基于數(shù)學(xué)思維解決“雞兔同籠”問題

“雞兔同籠”是我國古代的一道數(shù)學(xué)名題，它以富有創(chuàng)意和趣味性的方式體現(xiàn)了代數(shù)方法的一般性，對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可替代的作用。筆者聚焦“雞兔同籠”問題的教學(xué)，從教材編排和教學(xué)策略兩方面進(jìn)行分析和闡釋。一、現(xiàn)行多版本教材相關(guān)內(nèi)容編排的差異目前，“雞兔同籠”問題在不同版本教材中存在著編排年級(jí)不同、例題表達(dá)不同、呈現(xiàn)的解決方法不同等差異。這一內(nèi)容在教材編排中的年級(jí)跨度很大，最早安排在滬教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊教材中，最晚安排在蘇教版、青島版、西師大版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊教材中。盡管內(nèi)容編排在年級(jí)上跨度很大，但這類問題在不同版本教材中的呈現(xiàn)方式、解決方法是符合特定學(xué)段要求和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的：第一學(xué)段主要讓學(xué)生通過畫圖和列舉，解決數(shù)值較小的“雞兔同籠”問題，初步感知生活中有很多類似的問題；第二學(xué)段引導(dǎo)學(xué)生解決“雞兔同籠”問題及其變式題，掌握解決這一類問題的方法，提升用數(shù)學(xué)的方法解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)；第三學(xué)段重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型。各個(gè)學(xué)段都用到了多種方法，關(guān)注了方法之間的有機(jī)融合。具體內(nèi)容梳理如左下方表格所示。二、教學(xué)“雞兔同籠”問題的策略1.用數(shù)學(xué)思維思考“眼前問題”人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊“雞兔同籠”問題（例1）如下：“籠子里有若干只雞。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？”大部分學(xué)生看完題目后會(huì)猜測有4只雞、4只兔，并用“4×2＋4×4=24”計(jì)算出總腳數(shù)。這個(gè)答案非常接近題目中的26只，我們只需要微調(diào)雞和兔的只數(shù)即可找到答案。因?yàn)?4只腳比題目要求的26只腳少，所以需要將兔的數(shù)量增多，雞的數(shù)量減少。學(xué)生再次猜測有3只雞、5只兔，并用“3×2+5×4=26”計(jì)算出總腳數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，是否還有別的答案符合題目要求。學(xué)生發(fā)現(xiàn)猜測法在這里不適用了。教師提示學(xué)生嘗試新思路，用列表法逐一列出如下數(shù)據(jù)。假設(shè)有8只兔（表第二列），則腳的數(shù)量為“8×4=32”只?！?2-26=6”只，多6只腳說明兔多了、雞少了。每只兔比雞多2只腳，所以“6÷（4-2）=3”只。這3只就是雞的數(shù)量?；蛘呒僭O(shè)有8只雞（表最后一列），則腳的數(shù)量為“8×2=16”只?！?6-16=10”只，少10只腳說明雞多了、兔少了。每只兔比雞多2只腳，所以“10÷（4-2）=5”只。這5只就是雞的數(shù)量。學(xué)生從表中可知，只有“3只雞、5只兔”這一種答案符合題意。這樣教學(xué)，讓學(xué)生通過不斷假設(shè)、比較、推理、調(diào)整的過程發(fā)現(xiàn)應(yīng)用列表法解決問題的規(guī)律，積累猜測和推理的經(jīng)驗(yàn)，并在一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下學(xué)會(huì)了有序思考，理清了用假設(shè)法解決問題的思路。2.用數(shù)學(xué)眼光看待“核心問題”利用列表法、假設(shè)法得出答案后，教師提出“為什么是雞兔同籠而不是雞鴨同籠？”的問題，學(xué)生對此感到迷惑。經(jīng)過教師引導(dǎo)，他們發(fā)現(xiàn)雞鴨都是一個(gè)頭、2只腳，“雞鴨同籠”相當(dāng)于“雞雞同籠”，無法通過頭和腳的數(shù)量來判斷各自的只數(shù)，而“雞兔同籠”則避免了這個(gè)問題?！半u兔同籠”會(huì)出現(xiàn)兩種情況。第一種：已知頭數(shù)，求腳數(shù)。①籠子里有8只雞，共有多少只腳？（8×2=16只）②籠子里有8只兔，共有多少只腳？（8×4=32只）③雞兔同籠，共有8個(gè)頭，共有多少只腳？（不能確定）這3點(diǎn)共同說明：頭數(shù)確定了，對應(yīng)的總腳數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如籠中共有8個(gè)頭時(shí)，總腳數(shù)在16～32之間，即：已知總頭數(shù)時(shí)，總腳數(shù)在全是雞、全是兔的腳數(shù)之間。同時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)：籠中的雞每增加1只，兔就會(huì)減少1只，總腳數(shù)就會(huì)減少2只；反之，籠中的雞每減少1只，兔就會(huì)增加1只，總腳數(shù)就會(huì)增加2只。第二種：已知腳數(shù)，求頭數(shù)。①籠子里關(guān)著雞，共有28只腳，一共有幾只雞？（28÷2=14只）②籠子里關(guān)著兔，共有28只腳，一共有幾只兔？（28÷4=7只）③雞兔同籠，共有28只腳，籠子里的雞和兔各有幾只？（不能確定）這3點(diǎn)共同說明：當(dāng)籠子里只有雞或兔時(shí)，告訴我們腳數(shù)，馬上就能求出頭數(shù)；當(dāng)雞兔同籠時(shí)，告訴我們共有28只腳，不能馬上確定雞與兔的只數(shù)。但能分析出總頭數(shù)在7～14之間，即已知總腳數(shù)時(shí)，總頭數(shù)在全是雞、全是兔的頭數(shù)之間。同時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)：籠中的兔每增加1只，需要2只雞來補(bǔ)充，雞和兔的總只數(shù)就會(huì)減少1只；反之，籠中的兔每減少1只，就會(huì)多出2只雞，總只數(shù)就會(huì)增加1只。有了前面的分析做基礎(chǔ)，學(xué)生再看到這樣的題目時(shí)就不會(huì)急著從方法入手尋求答案了，而是會(huì)先通過分析數(shù)據(jù)得知：共有8個(gè)頭時(shí)，總腳數(shù)在16～32之間；總腳數(shù)是28只，大于中間數(shù)24，說明籠中兔多雞少。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，雞和兔關(guān)在一起與籠中只有一種動(dòng)物的情境相比，前者是不確定的，后者是確定的，而假設(shè)法能把不確定的信息轉(zhuǎn)化為確定信息，以達(dá)到解題目的。3.用數(shù)學(xué)語言表達(dá)“延伸問題”當(dāng)學(xué)生理解了利用雞腳與兔腳的差異性建立的“雞兔同籠”模型，就可以解決相關(guān)的延伸問題。如：在一次軍事演習(xí)中，紅方準(zhǔn)備將一個(gè)秘密信息設(shè)置為“56”送到司令部，如果派遣信使直接將該信息送過去，存在被藍(lán)方抓獲從而泄露信息的危險(xiǎn)，請你設(shè)計(jì)一種方案，該方案要滿足兩個(gè)條件：第一，如果信使沒有被抓，則紅方司令部能順利得到“56”這個(gè)信息；第二，如果信使被抓，則藍(lán)方得不到“56”這個(gè)信息。這個(gè)問題乍一看和“雞兔同籠”問題不相關(guān)，但實(shí)際上能用“雞兔同籠”模型來解決。教師可引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字看作雞的只數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字看作兔的只數(shù)，在此基礎(chǔ)上分析題目。紅方可以派出2名信使，信使A向司令部派送的信息“11”是兩種動(dòng)物頭的數(shù)量，信使B向司令部派送的信息“34”是兩種動(dòng)物腳的數(shù)量。紅方司令部在接收到信使A和信使B派送的信息后，利用假設(shè)法可以得到雞和兔的只數(shù)