專題02不等關系-2024年數學高頻考點重點題型（原卷版）

專題02不等關系核心體系不等關系與不等式實數的性質二、關鍵能力通過對不等關系學習，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式對于刻畫不等關系的意義和價值；從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構并且用數學知識與方法構建模型解決問題，培養(yǎng)學生的數學抽象及數學建模能力。三、教學建議加強不等式基礎知識的復習．不等式的基礎知識是進行推理和解不等式的理論依據，要弄清不等式性質的條件與結論，但在在教學中不要對這些性質的證明作過多的糾纏，只需要這些性質的合理性上舉例說明即可；同時也可以類比等式的基本性質，對一些不等式的推斷作一些分析驗證，通過類比，使學生認識不等式與等式性質之間的相同點與不同點．四、高頻考點1．兩個實數比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性質性質性質內容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同為正數五、重點題型題型一、創(chuàng)建不等關系例11．國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農副產品m噸，按規(guī)定，農戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為減少農民負擔，制定積極收購政策，根據市場規(guī)律，稅率降低x個百分點(x>0)，收購量增加2x個百分點，為使得稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%，求x的取值范圍．例12．（2019·全國高考）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm訓練題組1．（多選題）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據這個事實，下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．2．元旦將近，調查鮮花市場價格得知：購買2只玫瑰與1只康乃馨所需費用之和大于8元，而購買4只玫瑰與5只康乃馨所需費用額小于22元；設購買2只玫瑰花所需費用為元，購買3只康乃馨所需費用為元，則的大小關系是．A．B．C．D．的大小關系不確定3．長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，記者采訪隊長時詢問這個團隊的構成情況，隊長回答：“（1）有中學高級教師；（2）中學教師不多于小學教師；（3）小學高級教師少于中學中級教師；（4）小學中級教師少于小學高級教師；（5）支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級；（6）無論是否把我計算在內，以上條件都成立．”由隊長的敘述可以推測出他的學段及職稱分別是____．4．調查某地居民每年到商場購物次數與商場面積、到商場距離的關系，得到關系式（為常數）.如圖，某投資者計劃在與商場相距10km的新區(qū)新建商場，且商場的面積與商場的面積之比為.記“每年居民到商場購物的次數”、“每年居民到商場購物的次數”分別為，，稱滿足的區(qū)域叫做商場相對于的“更強吸引區(qū)域”.（1）已知與相距15km，且.當時，居住在點處的居民是否在商場相對于的“更強吸引區(qū)域”內？請說明理由；（2）若要使與商場相距2km以內的區(qū)域（含邊界）均為商場相對于的“更強吸引區(qū)域”，求的取值范圍.題型二、比較大小例21．已知a＞c，b＞d，則下列結論正確的是（）A．ab＞cd B．a－b＞c－dC．ab＋cd＞ad＋bc D．例22．（多選題）已知且，則下列結論中一定成立的是（）A． B． C． D．訓練題組1.如果那么下列說法正確的是（）A． B． C． D．2．（多選題）若，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．3．（多選題）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（）A． B． C． D．4．（多選題）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，則5．（多選題）已知，且，則下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．題型三、作差法作商法比較大小例31．多選題（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．例32．若，則（）A． B．C． D．訓練題組1．甲、乙兩人同時從寢室出發(fā)去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同(步行速度與跑步速度不相等)，則()A．兩人同時到教室 B．誰先到教室不確定C．甲先到教室 D．乙先到教室2．（多選題）設實數、、滿足，，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．設，，則，的大小關系為_________.4．已知a，b為正實數．求證：＋≥a＋b.題型四、不等式與充分必要條件例41．已知p：q：，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例42．“”的一個充分條件是（）A．或 B．且 C．且 D．或訓練題組1．設且，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要2．設，，則是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型五、不等式與命題推理例51.已知a，b∈R，給出下面三個論斷：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：________．訓練題組1．已知三個不等式：①；②；③.以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成正確命題的個數是A． B． C． D．2．給出下列五個論斷：①；②；③；④；⑤.以其中的兩個論斷作為條件，一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：___________.3．已知α，β是實數，給出三個論斷：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題是________.4．已知均為大于0的實數,給出下列五個論斷:①,②,③,④,⑤.以其中的兩個論斷為條件,余下的論斷中選擇一個為結論,請你寫出一個正確的命題___________.5．已知下列三個不等式：①；②；③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可組成幾個正確命題？題型六、已知不等關系求目標范圍最值例6．已知角滿足，，則的取值范圍是__________．訓練題組1．（2019·全國）已知，則的取值范圍為_______.2．（2020·全國）設x，y為實數，滿足，，則的最小值是______.3．已知，則的范圍是______________.4．已知Sn是等差數列{an}的前n項的和，若S2≥4，S4≤16，則a5的最大值是_____．達標測試一、單項選擇題1．若a，b∈R，且a>|b|，則()A．a<－b B．a>bC．a2<b2 D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)2．若a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．an>bn3．設M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝(其中0<x<y)，則M，N，P的大小順序是()A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P4．若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π5.若a＞b＞0，則下列不等式中一定成立的是()A.a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)C.a－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)6.已知a＝eq\f(1,4)log23，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)log53，則()A.c＜a＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.b＜a＜c7.設a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，則x，y的大小關系為()A.x＞y B.x＜yC.x＝y(tǒng) D.x，y的大小關系不定8.(2021·南京、鹽城二模)在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數．當基本傳染數高于1時，每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數呈指數級增長.當基本傳染數持續(xù)低于1時，疫情才可能逐漸消散.廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數.假設某種傳染病的基本傳染數為R0,1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N人中有V個人接種過疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱為接種率))，那么1個感染者新的傳染人數為eq\f(R0,N)(N－V)．已知新冠病毒在某地的基本傳染數R0＝2.5，為了使1個感染者傳染人數不超過1，該地疫苗的接種率至少為()A.40% B.50%C.60% D.70%二、多項選擇題9．已知a，b∈(0,1)，若a>b，則下列所給命題中錯誤的為()A．B．C．(1＋b)b>(1＋a)aD．(1－b)b>(1－a)a10.下列不等式中，推理正確的是()A.若x>y>z，則|xy|>|yz|B.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則ab>b2C.若a2x>a2y，則x>yD.若a>b>0，c>0，則a－c>b－c11.已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，則下列各式中成立的是()A.ac(a－c)>0B.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac12.已知下列四個條件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有()A.①B.②C.③D.④三、填空題13．給出下列三個不等式：①；②；③.以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成________個真命題.14.已知12<a<60，15<b<36，則a－b的取值范圍是________，eq\f(a,b)的取值范圍是________.15.若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是16.某生活用品價格起伏較大，每兩周的價格均不相同，假設第一周、第二周價格分別為a元/斤、b元/斤，甲和乙購買方式不同：甲每周買3斤該用品，乙每周買10元錢的該用品，則________的購買方式更優(yōu)惠(兩次平均價格低視為更優(yōu)惠).(填