第04講雙曲線-2023年高二數(shù)學(xué)寒假課（人教A版2019選擇性）

第04講雙曲線【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．注：1、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．2、對(duì)雙曲線定義中限制條件的理解(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時(shí)，M的軌跡不存在．(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時(shí)，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時(shí)，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．(4)若將定義中的絕對(duì)值去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.①若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;②若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x注：（1）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)：若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上，即“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，焦點(diǎn)隨著正的跑”．（2）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線方程.（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．（4）雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b．（5）雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1的形式，當(dāng)A＞0，B＞0，A≠B時(shí)為橢圓，當(dāng)A·B＜0時(shí)為雙曲線.知識(shí)點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．以雙曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)雙曲線的定義：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要結(jié)論：S△PF1F2=推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==知識(shí)點(diǎn)4等軸雙曲線和共軛雙曲線1．等軸雙曲線(1)實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的一般方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1(a＞0)．(2)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，漸近線方程為y＝±x，離心率e＝eq\r(2).(3)等軸雙曲線的方程，；2．共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線是一對(duì)共軛雙曲線．其性質(zhì)如下：(1)有相同的漸近線；(2)有相同的焦距；(3)離心率不同，但離心率倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1.知識(shí)點(diǎn)5直線與雙曲線的位置關(guān)系1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)a＝0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．注：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．弦長公式直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則（為直線斜率）3、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則弦長.【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022春·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B．1 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)所在軸,再由計(jì)算即可.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知焦點(diǎn)在軸上，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由可得，可得.故選:.2．（2022春·北京豐臺(tái)·高二北京豐臺(tái)二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線過點(diǎn)，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將點(diǎn)代入得出關(guān)系，由離心率得出關(guān)系，結(jié)合雙曲線關(guān)系式即可求解.【詳解】將代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得，又，，聯(lián)立解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C3．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）和橢圓有相同焦點(diǎn)的等軸雙曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用等軸雙曲線性質(zhì)，求解即可．【詳解】橢圓，，則，可得，設(shè)等軸雙曲線方程為，其中，可得，解得所求的雙曲線方程為．故選：A4．（2022春·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎p曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定點(diǎn)的定義，求得，設(shè)出雙曲線方程，寫出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意得，即，設(shè)雙曲線的方程為，焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，雙曲線方程為，綜上，雙曲線的方程為．故選：B．5．（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，求解即可【詳解】由題意可知雙曲線方程為且，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，若的周長為72，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得到，然后利用雙曲線的定義得到，根據(jù)的周長為72列方程，解得即可得到雙曲線方程.【詳解】由題知，，所以直線為，設(shè)，，由，得，則，，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)榈闹荛L為72，所以，所以，得，所以雙曲線方程為.故選：C.考點(diǎn)二雙曲線的焦點(diǎn)三角形7．（2022春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．18【答案】B【分析】利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，，即，解得2或18，均滿足.故選：B8．（2022春·安徽安慶·高二安慶一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義和已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出的值，利用中位線的性質(zhì)可求得.【詳解】在雙曲線中，，，，由雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，則，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故.故選：A.9．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C上位于第一象限的一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.10．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，，的周長為10，則雙曲線C的焦距為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義和三角形的周長解得m的值，再由余弦定理列式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，由雙曲線的定義知：，∴，a=m，∴有，解得，∵在和中，，∴由余弦定理得，解得，可得雙曲線的焦距為．故選：C.考點(diǎn)三雙曲線定義的應(yīng)用11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原方程可變形為，根據(jù)已知有，解出即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.12．（2022春·廣東佛山·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)a，b，“”是“方程對(duì)應(yīng)的曲線是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：可整理成，當(dāng)，則且或且，此時(shí)方程即表示的曲線為雙曲線，則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則即，則必要性成立，故選：C13．（2022·四川南充·統(tǒng)考三模）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出方程表示雙曲線的必要不充分條件的范圍可得答案.【詳解】由，方程表示雙曲線，則，所以，根據(jù)選項(xiàng)，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.故選：B.14．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理，利用三角形三邊關(guān)系，可得答案.【詳解】由雙曲線，則，即，且，由題意，作圖如下：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義得，則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出的最小值即為.【詳解】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，，，所以下焦點(diǎn)，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,

.故選：D.考點(diǎn)四雙曲線的軌跡方程16．（2022·四川·高二統(tǒng)考）已知y軸上兩點(diǎn)，，則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.【詳解】點(diǎn)，，令為軌跡上任意點(diǎn)，則有，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，即雙曲線的實(shí)半軸長，而半焦距，則虛半軸長，所以所求軌跡方程為.故選：B17．（2022春·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意有，從而有，根據(jù)雙曲線的定義得點(diǎn)的軌跡為是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線．再寫出其方程即可.【詳解】如圖所示：∵是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，∴，，∵是圓上一動(dòng)點(diǎn)，∴，∴，∴，，，∴點(diǎn)的軌跡為以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，得，∴點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.18．（2022春·陜西渭南·高二期末）一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關(guān)系，即可求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動(dòng)圓圓心為，半徑為，當(dāng)兩圓外切時(shí)：，所以；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，所以；即，表示動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，且，，，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.19．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩圓，動(dòng)圓與圓外切，且和圓內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過動(dòng)圓與圓外切，且和圓內(nèi)切列出關(guān)于圓心距的式子，通過變形可得雙曲線的方程.【詳解】如圖，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長的雙曲線的右支.因?yàn)?，所?故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故選：D.考點(diǎn)五雙曲線的離心率求雙曲線的離心率20．（2022春·河北唐山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)漸近線得到，得到離心率.【詳解】因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，所以，所以的離心率.故選：C21．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)差法得出，進(jìn)而由離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，，由的中點(diǎn)為，則，由，兩式相減得：=，則==，由直線的斜率，∴，則，雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率為，故選：B．22．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)分別在雙曲線的左?右兩支上，，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.23．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的最小值為9，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性畫出圖形，由雙曲線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，從而得到的最小值為，求出的值，得到雙曲線的離心率．【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，僅作一條漸近線，因?yàn)殡p曲線，，由雙曲線的定義可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，漸近線方程為，即，且，此時(shí)，的最小值為，，，所以離心率，故選：A．24．（2022春·海南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】聯(lián)立與求出，進(jìn)而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進(jìn)一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因?yàn)?所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.25．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，F(xiàn)為C的下焦點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是C的斜率大于0的漸近線，過F作斜率為的直線l交于點(diǎn)A，交x軸的正半軸于點(diǎn)B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分別表示出A、B坐標(biāo)，利用求得，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)镕為雙曲線的下焦點(diǎn)，不妨設(shè)，所以過F作斜率為的直線，所以.因?yàn)槭荂的斜率大于0的漸近線，所以可設(shè).由聯(lián)立解得：.因?yàn)椋?，解得?所以離心率.故選：C求雙曲線離心率的取值范圍26．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，，即，進(jìn)而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的范圍.【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線左支上，所以有，即.由已知得，存在點(diǎn)，使得，即，顯然，所以.又，即當(dāng)點(diǎn)位于圖中位置時(shí)，等號(hào)成立，所以，又，所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，則，則，所以，所以.故選：C.27．（2022春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)，且最小值為，則雙曲線離心率取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別討論經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上和直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上這兩種情況,列出不等式,計(jì)算即可得到范圍．【詳解】①當(dāng)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上,可得雙曲線的通徑最小,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線左支相交于，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為可得,即有，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的長最小，即最小值為②當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上,可得當(dāng)直線的斜率為0時(shí),最小為由①②及題意可得,即為,即有,則離心率.故選:.28．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得，，則其離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，利用向量加法法則知，則即，故①，設(shè)，則，②，由①②得，即，又，所以，即，即，而雙曲線離心率的值大于1，故選：B由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍29．（2018·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知圓錐曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可知為雙曲線，再結(jié)合離心率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】該圓錐曲線是雙曲線方程可化為，∴，解得．故選:A.30．（2022春·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的離心率大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實(shí)軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．【詳解】當(dāng)雙曲線實(shí)軸在軸上時(shí)，，解得，此時(shí)，所以，解得，所以，當(dāng)雙曲線實(shí)軸在軸上時(shí)，，解得，不符合題意.綜上，解得.故選：A．31．（2022春·江蘇連云港·高二?？计谀┰O(shè)k為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定，根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得不等式，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線方程為,可得，故實(shí)半軸，則，由得，則，即k的取值范圍為，故選：A．考點(diǎn)六雙曲線的漸近線32．（2022春·陜西渭南·高二期末）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)雙曲線方程，根據(jù)已知得到，即可得到漸近線的方程.【詳解】由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由已知可得，所以，則，所以.所以，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.33．（2022春·江蘇徐州·高二期末）若雙曲線：，的離心率為，則的兩條漸近線所成的角等于__________.【答案】【分析】根據(jù)離心率與的關(guān)系以及漸近線方程的表達(dá)式即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，傾斜角為，所以兩條漸近線所成的角等于.故答案為:.34．（2022春·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┤綦p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，兩條漸近線互相垂直，則______.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線相互垂直求得的關(guān)系式，結(jié)合求得.【詳解】依題意，由于雙曲線兩條漸近線互相垂直，所以，由于，所以.故答案為：35．（2022春·遼寧葫蘆島·高二興城市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）與雙曲線有共同漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的虛軸的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】依題意，設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求．即可求解.【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，．所求的雙曲線方程為：，即．所以，所以虛軸長為4.故選：D36．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義建立的關(guān)系即可解得答案.【詳解】設(shè)，其中，則焦點(diǎn)到漸近線的距離又因?yàn)?，所以，又，?則在中，有，，.則由余弦定理得則漸近線方程.故選：C37．（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知P是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，P點(diǎn)又在以為圓心，為半徑的圓上，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的面積為 B．雙曲線C的漸近線方程為C．點(diǎn)P到雙曲線C左焦點(diǎn)的距離是 D．雙曲線C的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3【答案】D【分析】由雙曲線方程求得，，的值，繼而求得，判斷C;根據(jù),證明，求得面積，即可判斷；求得雙曲線漸近線方程，判斷；求得曲線C的右焦點(diǎn)到漸近線的距離，判斷D.【詳解】由方程，得，，則，由題意知，，，，則，，則△的面積為，故錯(cuò)誤．的漸近線方程為，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨取漸近線方程，即，則雙曲線C的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故D正確，故選：D考點(diǎn)七直線與雙曲線的位置關(guān)系（一）直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷及應(yīng)用38．（2022春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）若直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】利用雙曲線和雙曲線漸近線的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】直線，即恒過點(diǎn)，又雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)在其中一條漸近線上，又直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線過點(diǎn)且平行于或過點(diǎn)且與雙曲線的右支相切，即滿足條件的直線有條.故選：C39．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎本€，若雙曲線與均無公共點(diǎn)，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線漸近線與之間的位置關(guān)系，即可容易判斷.【詳解】的斜率分別是；對(duì)A：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，A錯(cuò)誤；對(duì)B：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，B錯(cuò)誤；對(duì)C：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與都沒有公共點(diǎn)，滿足題意，C正確；對(duì)D：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與沒有公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，D錯(cuò)誤.故選：C.40．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】利用定義法，分充分性和必要性分類討論即可.【詳解】充分性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”，所以直線與雙曲線相切或直線與漸近線平行.故充分性不滿足；必要性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.故選：B41．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【詳解】由直線與曲線相切得由圖知,的取值范圍是（），選D.42．（2022春·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線的方程為，雙曲線的方程為.若直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，由于直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化簡得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，所以,不妨設(shè)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則,則，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.43．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線l：與曲線C：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意作出曲線C的圖象，作出直線的圖象，平行移動(dòng)直線，即可得到當(dāng)直線l介于與之間時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動(dòng)直線，可得直線l，如圖可知，當(dāng)直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點(diǎn)在第一象限）之間時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．（二）弦長問題44．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可解得，再將直線方程代入雙曲線方程消元，由韋達(dá)定理和弦長公式可得.【詳解】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點(diǎn)，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y可得，，故選：D45．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則弦長為（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】設(shè)出直線，與聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可求出的值，再根據(jù)弦長公式求得弦的長．【詳解】解：雙曲線，則，所以右焦點(diǎn)，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立，化簡得，所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為4，所以，解得，所以，則，則．故選D．46．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，，由得，則，，不妨假設(shè)，則，由圖象的對(duì)稱性可知，可化為，即，解得，故雙曲線方程為：，故選：C47．（2022春·福建福州·高二?？计谥校┰O(shè)，是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出漸近線，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由列方程解出參數(shù)，求出，即可求面積.【詳解】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由得，又，∴的面積.故選：A（三）中點(diǎn)弦問題48．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用“點(diǎn)差法”求出l的斜率，再驗(yàn)證作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C49．（2022秋·河南濮陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的方程（

）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】運(yùn)用代入法、點(diǎn)差法求出直線l的斜率，最后利用直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】解：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，∵線段PQ的中點(diǎn)為(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得，即直線l的斜率為，故直線l的方程為y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故選：C.50．（2022春·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)點(diǎn)差法即可求得的關(guān)系，進(jìn)而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】設(shè)，則由，可得則，即，則則雙曲線的漸近線的斜率為故選：A51．（2022秋·云南大理·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)，，的關(guān)系得出，設(shè)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式相減利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出，再根據(jù)直線過點(diǎn)，求出，即可得出，進(jìn)而求出，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意知：，即①設(shè)，，的中點(diǎn)為，，，又，在雙曲線上，則，兩式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B.52．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點(diǎn)為則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根據(jù)點(diǎn)差法，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入作差即可得解.【詳解】設(shè)代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B．考點(diǎn)八雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題53．（2022春·湖南株洲·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，過左焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦長為1，A、B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB的斜率分別為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出的值，則雙曲線方程為，則，，設(shè)，列出有關(guān)的表達(dá)式，再根據(jù)漸近線方程即可解得其的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，雙曲線方程為，則，，設(shè)，則，，，，根據(jù)漸近線方程知：，即，兩邊同時(shí)倒數(shù)可得：，故．故選：C．54．（2022春·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，若直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且，則k的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義和性質(zhì)得到，由漸近線方程得到漸近線的斜率，當(dāng)時(shí)，利用余弦定理和面積公式，通過面積相等的兩種不同求法，建立關(guān)系，最終求出k的范圍.【詳解】焦點(diǎn)在x上焦點(diǎn)坐標(biāo)為由雙曲線的對(duì)稱性可得又又又而當(dāng)時(shí)，整理得又又的漸近線方程為又k的取值范圍為故選：C55．（2022春·河南鄭州·高二鄭州市回民高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎謩e是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，△和△的內(nèi)心分別為M，N，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓M與△的三邊分別切于點(diǎn)D，P，E(參考解析中的圖)，根據(jù)圓的切線長定理得到相關(guān)線段的相等關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義及線段關(guān)系可得，進(jìn)而確定E的坐標(biāo)，設(shè)并確定其范圍，由及平方關(guān)系、二倍角正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【詳解】設(shè)圓M與△的三邊分別切于點(diǎn)D，P，E，設(shè)E為，如下圖示：由圓的切線性質(zhì)知：，，，由雙曲線的定義知：，即，故，可得，即，故圓M切x軸于雙曲線的右頂點(diǎn)處，同理圓N也切x軸于雙曲線的右頂點(diǎn)處，又，所以，則，設(shè)，易知：，又分別為和的平分線，所以，，，所以，又，所以.故選：A．56．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，，所以==，解得，故選A.考點(diǎn)九雙曲線的定點(diǎn)、定值問題57．（2022秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）雙曲線，過定點(diǎn)的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)______．【答案】【分析】先將直線和雙曲線方程聯(lián)立，然后根據(jù)兩條直線互相垂直，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算列出方程后整理后可知其過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：由題意得：設(shè)的方程為由，得．設(shè)，，則，，又，∴，即，把根與系數(shù)的關(guān)系代入，可得，∴，解得或．當(dāng)時(shí)，直線過，舍去；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)．故答案為：58．（2022春·福建龍巖·高二上杭縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，則直線PA、PB的斜率之積等于___．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)且，根據(jù)斜率公式求出，并且化簡到只有離心率的表達(dá)式.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：所以，設(shè)且即，所以故答案為：59．（2022春·山東濰坊·高二濰坊一中期末）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線l不過P點(diǎn)并與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)【分析】（1）結(jié)合條件和雙曲線定義可得答案.（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與，可得，后通過分解因式可得之間關(guān)系，從而可得l所過定點(diǎn).【詳解】（1）如圖，設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，由題可得圓M半徑為，圓N半徑為則，，所以，由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，又.所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為，.（2）設(shè)直線l的方程為，將直線方程與曲線E方程聯(lián)立，有：，消去x得，由題直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.設(shè)，，其中，，由韋達(dá)定理有：.又，則又，，則，即，又，故或，若，則直線l的方程為，此時(shí)l過點(diǎn)，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，則直線l恒過點(diǎn)60．（2022·全國·高二假期作業(yè)）已知等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，且、的斜率、均存在，證明為定值；(3)已知點(diǎn)，求最小時(shí)的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)，代入求解即可.（2）設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，先表示出斜率公式，利用點(diǎn)差法即可求證.（3）首先利用數(shù)量積得，進(jìn)而得直角最小.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，則有，解得，故雙曲線方程為.（2）由題意可知，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)、、.則，，那么，又因?yàn)?、在曲線上，則，兩式相減整理得，則有.（3）如圖所示：設(shè)、、.則，，，即為直角或鈍角，所以當(dāng)為直角時(shí)最小，此時(shí)，所以.61．（2022春·湖南長沙·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線：的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求曲線的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)M，N在曲線上，已知點(diǎn)，直線PM，PN分別與y軸相交的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)在直線MN上，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由雙曲線過點(diǎn)和離心率為，列方程即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)直線PM，PN與y軸的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）由題意可知：且，解得，故雙曲線方程為：.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若直線PM，PN與y軸的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在軸上，與題意矛盾，因此直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，，，.直線PM，PN分別與y軸相交的兩點(diǎn)為，，∴直線方程為，令，則，同理，可得，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為恒過定點(diǎn)，顯然不可能，∴，直線方程為，恒過定點(diǎn)∵，設(shè)中點(diǎn)為T，∴，∴為定值，∴存在使為定值.考點(diǎn)十雙曲線中的向量問題62．（2022春·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由，可知為直角三角形，利用勾股定理計(jì)算出，又由雙曲線的定義建立，聯(lián)立解的，設(shè)的縱坐標(biāo)為，由等面積法求出即可【詳解】因?yàn)?，所?由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為.設(shè)的縱坐標(biāo)為，則的面積為，解得.所以的縱坐標(biāo)為：故選：C.63．（2022春·江蘇連云港·高二?？计谥校╇p曲線：，已知是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由點(diǎn)在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)槭请p曲線E上一點(diǎn)，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設(shè)，則，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，則直線l的方程為.64．（2022春·四川瀘州·高二?？计谥校┮阎p曲線（，）中，離心率，實(shí)軸長為4(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且在雙曲線存在點(diǎn)，使得，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)離心率以及實(shí)軸長即可求解的值，進(jìn)而可求雙曲線方程，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達(dá)定理，進(jìn)而結(jié)合向量滿足的關(guān)系即可代入求值.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率，實(shí)軸長為4，，解得，因?yàn)樗噪p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）將直線與曲線聯(lián)立得，設(shè)，，則，，設(shè)，由得，即，又因?yàn)?，解得，所以?65．（2022春·遼寧·高二沈陽市第三十一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過F與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，；(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)通徑，直接求得，再結(jié)合離心率為2即可求雙曲線的方程；（2）通過對(duì)轉(zhuǎn)化為，從而簡化計(jì)算，利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，，即，即，解得，，因此；（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，得：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)橹本€與雙曲線右支相交，因此，即，同理可得，依題意，同理可得，，而，代入，，，分離參數(shù)得，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，，所以，綜上可知，的取值范圍為.考點(diǎn)十一雙曲線中的綜合問題66．【多選】（2022春·江蘇·高二江蘇省新海高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：，兩個(gè)焦點(diǎn)記為，下列說法正確的是（

）A．B．漸近線方程為：C．離心率為D．點(diǎn)在雙曲線上且線段的中點(diǎn)為，若，則【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷ABC，再由中位線定理結(jié)合定義判斷D.【詳解】由題意可知，，即漸近線方程為：，，離心率為，故AC正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)位于軸上方時(shí)，由中位線定理可得，，則，故D錯(cuò)誤；故選：AC67．【多選】（2022春·湖北襄陽·高二襄陽五中校考階段練習(xí)）如圖，過雙曲線右支上一點(diǎn)P作雙曲線的切線l分別交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)D，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若存在點(diǎn)P，使，且，則雙曲線C的離心率【答案】BCD【分析】聯(lián)立切線方程與漸近線方程，求出的坐標(biāo)，即可得，由的取值范圍即可得，從而可判斷A，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷是的中點(diǎn)，由此可判斷BC，由余弦定理結(jié)合可判斷D.【詳解】先求雙曲線上一點(diǎn)的切線方程：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱性同理可得）.由，得，所以，則在的切線斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為：又有，化簡即可得切線方程為：.不失一般性，設(shè)是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)，是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn),雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立：，解得：，聯(lián)立：，解得：，則，又因?yàn)?，所以，即，A錯(cuò)誤；由，可知是的中點(diǎn)，所以，B正確；易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，當(dāng)點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，仍然滿足，C正確；因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，則，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以離心率，D正確.故選：BCD68．（2022春·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期中）設(shè)，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H，且l與雙曲線右支相交于點(diǎn)P，若，且，則下列說法正確的是（

）A．到直線l的距離為a B．雙曲線的離心率為C．的外接圓半徑為 D．的面積為9【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，是的中點(diǎn)，因此可得，為△的中位線，可求到直線的距離判斷A選項(xiàng)；利用雙曲線的定義，即可求得，和的值，求得雙曲線的離心率，可判斷B選項(xiàng)；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圓半徑，可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積公式，即可求得△的面積，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】由題意，到準(zhǔn)線的距離，又，∴，如圖過向作垂線，垂足為，由，為中點(diǎn)，則為△的中位線，所以，即是的中點(diǎn)，因?yàn)?，，，，，因此到直線的距離為，故A錯(cuò)誤；在中，，又，得到，解得，，，所以雙曲線的離心率，故B正確；，設(shè)△的外接圓半徑，因此，所以，故C錯(cuò)誤；△的面積．故D錯(cuò)誤.故選：B．69．【多選】（2022春·吉林長春·高二?？计谥校┮阎p曲線過點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)C．曲線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn) D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為1【答案】ACD【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得雙曲線方程，進(jìn)而逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】解：由題意設(shè)雙曲線方程為，∵雙曲線過，，∴雙曲線方程為，故A對(duì)；聯(lián)立消得，故直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)；由得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得，故C對(duì)；由雙曲線的性質(zhì)知交點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為，或者到漸進(jìn)線的距離，故D對(duì)．故選：ACD．70．【多選】（2022·全國·高二假期作業(yè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，且到直線的距離為4，則以下說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．若在雙曲線上，且，則或1C．若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為D．若在雙曲線上，且，則的面積為【答案】AC【分析】由焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為4可得，，可得離心率；即A正確；根據(jù)雙曲線定義即可求得判斷B；根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可知的最小值為雙曲線的通徑可判斷C；根據(jù)雙曲線定義即勾股定理分別計(jì)算出的長，即可的面積從而判斷D.【詳解】由已知可得，到直線的距離為，所以，即離心率為，所以A正確；若在雙曲線右支，由焦半徑公式可知，所以只能在雙曲線左支，故，所以B錯(cuò)誤；若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為雙曲線的通徑，即，故C選項(xiàng)正確；若在雙曲線上，且，設(shè)，不妨設(shè)，由雙曲線定理和勾股定理得：，所以，則的面積為；即D錯(cuò)誤.故選：AC.【【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022春·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等軸雙曲線的方程可設(shè)為，將代入解出即可.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．2．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A;根據(jù)曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據(jù)E的離心率為，分類討論求得m的值，判斷D.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯(cuò)誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時(shí)，，此時(shí)c不確定，故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：B3．（2022春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學(xué)校考期末）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，結(jié)合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.4．（2022春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以．故選：C5．（2022春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知雙曲線：的漸近線方程為，則（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得漸近線方程為：，結(jié)合題意然后根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，令可得：，所以漸近線方程為：，由題意知：雙曲線：的漸近線方程為，所以，故選：B.6．（2022春·安徽合肥·高二?？计谀┲本€與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】已知直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，將直線與雙曲線兩個(gè)方程聯(lián)立，得到的一元二次方程有一正一負(fù)根，即可得出結(jié)論．【詳解】聯(lián)立，消y得，.因?yàn)橹本€與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一正一負(fù)根，所以，整理得，解得.所以的取值范圍為.故選：D．二、多選題7．（2022春·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在雙曲線上，分別是左?右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點(diǎn)到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定