數字信號處理-第一章

緒論數字信號處理的對象是數字信號.數字信號處理是采用數值計算的方法完成對信號的處理.數字信號處理的特點靈活性高精度和高穩(wěn)定性便于大規(guī)模集成可以實現(xiàn)模擬系統(tǒng)無法實現(xiàn)的諸多功能第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)掌握常見時域離散信號的表示及運算。掌握時域離散系統(tǒng)的線性、時不變性、因果性及穩(wěn)定性的含義及判別方法。掌握采樣定理。1.1引言信號的定義：

載有信息的，隨時間變化的物理量或物理現(xiàn)象。信號的分類：

時域連續(xù)信號

模擬信號

時域離散信號

數字信號系統(tǒng)分類：時域連續(xù)系統(tǒng)模擬系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)數字系統(tǒng)一．單位階躍信號單位階躍信號的定義為延時的單位階躍信號二．單位沖激信號單位沖激信號的狄拉克(Dirac)定義從下面三點來理解沖激信號(1)除了之外取值處處為零；(2)在處為無窮大；(3)在包含出現(xiàn)的位置的任意區(qū)間范圍內面積為1。二．單位沖激信號延時的單位沖激信號沖激信號可以由滿足下面條件的一些脈沖信號極限得到脈沖信號是偶函數；脈沖寬度逐漸變小，直至無窮小；脈沖高度逐漸變大，直至無窮大；脈沖面積一直保持為1。二、沖激函數的性質（1）抽樣性（2）奇偶性

（3）比例性（4）卷積性質三、抽樣信號(SamplingSignal)

性質：①②③④⑤偶函數四．沖激響應1．定義

系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。說明:在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的

激勵看響應，不同，說明其系統(tǒng)特性

不同，沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性。稱為的卷積積分，簡稱卷積，記為設有兩個函數，積分五、卷積（Convolution）主要利用卷積來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。1.2時域離散信號離散時間信號（序列）只在離散時刻給出函數值，是時間上不連續(xù)的序列。實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進行等間隔采樣便可以得到時域離散信號。假設模擬信號為xa(t)，以采樣間隔T對它進行等間隔采樣，得到：注意：n為整數思考：序列的表示方法有哪些？一、典型序列1．單位采樣序列δ(n)單位采樣序列的作用：表示任意序列例1.寫出圖示序列的表達式2、單位階躍序列u(n)令n-k=m3．矩形序列RN(n)

4．實指數序列5．正弦序列6．復指數序列7．周期序列定義： 如果對所有n存在一個最小的正整數N，使下面等式成立：則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。特殊情況：正弦信號的周期例2、求下列周期二、序列的運算1．加法和乘法

序列之間的加法和乘法，是指同一時刻的序列值逐項對應相加和相乘。2．移位

移位序列x(n－n0)，當n0>0時,稱為x(n)的延時序列；當n0<0時，稱為x(n)的超前序列。例3已知x(n)波形，畫出x(n-2)及x(n+2)波形圖。3.翻轉以縱軸為對稱翻轉。例4、已知x(n)波形，畫出x(-n)的波形圖。4.尺度變換（抽取和零值插入） 抽?。簒(Dn)是x(n)序列每連續(xù)D點取一點形成的序列，D為正整數。 零值插入：x[(1/C)n]表示把序列的兩個相鄰抽樣值之間插入C-1個零值，C為正整數。例5、已知x(n)波形，畫出x(2n)及x(n/2)波形圖。思考：x(3n)及x(n/3)呢？5.卷積和定義：計算方法：（1）圖示法（圖解法）：換元->反轉->平移->相乘->求和（2）列表法（3）解析法卷積和性質：代數運算性質（交換律、結合律、分配律）延遲性質典型信號的卷積例：求解：1.翻褶.以m=0為對稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對應序號相乘，相加得y(0)；2.位移一個單元，對應序號相乘，相加得y(1)；3.重復步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m以m為自變量畫出x(m),h(m)012m1h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對應相乘，逐個相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/21.3時域離散系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)

系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即例7、判斷y(n)=ax(n)+b(a和b是常數）所代表系統(tǒng)的線性性質。二、時不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對輸入信號的運算關系T［·］在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應與信號加于系統(tǒng)的時間無關，則這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)，用公式表示如下：例8、判斷y(n)=nx(n)代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。三、LTI系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系單位脈沖響應LTI系統(tǒng)的輸出解釋：LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的級聯(lián)：系統(tǒng)的并聯(lián)：四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：當且僅當信號激勵系統(tǒng)時，才產生響應的系統(tǒng)，也稱為不超前響應系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件：判斷一個系統(tǒng)是否為因果，有兩種方法。定義法和充要條件，后者只對LTI系統(tǒng)有效。

穩(wěn)定性：有界輸入（指幅度有界）

，有界輸出LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的單位脈沖響應絕對可和，即例9、設LTI系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法——線性常系數差分方程

N階線性常系數差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bj均為常數.

線性常系數差分方程的求解經典解法（實際中很少采用）遞推解法（方法簡單，但只能得到數值解，不易直接得到公式解）變換域法（Z域求解，方法簡便有效）遞推解法例10、設因果系統(tǒng)用差分方程

y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入x(n)=δ(n)若初始條件y(-1)=0，求輸出序列y(n)。若初始條件改為y(-1)=1，求y(n)例11、設差分方程如下，求輸出序列y(n)。

非因果系統(tǒng)結論差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進行限制。一個線性常系數差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性時不變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。課堂練習1、以下序列是LTI系統(tǒng)的單位序列響應h(n)，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。答案（1）非因果、穩(wěn)定（2）非因果、不穩(wěn)定。課堂練習課堂練習3、判斷題：一個系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是，單位序列響應h(n)是因果序列。答案：錯課堂練習4、將序列x(n)用一組幅度加權和延遲的沖激序列的和來表示。

5、判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。

(1)(2)解：（1）因為ω=

π,所以,這是有理數，因此是周期序列，周期T=14。（2）因為ω=

,所以=16π,這是無理數，因此是非周期序列。課堂練習

6、設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下幾種情況，分別求輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}課堂練習頻譜分析：把信號表示為不同頻率正弦分量或復指數分量的加權和，簡稱信號的譜分析。傅立葉分析：用頻譜分析的觀點來分析系統(tǒng)，或稱為系統(tǒng)的頻域分析。頻域分析法在系統(tǒng)分析中極其重要，主要是因為：(1)頻域分析法易推廣到復頻域分析法，同時可以將兩者統(tǒng)一起來；(2)利用信號頻譜的概念便于說明和分析信號失真、濾波、調制等許多實際問題，并可獲得清晰的物理概念；(3)連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析為離散時間系統(tǒng)的頻域分析奠定堅實基礎。

(4)簡化了求解微分方程的過程傅立葉分析周期信號，周期為，角頻率該信號可以展開為下式復指數形式的傅立葉級數。復指數形式的傅立葉級數其中(一)周期信號的傅立葉級數式中稱為傅立葉系數，是復數。例：

將圖示周期矩形脈沖信號展成指數形式傅立葉級數解：直接代入公式有所以(一)周期信號的傅立葉級數1.周期信號的頻譜為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。(二)周期信號的頻譜在傅立葉分析中，把各個分量的幅度隨頻率或角頻率的變化稱為信號的幅度譜。而把各個分量的相位隨頻率或角頻率的變化稱為信號的相位譜。幅度譜和相位譜通稱為信號的頻譜。三角形式的傅立葉級數頻率為非負的，對應的頻譜一般稱為單邊譜，指數形式的傅立葉級數頻率為整個實軸，所以稱為雙邊譜。頻譜圖：若把相位為零的分量的幅度看作正值，把相位為±π的分量的幅度看作負值，那么幅度譜和相位譜可合二為一。幅度譜相位譜(二)周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號的傅立葉系數為

對周期信號，如果令T趨于無窮大，則周期信號將經過無窮大的間隔才重復出現(xiàn)，周期信號因此變?yōu)榉侵芷谛盘?從傅立葉級數到傅立葉變換

當T增加時，基波頻率變小、離散譜線變密，頻譜幅度變小，但頻譜的形狀保持不變。在極限情況下，周期T為無窮大，其譜線間隔與幅度將會趨于無窮小。這樣，原來由許多譜線組成的周期信號的離散頻譜就會聯(lián)成一片，形成非周期信號的連續(xù)頻譜。上兩式稱為傅立葉變換對，采用下列記號：傅立葉正變換傅立葉反變換(三)傅立葉變換矩形脈沖信號典型信號的傅立葉變換時域卷積性質若則頻域卷積性質（四）傅里葉變換的性質1.5模擬信號數字處理方法采樣定理；采樣前的模擬信號和采樣后得到的采樣信號之間的頻譜關系；

如何由采樣信號恢復成原來的模擬信號；

實際中如何將時域離散信號恢復成模擬信號。什么是信號抽樣為什么進行信號抽樣(1)信號穩(wěn)定性好:

數據用二進制表示，受外界影響小。(4)系統(tǒng)精度高:

可通過增加字長提高系統(tǒng)的精度。(5)系統(tǒng)靈活性強:

改變系統(tǒng)的系數使系統(tǒng)完成不同功能。(2)信號可靠性高:

存儲無損耗，傳輸抗干擾。離散信號與系統(tǒng)的主要優(yōu)點：(3)信號處理簡便:

信號壓縮，信號編碼，信號加密等對模擬信號進行采樣可以看做一個模擬信號通過一個電子開關S。實際抽樣電子開關合上時間τ→0，則形成理想采樣理想抽樣理想采樣設

對進行傅里葉變換，得到

的傅里葉變換......0Tt理想采樣采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜以Ωs為周期，進行周期性延拓而成的，且頻譜幅度為1/T。信號時域的離散化導致其頻域的周期化采樣信號頻譜頻譜混疊采樣信號的恢復采樣信號的恢復采樣信號的恢復

低通濾波器G(jΩ）的單位沖激響應g(t)為：采樣信號的恢復采樣信號的恢復奈奎斯特采樣定理對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進行周期性延拓形成的。設連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號通過一個增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復出原連續(xù)信號xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會造成采樣信號的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復原連續(xù)信號。抽樣定理的工程應用許多實際工程信號不滿足帶限條件抗混低通濾波器混疊誤差與截斷誤差比較抽樣定理的工程應用重要公式課堂練習7、設LTI系統(tǒng)由下面差分方程描述：設系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應。解：令x(n)=δ(n),則n=0時，n=1時，n=2時，

n=3時，所以8、數字信號是指__________的信號。

時間幅度都離散的

9、若用單位序列及其移位加權和表示x(n)=___________________