教案6.1幾何建模概述

6.1幾何建模概述1．幾何建模

工程中的零件和結(jié)構(gòu)件大都是以三維立體形式存在于空間，它們一般由一些簡單的幾何形體組成。幾何造型就是利用計算機(jī)技術(shù)，有效地將一些簡單的幾何形體組合成較復(fù)雜的立體，即在計算機(jī)屏幕上交互地構(gòu)造和修改設(shè)計對象形體，并在計算機(jī)內(nèi)建立三維幾何模型。對于現(xiàn)實世界中的物體，通過某種描述、處理、存儲等方法，將它轉(zhuǎn)換成為計算機(jī)的內(nèi)部表示的過程稱為建模。在計算機(jī)輔助機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計與制造中，將零部件的幾何形狀用計算機(jī)內(nèi)部表示就是幾何建模。建模過程實質(zhì)就是一個描述、處理、存儲、表達(dá)現(xiàn)實世界的過程。1幾何建模技術(shù)是CAD/CAM系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)。幾何建模技術(shù)是以計算機(jī)能夠理解的方式，對幾何實體進(jìn)行確切的定義，賦予一定的數(shù)學(xué)描述，再以一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式對所定義的幾何實體加以描述，從而在計算機(jī)內(nèi)部構(gòu)造一個實體的模型。幾何建模技術(shù)研究的是產(chǎn)品數(shù)據(jù)模型在計算機(jī)內(nèi)部的建立方法、過程及采用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。該模型是對幾何實體的確切的數(shù)學(xué)描述或是對幾何實體某種狀態(tài)的真實模擬，它將為CAD/CAM系統(tǒng)的各種不同的后續(xù)應(yīng)用提供信息，如由模型產(chǎn)生有限元網(wǎng)格，根據(jù)模型編制數(shù)控加工程序，由模型進(jìn)行機(jī)器裝配、干涉檢查等。通常將能夠定義、描述、生成幾何模型，并能交互編輯的系統(tǒng)稱為幾何造型系統(tǒng)。2所謂幾何建模就是以計算機(jī)能夠理解的方式，對實體進(jìn)行確切的定義，賦予一定的數(shù)學(xué)描述，再以一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式對所定義的幾何實體加以描述，從而在計算機(jī)內(nèi)部構(gòu)造一個實體的模型。3三維幾何建模系統(tǒng)可劃分為線框建模、表面建模和實體建模三種主要類型

分別對應(yīng)于用一維的線、二維的面和三維的體來構(gòu)造形體。幾何建模的定義、描述的幾何實體必須是完整的、唯一的，而且能夠從計算機(jī)內(nèi)部的模型上提取該實體生成過程中的全部信息．或者能夠通過系統(tǒng)的計算分析自動生成某些信息。

一般來說，幾何造型是通過對點、線、面、體等幾何元素，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換和并、交、差等集合運算，產(chǎn)生滿足設(shè)計目的的物體模型。

42．幾何建模技術(shù)的發(fā)展

20世紀(jì)60年代：幾何建模技術(shù)發(fā)展的初始階段—線框模型，僅含有頂點和棱邊的信息20世紀(jì)70年代：表面模型。在線框模型的基礎(chǔ)上增加面的信息，使構(gòu)造的形體能夠進(jìn)行消隱、生成剖面和著色處理。后來又出現(xiàn)曲面模型，用于各種曲面的擬合、表示、求交和顯示。20世紀(jì)70年代末：實體造型。通過簡單體素的幾何變換和交、并、差集合運算生成各種復(fù)雜形體的建模技術(shù)，實體模型能夠包含較完整的形體幾何信息和拓?fù)湫畔ⅰＪ悄壳癈AD/CAM建模的主流技術(shù)。線框模型、表面模型、實體模型統(tǒng)稱為幾何模型。20世紀(jì)80年代：特征建模技術(shù)。不僅表達(dá)產(chǎn)品的幾何形狀信息，而且表達(dá)與制造有關(guān)的非幾何信息。如：精度、公差、粗糙度等

5

幾何信息是指一個物體在三維歐氏空間中的位置、大小、尺寸和形狀信息。對于一條空間直線，可以用它的兩個端點的位置矢量來表示，也可以用其端點在三維直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量來定義。例如幾種常見的幾何元素的定義：頂點：V=(x,y,z)直線：(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C平面：ax+bx+cx+d=0二次曲面：ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0自由曲面：可用Coons曲面、Bezier曲面、B樣條曲面、NURBS曲面的參數(shù)方程表示

1.幾何信息二、幾何建模技術(shù)的基本知識

1.幾何信息

2.拓?fù)湫畔?/p>

3．非幾何信息

4.

形體的表示

6

拓?fù)湫畔⑹侵冈撐矬w的拓?fù)湓?頂點Vertex、邊Edge和表面Face)的個數(shù)、類型以及它們相互之間的連接關(guān)系，根據(jù)這些信息可以確定物體表面的鄰接關(guān)系。

各種幾何元素相互間的關(guān)系構(gòu)成了形體的拓?fù)湫畔ⅰ?/p>

2.拓?fù)湫畔?/p>

任一形體是由點、邊、環(huán)、面、體等各種不同的幾何元素構(gòu)成，這些幾何元素間的連接關(guān)系是指一個形體由哪些面組成，每個面上有幾個環(huán)，每個環(huán)有哪些邊組成，每個邊又由哪些頂點定義等。各種幾何元素相互間的關(guān)系構(gòu)成了形體的拓?fù)湫畔?。因此，拓?fù)潢P(guān)系允許三維實體作彈性運動，這些運動使得三維實體上的點仍為不同的點，而不允許把不同的點合并成一個點。對于兩個形狀和大小不一樣的實體的拓?fù)潢P(guān)系恰好可能是等價的。典型的例子是立方體和圓柱體，這兩個實體的幾何信息是不同的，而其拓?fù)涮匦允堑葍r的，如圖4．3所示。7描述形體拓?fù)湫畔⒌母灸康氖潜阌谥苯訉?gòu)成形體的各面、邊及頂點的參數(shù)和屬性進(jìn)行存取和查詢，便于實現(xiàn)以面、邊、點為基礎(chǔ)的各種幾何運算和操作。

對于多面體，其拓?fù)湓仨旤c、邊、面的連接關(guān)系共有9種，如圖4．4所示各種幾何元素相互間的關(guān)系構(gòu)成了形體的拓?fù)湫畔ⅰ?

非幾何信息是指產(chǎn)品除描述實體幾何、拓?fù)湫畔⒁酝獾男畔?，包括零件的物理屬性和工藝屬性等，如零件的質(zhì)量、性能參數(shù)、公差、加工粗糙度和技術(shù)要求等信息。為了滿足CAD/CAM/CAPP集成的要求，非幾何信息的描述和表示顯得越來越重要，是目前特征建模中特征分類的基礎(chǔ)。

3．非幾何信息

4、

形體的表示形體在計算機(jī)內(nèi)常采用六層拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來定義。并規(guī)定形體及幾何元索均定義在三維歐氏空間中。

9定義形體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

10①體體是由封閉表面圍成的有效空間，其邊界是有限個面的集合，而外殼是形體的最大邊界，是實體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的最高層。②殼殼由一組連續(xù)的面圍成，實體的邊界稱為外殼，如果殼所包圍的空間是個空集則為內(nèi)殼。③面面是形體表面的一部分，且具有方向性，它由一個外環(huán)和苦干個內(nèi)環(huán)界定其有效范圍。面的方向用垂直于面的法矢表示，法矢向外為正向面。④環(huán)環(huán)是由有序、有向的邊組成的封閉邊界，環(huán)中各條邊不能自交，相鄰兩邊共享一個端點。環(huán)有內(nèi)環(huán)、外環(huán)之分，確定面中內(nèi)孔或凸臺邊界的環(huán)為內(nèi)環(huán)，確定面的最大外邊界的環(huán)為外環(huán)，外環(huán)最大且只有一個。環(huán)具有方向性，外環(huán)通常按逆時針方向，而內(nèi)環(huán)通常按順時針方向。11⑥點點是邊的瑞點，點不允許出現(xiàn)在邊的內(nèi)部，也不能孤立地存在于物體內(nèi)、物體外或面內(nèi),點是造型中最基本的元素，它可以是形體的頂點，也可以是曲線曲面的控制點、型值點、插值點。頂點則是面中兩條不共線線段的交點。

⑤邊邊是形體中兩個相鄰面的交界，一條邊只能有兩個相鄰的面，一條邊有兩個端點定界該邊的起點和終點，它可以是空間直線或曲線。

體素體素指可由若干個參數(shù)描述的基本形狀，如立方體、圓柱、球、環(huán)等，體素也可以是由定義的輪廓沿指定邊線掃描生成的空間。如立方體可用一個頂點坐標(biāo)(x，y，z),三個軸向邊長(dx，dy，dz)．以及繞x,y,z軸旋轉(zhuǎn)的角度αx,αy,αz來定義。對于球體只要給出球心位置(x0,y0，z0)及其半徑r即能唯一確定。

12

集合運算是幾何造型的基本方法，任何復(fù)雜形體那可以通過簡單形體的集合運算生成，集合運算包括并、交、差，相應(yīng)的集合算子及其作用如下：并A∪B取A和B的并集交A∩8取A和B的交集差A(yù)－B從A中減去A和B的交集三、集合運算與正則集合運算

由正則形體通過集合運算而生成的形體不一定仍然是正則的，而早期的造型理論特別強(qiáng)調(diào)幾何形體的正則性，為此引入了正則集合運算的概念。能夠產(chǎn)生正則形體的集合運算稱為正則集合運算。相應(yīng)的正則集合算子有：正則并U* 正則交∩* 正則差—*A∩*B=Ki（B∩A）數(shù)學(xué)上正則集定義為：S=KiS

圖該公式的含義為：如果一集合S的內(nèi)部閉包與原來的集合相等．則稱此集合為正則集。式中∩*、∪*、－*分別為正則交、正則并和正則差，K是封閉的意思，i是內(nèi)部的意思。圖4．6兩個立方體的普通布爾交集

圖4．7普通布爾運算，出現(xiàn)了懸面

13一個形體的表面是由一系列基本幾何元素(面、邊、點)組合而成．而這些幾何元素之間的拓?fù)潢P(guān)系應(yīng)滿足一定的約束條件。通常用歐拉公式來檢驗這種拓?fù)潢P(guān)系是否滿足條件，從而檢查形體是否有效。

四、歐拉公式歐拉公式對于簡單多面體和一般多面體有所不同。

1．簡單多面體歐拉公式簡單多面體是指與球具有拓?fù)涞葍r的多面體：也就是指無孔、無槽的多面體，如長方體、三棱錐等。簡單多面體的歐拉公式為：V-E+F=2(V—頂點數(shù),E—邊數(shù),F—面數(shù))如對于長方體，V＝8，E＝12，F(xiàn)＝6，V-E+F=8-12+6＝2簡單多面體歐拉公式可用于球體、錐體等簡單曲面體。

142．一般多面體歐拉公式一般多面體是指含有孔、槽的多面體。一般多面體的歐拉公式為

V-E+F-L=2（B-G）式中V—頂點數(shù)；

E—邊數(shù)；

F—面數(shù)；

L—多面體表面上的內(nèi)環(huán)數(shù)；

B—互不相連的多面體數(shù)量；

G—多面體上的通孔數(shù)。15如圖4—18(a)所示的長方體上帶有一個通孔，則V=16，E=24，F(xiàn)=10，L＝2，B＝1，G＝1，式(4—2)左側(cè)為V-E+F-L