，（1）（3）（6）不是.

【總結(jié)】考查對語句是否為命題的判斷.

【例8】判斷下列命題的真假.

（1）兩個鈍角的和還是鈍角；

（2）兩個等腰三角形必定可以拼成一個直角三角形；

（3）等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

（4）在一個三角形中，若一邊上的中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形;

（5）若兩個三角形全等，則這兩個三角形關(guān)于某個點(diǎn)成中心對稱；

（6）有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）是假命題，（4）是真命題.

【解析】（1）兩個鈍角的和大于180。，不是鈍角，是假命題；（2）兩個等腰三角形的三邊

長都不相等，則不能組合在一起，也不能拼成直角三角形，是假命題；（3）等邊三角形

不是中心對稱圖形，是假命題；（4）這條中線將三角形分成兩個等腰三角形，根據(jù)等腰

三角形兩底角相等，可得這條邊的對角為180°+2=90°,即為直角三角形，是真命題；

（5）兩全等三角形的對應(yīng)點(diǎn)不一定交于一點(diǎn)，則不一定關(guān)于某點(diǎn)中心對稱，是假命題；

（6）保持一邊不變，過一個頂點(diǎn)作一條射線，另一個頂點(diǎn)向這條射線作垂線，并以這

點(diǎn)為圓心，長于垂線長的長度為半徑作圓與射線有兩個交點(diǎn)，形成三角形一個是銳角三

角形，一個是鈍角三角形，滿足題目條件，但兩個三角形明顯不全等，是假命題.

【總結(jié)】考查判斷一個命題的真假，判斷命題為假命題舉一個反例即可.

【例9】下列定理中有逆定理的是（）.

A.直角三角形中沒有鈍角；B.互為相反數(shù)的數(shù)的絕對值相等：

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；D.若則。2=匕2.

【答案】C

【解析】沒有鈍角的三角形可能為銳角三角形，A錯誤；絕對值相等的數(shù)可能是相等也可能

是互為相反數(shù)，B錯誤；a2=b2,a=+b,D錯誤；C選項(xiàng)逆命題為平行線判定定理.

【總結(jié)】考查定理和相關(guān)逆定理，平行線三條性質(zhì)定理都有逆定理.

【例10】以下命題的逆命題為真命題的是().

A.三個角相等的三角形是等邊三角形；

B.同角的余角相等；

C.在三角形中，鈍角所對的邊最長；

D.對頂角相等.

【答案】A

【解析】等邊三角形三個內(nèi)角相等，A的逆命題是真命題；余角相等的角是等角，不一定是

同角，B的逆命題是假命題；根據(jù)“大邊對大角”，最長邊所對的角是三角形中最大角

即可，三角形中的最大角不一定是鈍角，例如直角三角形，C的逆命題是假命題；相等

的角不一定為對頂角，同位角、內(nèi)錯角等，D的逆命題是假命題；故選A.

【總結(jié)】考查對命題的逆命題的真假的判斷，舉反例即可.

【例111把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式：

(1)等邊對等角；

如果,那么；

(2)同角的補(bǔ)角相等；

如果,那么；

(3)平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

如果,那么;

(4)全等三角形對應(yīng)邊相等：

如果，那么.

【答案】略.

【解析】(1)如果一個三角形中有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角相等；

(2)如果兩個角是同一個角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等；

(3)如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行；

(4)一對全等三角形中，如果兩條邊是這對?全等三角形的對應(yīng)邊，那么這兩條邊相等.

【總結(jié)】考查命題“如果……那么……”形式的改寫，注意加入適當(dāng)?shù)拿枋鲂缘恼Z句，使得

語句更通順好理解.

【例12】寫出以下命題的逆命題，并判斷真假：

（1）等邊三角形的三個內(nèi)角相等；

（2）有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

（3）等腰三角形的底角相等；

（4）全等三角形對應(yīng)角相等；

（5）全等三角形面積相等.

【答案】略.

【解析】（1）逆命題：三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形，真命題；

（2）逆命題：兩個三角形是全等三角形，這兩個三角形中兩條對應(yīng)邊和其中一個對應(yīng)角都

相等，真命題；

（3）逆命題：如果一個三角形中有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，真命題；

（4）逆命題：對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形，假命題；

（5）逆命題：面積相等的兩個三角形是全等三角形，假命題.

【總結(jié)】考查對命題的逆命題的真假的判斷.

【例13】以下說法中正確的有（）個.

（1）逆定理一定是真命題；

（2）一個定理一定有逆定理；

（3）互逆命題一定是互逆定理；

（4）互逆定理一定是互逆命題.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】逆定理的前提是真命題，（1）正確；定理對應(yīng)的逆命題不一定為真命題，則沒有逆

定理，（2）錯誤；定理一定是命題，但命題不一定是定理，可知互逆定理一定是互逆命

題，但互逆命題不一定是互逆定理，（3）錯誤，（4）正確；

綜上，（1）（4）正確，故選B.

【總結(jié)】考查定理和命題的區(qū)別和聯(lián)系.

【例14】下列命題是假命題有（）個.

(1)若a>0,〃>0貝ija6>0；

（2）兩直線相交，只有一個交點(diǎn);

（3）等腰三角形是銳角三角形；

（4）等邊三角形是等腰三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】（1）正確，是真命題；（2）正確是真命題；等腰三角形頂角有可能為鈍角，則為鈍

角三角形，（3）是假命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，（4）是真命題；

綜上（3）是假命題故選A.

【總結(jié)】考查命題的真假的判斷.

【例15】判斷下列命題的真假，若是假命題，舉出反例.

（1）如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

（2）有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

【答案】略

【解析】（1）假命題，組成角的兩條射線，一條方向相同，一條相反，則兩角互補(bǔ)；

（2）假命題，保持一邊不變，過一個頂點(diǎn)作一條射線，另一個頂點(diǎn)向這條射線作垂線，

并以這點(diǎn)為圓心，長于垂線長的長度為半徑作圓與射線有兩個交點(diǎn)，形成三角形一個是

銳角三角形，一個是鈍角三角形，滿足題目條件，但兩個三角形明顯不全等.

【總結(jié)】考查命題的真假的判斷，假命題舉反例即可.

【例16】寫出下列命題的逆命題，判斷逆命題的真假，并說明其中哪些是逆定理.

（1）等腰三角形兩腰上的中線相等；

（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

（3）等邊對等角；

（4）兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

【答案】略.

【解析】（1）逆命題：如果一個三角形中有兩條邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三

角形，真命題，不是逆定理；

（2）逆命題：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，真命題，是逆定理：

（3）逆命題：等角對等邊，真命題，是逆定理；

（4）逆命題:如果兩條直線被第三條直線所截，截得的一對同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，

那么這兩條直線平行，真命題，不是逆定理.

【總結(jié)】考查一個命題的逆命題的寫法，以及對命題真假的判斷.

模塊三：證明舉例

知識精講

證明兩直線平行的一般方法：

(1)平行線的判定和性質(zhì)；

(2)利用全等得出結(jié)論證明兩直線平行.

（S）例題解析

【例17]如圖，若AB〃CO,直線EF分別與AB和CD相交于點(diǎn)E和尸，EPLEF,

的平分線與EP相交于點(diǎn)P,且/BEP=40。，則/EPF=.

【答案】65°.

【解析】?.?ZPEF=90。,Z5EP=40。，

ZBEF=APEF+ABEP=130°

?:AB3CD,/.NBEF+ZEFD=180°

;.AEFD=50°

?：PF是ZEFD的角平分線，

NEFP=L/EFD=25。

2

NEPF=180°-NPEF-ZEFP=65°

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

【例18】已知AB〃C￡>,N1=2NGBH.求證：BH平分/DHG.

【答案】略.

【解析】證明：;AB//CD

:/=ADHG,ZGBH=ZDHB

?.?N1=2NG8"，4=ZB+NGHB

ZGHB=NGBH=ZDHB

即證BH平分NDHG

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【例19］已知：如圖，AB//CD,且FT/、EG分別是NBFE、/CEF的平分線,

求證：FH//EG.

【答案】略

【解析】證明：-/AB//CD,:.NCEF=NBFE,

GE是NCEF的角平分線，

ZGEF=-ZCEF,同理NEFH=』ZBFE

22

:.NGEF=NEFH,..FH//EG.

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【例20］如圖，已知E是AABC一邊AC的中點(diǎn)，尸是AB上的一點(diǎn)，F(xiàn)E的延長線與C￡>交

于點(diǎn)。，且FE=￡>E.求證：DC//AB.A

【答案］略./

【解析】證明：是AC的中點(diǎn)，，AE=CE./

E

B

?;FE=DE,ZAEF=ZDEC,:.MEF^ACED.

.?.Z4=Z￡CD,DCIIAB.

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【例21]如圖，BE、CE分別為/B、NC的平分線，且/BEC=90。,

求證：AB//CD.

【答案】略

【解析】證明：?.?NBEC=90。，

:.ZEBC+ZECB=90°

8E是NABC的角平分線，

:.ZABC=2NEBC,同理r.NDC3=2NECB,

NABC+NDCB=2(NEBC+NECB)=180°

:.AB//CD

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【例23]如圖，已知8O=OC,AB=DC,B尸〃CE,月.A、B、C、D,。在同一直線上.

求證：DE//AF.

:.ZA=ZD:.DE//AF

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，內(nèi)錯角相等，兩直線平行與全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

【例24]已知：如圖所示，AB=AC,AD=CE,BD=AE,Z1=Z2.

求證：AE//BC.

【答案】略

【解析】證明：=AB=AC,.?.N2=ZAC8

.AB=AC,AD=CE,BD=AE

:.MBD^ACAE,.?.NCA￡=N1

?.-Z1=Z2,.-.ZC4E=Z1=Z2=ZACB

/.AE!IBC

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，內(nèi)錯角相等，兩直線平行結(jié)合全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

【例25]如圖：已知C。、8E是三角形ABC的中線，4B=AC,求證：DE//BC.

【答案】略

【解析】證明：?.?CD是AABC的中線，.?.AO=!AB.

2

同理AE」AC.

2

.AB=AC,:.AD=AE,ZABC=ZACB

:.ZADE^ZAED

ZA+ZADE+ZAED=18O°,NA+ZABC+NACB=180°

ZADE=g（180。-ZA）=ZABC,.-.DE//BC.

【總結(jié)】考查平行線的判定定理和等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【例26]如圖，已知在三角形ABC中，ZABC^ZACB的平分線相交于點(diǎn)D,EF過點(diǎn)D,

且Ef〃8C,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，求證：EF=BE+CF.

【答案】略

【解析】證明：?.?班）是NABC的角平分線，:.ZEBD=ZDBC

.EF!IBC,NEDB=NDBC,/.ZEBD=ZEDB

;.BE=DE,同理OF=C尸，

EF=ED+DF=BE+CF

【總結(jié)】考查角平分線與平行線結(jié)合產(chǎn)生等腰三角形的基本模型BC

【例27]如圖所示，在四邊形ABCQ中，AE平分NBAD,CF平分NBC。，NBA。和

/BCO互補(bǔ)，NDFC和/DCF互余.

求證：NAEB=NFCB.

【答案】略

【解析】證明：：小平分44。，.?.NDAE=」N84Q.

2

同理NOC尸=1/88.

2

ZBAD和NBCD互補(bǔ)，NBAD+NBCD=180°,

?.?ZDFC和/DCF互余，ZDFC+ZDCF=90。,:.ZDFC=ZDAE

:.AE//CF,;.ZAEB=NFCB.

【總結(jié)】考查平行線性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用.

【例28]如圖，在四邊形ABC。中，N4=NC,8E平分N4BC,。尸平分NADC.

求證：BE//DF.

【答案】略

【解析】證明：?.?3?平分NABC,

ZABE=-ZABC,同理ZFDE=-ZADC,

22

?.?ZA+ZABC+NC+ZA￡>C=360。，ZA=ZC,

ZABC+ZADC=360°-2ZA

-.■ZBED=ZA+ZABE

=ZA+g（360。-2ZA）=180。

ABED+ZFDE=ZA+-ZABC+-ZADC

22

:.BE//DF

【總結(jié)】考查平行線的判定定理，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【例29]如圖，AB//CD,分別探討下面4個圖形中/BP。、/ABP、/COP的關(guān)系，（直

接寫出關(guān)系即可），并對第3個圖得到的關(guān)系進(jìn)行證明（至少用兩種方法）.

圖2

B

AB

C

圖3

C

￥4

【答案】圖1：ZBPD+ZABP+ZCDP=360；圖2：ZBPD=ZCDP-ZABP：

圖3：ABPD=ZABP+/CDP；圖4：ZBPD=ZABP-/CDP.

【解析】證明：方法1：延長交C￡)于點(diǎn)M,

?：AB//CD，,ZABP=ZPMD

ZBPD=ZPM￡>+ZCDP=ZABP+/CDP；

方法2：過點(diǎn)作射線PN//AB,則有=

???AB//CD,s.CDUPN,ZCDP=ZDPN

.?.ZBPD=ZBPN+QPN=ZABP+ZCDP.

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)定理和三角形外角性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用，本題中4個小題都可通過作

平行或延長簡單證明.

【例30]如圖，四邊形A3CD中，AD//BC,/ABC=/DCB,AB=CD,AE=DF.

(1)求證：BF=CE；

(2)當(dāng)點(diǎn)金尸相向運(yùn)動，形成圖2時，8尸和CE還相等嗎?證明你的結(jié)論.

【答案】（1）略；（2）相等.

【解析】（1）證明：???4）/ABC,

.?.N&LD+NABC=180。，ZADC+ZBCD=180°

??ZABC=NDCB

.\ZBAD=ZADC

?.AE=DF

.\AE+AD=DF+AD,^DE=AF

???AB=CD

:.比DC三江AB

圖2

BF=CE

（2）相等，

證明：同（1）可證NBAO=NAZX?,

?;ED=AF,AB=CD

:.^EDC^\FAB

:.BF=CE

【總結(jié)】考查等腰梯形的性質(zhì)的證明，實(shí)際為后面等腰梯形性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

【習(xí)題1】下列命題中，屬于公理的有（）.

A.三角形的內(nèi)角和為180。B.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等

C.等腰三角形兩個底角相等D.在所有聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短

【答案】D

【解析】公理是人們從長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的

原始依據(jù)，D是公理，A、B、C都是定理.

【總結(jié)】考查對公理的判斷.

【習(xí)題2】下列判斷錯誤的是（）.

A.底角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等

B.有一腰和頂角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等

C.腰相等的兩個等腰直角三角形全等

D.邊長相等的兩個等邊三角形全等

【答案】A

【解析】由A只能確定兩個等腰三角形的三個內(nèi)角對應(yīng)相等，缺少邊相等的條件，不能判

定全等，故選A.

【總結(jié)】考查與等腰三角形結(jié)合的全等三角形的判定.

【習(xí)題3】將下列命題改寫成“如果....那么……”的形式：

（1）等角對等邊；

（2）同角的余角相等；

（3）全等的三角形的對應(yīng)邊上的高相等.

【答案】略

【解析】（1）如果一個三角形中有兩個相等的角，那么這兩個角所對的邊也相等；

（2）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等；

（3）如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形對應(yīng)邊上的高相等.

【總結(jié)】考查命題“如果……那么……”形式的改寫，注意加入適當(dāng)?shù)拿枋鲂缘恼Z句，使得

語句更通順好理解.

【習(xí)題4］如圖，已知AC〃OE,Z1=Z2,求證：AB//CD.

【答案】略

【解析】證明：?.?AC//DE,.'.ZACD=Z2.

?.，Z1=N2,Z1=ZACD,

ABI/CD.

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用，

【習(xí)題5】如圖，AM是A4BC底邊8C上的中線，點(diǎn)廠在AM上，點(diǎn)￡：在4例的延長線上,

【習(xí)題6］如圖，已知A尸〃BE〃C。，Z4=Z￡>.求證：AB//ED.

【答案】略

【解析】證明：?.,AF//3E//a),

.,.ZA+ZABE=180。，Zr>+ZDEB=180°.

?.?ZA=ZD,

:.ZABE=ZDEB,

CD

：.AB//ED.

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)和判定定理的結(jié)合應(yīng)用，先利用性質(zhì)再進(jìn)行判定.

【習(xí)題7】如圖，已知8、E、C、產(chǎn)在同一條直線上，AB//DE,1.AB=DE,BE=CF.

求證：AC//DF.

【答案】略

【解析】證明：-/AB//DE,:.ZB=ZDEF.

?;BE=CF,

:.BE+EC=EC+CF,即8c=EE.

?;AB=DE,

:.AABC=ADEF.

:.ZACB=ZF

ACIIDF

【總結(jié)】考查全等三角形的判定和平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合應(yīng)用.

【習(xí)題8】如圖，已知A8〃CL>,Z1=Z2.求證:NBEF=NEFC.

證明：.

因?yàn)?

所以NA8C=/8C￡>().

又因?yàn)?

得(

所以(

所以NBEF=NEFC().

【答案】略

【解析】聯(lián)結(jié)8C;AB//CD,已知；內(nèi)錯角相等;

Z1=Z2；已知；AEBC=ABCF■,

等式性質(zhì)；BEHCF,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題9】如圖，一條公路修到湖邊時，需繞湖而過，如果第一次拐彎的角NA是120。，第

二次拐彎的角是150。，第三次拐彎的角是/C,這時道路恰好和第一次拐彎之前的

道路平行，求NC的度數(shù).

【答案】150°

【解析】延長至交ZX7延長線于點(diǎn)E,

由兩道路平行，可得N￡=44=120。，

vZABC=150°

;.NCBE=180°-ZABC=30°

々CD=+NCBE=120°+30°=150°

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【習(xí)題10]已知：如圖，NABC=NA￡?C,BF和。E分別平分NABC和NAOC,且CF=CB.

求證：Z1=Z2

【答案】略

【解析】證明：平分NWC,

:.NCDE='/ADC,同理.?.NC8尸二4NABC,

22

\ZABC=ZADC

.\ZCDE=ZCBF

?.CF=CB

:2CFB=/CBF

.\ZCDE=ZCFB

..DE//FB

.*.Z1=Z2

【總結(jié)】考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用.

【習(xí)題11]如圖，四邊形ABC。中，AB//CD,AD//BC.

(1)聯(lián)結(jié)AC、8。相交于點(diǎn)。，若OD=OB,求證：OA=OC.

(2)若E、尸分別是D4、BC延長線上的一點(diǎn)，且AE=CF.聯(lián)結(jié)EF,交.AB、CD

于點(diǎn)G、H,交BD于點(diǎn)、0.求證：0G=0〃且。是80的中點(diǎn).

【答案】略

【解析】證明：(1)-.-AB//CD,AD//BC,

:.ZADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO

.OD=OB

.,.AADO^ACBO

.\OA=OC

圖1

(2)rABI/CD,

ZABD二ZBDC,ZFHC=ZFGB,

,.AD//BC,ZAGE=ZFGB

.\ZE=ZF9ZAGE=ZCHF

ZABD=ZBDC

???AE=CF

圖2

:.^AGE=\CHF

:.EG=HF

?;BD=BD

:.MBD=ACDB

:.AD=BC

?,AE=CF

:.AE^AD=CF+BC,^DE=BF

:.MDO="BO

:.DO=BO,EO=FO

:.EO-EG=FO-FH

即證OG=?！鼻?。是BD的中點(diǎn)

【總結(jié)】考查根據(jù)平行線和三角形的全等證明平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，為后面學(xué)習(xí)平行四邊

形的性質(zhì)打好基礎(chǔ).

課后作業(yè)

【作業(yè)1】以下命題的逆命題是真命題的是().

A.等邊三角形的三個角相等；

B.同角的補(bǔ)角相等；

C.在三角形中，鈍角所對的邊長最長；

。.同位角相等.

【答案】A

【解析】三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形，A的逆命題是真命題；補(bǔ)角相等的角相

等，但不一定為同角，B的逆命題是假命題；根據(jù)“大邊對大角”，最長邊所對的角是

三角形中最大角即可.，三角形中的最大角不一定是鈍角，例如直角三角形，C的逆命題

是假命題；相等的角不一定為同位角，D的逆命題為假命題；故選A.

【總結(jié)】考查命題的逆命題真假的判定，判定為假命題舉反例即可.

【作業(yè)2】把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出這個命題的題設(shè)和結(jié)論判

斷出命題的真假.

(1)軸對稱圖形都是等腰三角形；

(2)等腰三角形頂角的角平分線就是底邊上的高；

(3)等角的余角相等.

【答案】略

【解析】(1)如果一個圖形是軸對稱圖形，那么這個圖形是等腰三角形；題設(shè)：如果一個圖

形是軸對稱圖形，結(jié)論：那么這個圖形是等腰三角形，假命題；

(2)如果過等腰三角形的頂角作頂角的角平分線，那么這條角平分線是等腰三角形底邊上

的高；題設(shè)：如果過等腰三角形的頂角作頂角的角平分線，結(jié)論：那么這條角平分線是等腰

三角形底邊上的高，真命題；

(3)如果兩個角是兩個相等的角的余角，那么這兩個角相等；題設(shè)：如果兩個角是兩個相

等的角的余角，結(jié)論：那么這兩個角相等，真命題.

【總結(jié)】考查命題“如果……那么……”形式的改寫，注意加入適當(dāng)?shù)拿枋鲂缘恼Z句，使得

語句更通順好理解，同時考查命題真假的判斷.

【作業(yè)3】以下說法正確的有（）個.

①每個命題都有逆命題；

②假命題的逆命題是假命題；

③真命題的逆命題都是真命題；

④每個定理都有逆定理.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】①顯然正確，②③顯然錯誤，定理的逆命題必須為真命題則為定理，④錯誤,

綜上只有①正確，故選A.

【總結(jié)】考查命題和逆命題、定理和逆定理的相關(guān)定義.

【作業(yè)4】如圖，已知：ZAEC=ZA+ZC.

求證：AB//CD.

【答案】略

【解析】證明：延長AE交C￡＞于點(diǎn)尸，

ZAEC=NC+Z.EFC,ZAEC=ZA+ZC

;.ZEFC=ZA:.AB//CD

【總結(jié)】考查平行線的判定定理和三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【作業(yè)5】已知：如圖，AB//CD,ZB=110°,ZC=35°.求NE的度數(shù).

【答案】105°

【解析】延長他交CE延長線于點(diǎn)尸,

-,-AB//CD

;.ZF=NC=35°

?.?ZAB￡=11O°

NFBE=180°-ZABE=70°

ZBEC=/FBE+ZF=700+35°=105°

【總結(jié)】考查平行線的判定定理和三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【作業(yè)6】已知：如圖，A、E、F、。四點(diǎn)在一條直線上，AE=FD,ABIICD,且4B=CD.

求證：BF//CE.

【答案】略

【解析】證明：;AB//8,:.ZA=AD

?;AE=FD

：.AE+EF=FD+EF,即AF=0E

.AB=CD

:.^ABF=NDCE

:.NCED=NBFA

:.BF/ICE

【總結(jié)】考查平行四邊形和全等三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【作業(yè)7】已知：如圖，已知點(diǎn)0在直線AB上，0M平分NAOC,0N平分NB0C,那

么OM_LON嗎?為什么？

解：因?yàn)?M平分NAOC(),

所以(

同理=.

又因?yàn)镹4OC+NBOC=/80°(

所以1ZAOC+1NBOC=90。(

22

得+=90",(

所以O(shè)MON(