專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型例題題型歸類練)

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型例題+題型歸類練)目錄角度1：內(nèi)切球等體積法角度2:內(nèi)切球獨立截面法角度3：外接球公式法角度4：外接球補型法角度5：外接球單面定球心法角度6：外接球雙面定球心法一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面體的外接球。定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球為球，求球半徑.方法如下：即：，可求出.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點2、補形法（補長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個垂直）題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）②對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計算求半徑:在直線上任取一點如圖：則，利用公式可計算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心.二、典型例題角度1：內(nèi)切球等體積法空間幾何體的內(nèi)切球問題①等體積法：將空間幾何體拆分為以內(nèi)切球球心為頂點的多個幾何體，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，主要用于多面體內(nèi)切球問題；②獨立截面法：主要用于旋轉(zhuǎn)體中，通過獨立截面（過球心的截面），在截面中求出內(nèi)切球的半徑.例題1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（

）A． B． C． D．思路點撥：空間幾何體內(nèi)切球問題優(yōu)先考慮等體積法（多面體）和獨立截面法（旋轉(zhuǎn)體）思路點撥：空間幾何體內(nèi)切球問題優(yōu)先考慮等體積法（多面體）和獨立截面法（旋轉(zhuǎn)體）解答過程：第二步：以內(nèi)切球球心為頂點，將三棱錐拆分成4個小三棱錐：分別為：三棱錐;三棱錐;三棱錐;三棱錐;并分別求出四個三棱錐的面積第一步：求出三棱錐的體積：第三步：利用等體積法求球半徑：求出內(nèi)切球半徑第四步：利用球的表面積公式求表面積【答案】A【詳解】解：因為平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均為直角三角形，設球的半徑為r，則，而，，所以，解得，所以球的表面積為，故選：A.角度2:內(nèi)切球獨立截面法例題2．（2022·全國·高一課時練習）軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積.思路點撥：空間幾何體內(nèi)切球問題優(yōu)先考慮等體積法（多面體）和獨立截面法（旋轉(zhuǎn)體）解答過程：思路點撥：空間幾何體內(nèi)切球問題優(yōu)先考慮等體積法（多面體）和獨立截面法（旋轉(zhuǎn)體）解答過程：第二步：在正三角形中，邊長,正三角形高，在中，利用勾股定理求半徑：，，解得：第一步：獨立軸截面，在軸截面中求出圓錐內(nèi)切球的半徑第三步：利用體積公式求體積：【答案】如圖作出軸截面，圓和相切與點，因為△ABC是正三角形，所以，AD＝AC＝2，，設內(nèi)切求半徑為，在中可得，，所以，解得，所以內(nèi)切球體積為.角度3：外接球公式法外接球公式法①長方體外接球：在長方體中，設一個頂點出發(fā)的三條邊長分別為：，，，則長方體外接球半徑②正方體外接球：在正方體中，設邊長為，則正方體外接球半徑例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為______________．思路點撥：直接利用長方體外接球半徑公式求解思路點撥：直接利用長方體外接球半徑公式求解解答過程：,所以外接球的表面積.【答案】【詳解】由題知，長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以，所以所以外接球的表面積.故答案為：角度4：外接球補型法外接球補形法①墻角型：由一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可補形為長方體或正方體，再利用公式法求解外接球問題；②對棱相等型：如果一個多面體的對棱都相等，可以補形為長方體，或正方體，再利用公式法求解外接球問題；例題4．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．思路點撥：通過已知條件，發(fā)現(xiàn)在思路點撥：通過已知條件，發(fā)現(xiàn)在三棱錐中，對棱（三對）相等，可以判定為對棱相等型，通過補形為長方體求解解答過程：第一步：補形，構(gòu)造長方體，在長方體中，畫出三棱錐，設長方體的長為，寬為，高為，通過補形發(fā)現(xiàn)，三棱錐的六條棱為長方體的對角線，通過勾股定理求邊長第二步：通過，，，三個式子相交得：，再利用長方體外接球公式求出半徑：,所以三棱錐外接球的表面積為【答案】A三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A例題5．（2022·福建漳州·高二期末）在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為_________．思路點撥：通過已知條件，發(fā)現(xiàn)在思路點撥：通過已知條件，發(fā)現(xiàn)在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，可以判定為墻角型，通過補形為長方體求解解答過程：第一步：補形，構(gòu)造長方體，在長方體中，畫出三棱錐第二步：由已知：，，，利用公式求解外接球半徑，則，所以球的表面積為【答案】將三棱錐補全為長方體，則長方體的外接球就是所求的外接球，設球半徑為R，則，所以球的表面積為．故選答案為：．角度5：外接球單面定球心法外接球單面定球心①第一步：選定一個底面（如圖底面三角形），求出三角形外接圓圓心如圖：若為直角三角形，則外接圓圓心在斜邊的中點上；若為正三角形，則外接圓圓心在重心位置；若為普通三角形，則利用正弦定理,確定出的位置②第二步：過點作出平面的垂線，如圖為，則球心在直線上；③計算：在中，利用勾股定理求出外接球半徑例題6．（2022·云南紅河·高一期末）已知正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，則該棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．思路點撥：在思路點撥：在正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，可考慮單面定球心法解答過程：第一步：選定底面，確定其外接圓圓心（為正三角形重心），則第二步：確定球心：由于三棱錐，則，面，則球心在直線上；且第三步：利用勾股定理求半徑：由解得;第四步：所以球的表面積為.【答案】C【詳解】過點作平面，垂足為，連接，由已知得，，設外接球的球心為，在上，球的半徑為，則由得，，解得，所以球的表面積為.例題7．（2022·江蘇南通·高一期中）在三棱錐中，已知平面，，，，，則該三棱錐外接球的表面積為______.思路點撥：在思路點撥：在三棱錐中，沒有適合補形的條件，可考慮單面定球心法解答過程：第一步：選定底面，確定其外接圓圓心（采用正弦定理），由第二步：確定球心：由于平面,過作平面的垂線，則球心在該直線上，由于到的距離與到的距離相等，故;第三步：求半徑;第四步：三棱錐外接球的表面積【答案】在底面

中，，，，由余弦定理可得，設外接圓的圓心為，半徑為r，球心為O，由正弦定理可得，，得，底面ABC，且球心到點P，A的距離相等，球心與底面的距離為

，球心與圓心的連線垂直于底面，，，該三棱錐外接球的表面積故答案為：故選：C.角度6：外接球雙面定球心法雙面定球心①第一步：選定一個底面（如圖底面三角形），求出三角形外接圓圓心如圖：若為直角三角形，則外接圓圓心在斜邊的中點上；若為正三角形，則外接圓圓心在重心位置；若為普通三角形，則利用正弦定理,確定出的位置②第二步：過點作出平面的垂線；③第三步：重復上述兩步，再做一條垂線；④第四步：兩條垂線的交點為球心例題8．（2022·廣東梅州·高一階段練習）如圖，在三棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B三、題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.2．（2022·江蘇·鹽城市大豐區(qū)新豐中學高三階段練習）若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切)的半徑為，當該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）A． B． C． D．【答案】B如下圖組合體的軸截面，設圓錐半徑為，圓錐高為，則，，，由得,代入得①，由“該圓錐體積是球體積兩倍”可知，即②，聯(lián)立兩式得.故選:B3．（2022·全國·高三專題練習）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（

）A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3【答案】A設圓錐的高為，底面半徑為，則當球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切時，軸截面如圖，由可得：，即，圓錐的體積．當且僅當，即時取等號．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故選：A．4．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動點，則，兩點間的距離最大值為______．【答案】由已知可將該三棱錐補成如圖所示正方體．則三棱錐內(nèi)切球球心，外接球球心，以及內(nèi)切球與面的切點三點均在上，且．設內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，則．由，解得，故，兩點間距離的最大值為．故答案為：.5．（2022·陜西·三模（文））已知球O為正四面體的內(nèi)切球，E為棱的中點，，則平面截球所得截面圓的直徑為___________.【答案】球O為正四面體的內(nèi)切球，，所以正四面體的體積為.設正四面體的內(nèi)切球半徑為r，則，故內(nèi)切球半徑，平面截球O所得截面經(jīng)過球心，故平面截球O所得截面圓直徑為.6．（2022·山西·高二期末）如圖所示，用一個平行于圓錐SO的底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺，上、下底面的面積之比為1：9，截去的圓錐的底面半徑是3，圓錐SO的高為18．則截得圓臺的體積為________；若圓錐SO中有一內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為________．【答案】

##由題意得：截得的圓臺，上、下底面半徑之比為1:3，截去的圓錐的底面半徑是3，故下底面半徑為9，則圓錐SO的體積為，由相似知識得：，故，故截去的圓錐體積為，故截得圓臺的體積為，畫出內(nèi)切球的截面圖，如下：則有，設內(nèi)切球半徑為R，則，，由勾股定理得：，由得：，解得：，故內(nèi)切球的表面積為.故答案為：，7．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）正方體的外接球體積與內(nèi)切球體積的比為（

）A．3 B． C． D．2【答案】B設正方體的棱長為，則其外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，所以正方體的外接球與內(nèi)切球的體積之比是.故選：B8．（2022·遼寧·高一期末）設正四棱柱的外接球球心為，已知，且，則該正四棱柱外接球的表面積為___________.【答案】解：正四棱柱的外接球球心為，在正四棱柱的中心，如圖，即體對角線的中點為，連接設半徑，則因為正四棱柱，所以，則，在直角三角形中有，，故解得，所以外接球表面積.故答案為：.9．（2022·廣西桂林·高一期末）已知四面體的棱長都等于2，那么它的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C如圖，正四面體棱長為2，平面于，則是中心，，平面，平面，則，設外接球球心為，則在，則為外接半徑，由得，解得，所以其外接球的表面積為，故選：C．10．（2022·全國·高三專題練習（文））已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD的外接球的表面積為______．【答案】設四面體ABCD的外接球的半徑為R，將四面體ABCD置于長寬高分別為a，b，c的長方體中，故，故，故四面體ABCD的外接球的表面積為．故答案為：11．（2022·重慶·高一階段練習）在三棱錐中，平面，，，，，則四面體的外接球的表面積為_____【答案】16因為，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，，將三棱錐中補形為長方體，如圖：則四面體的外接球就是長方體的外接球，所以該球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為.故答案為；.12．（2022·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角ABDC的余弦值為，則三棱錐DABC的外接球的體積為_____.【答案】##如圖，取的中點為，連接AM,DM,則,則二面角的平面角為，，由四邊形ABDC是菱形，可知為正三角形，設球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則為的中心，所以，，，由于二面角ABDC的余弦值為，故