信號與系統(tǒng)-第1章-信號與系統(tǒng)的基本概念

信號與系統(tǒng)第1章信號與系統(tǒng)的基本概念信號的描述及分類1.1信號的運算1.2系統(tǒng)的數(shù)學模型及其分類1.3線性時不變系統(tǒng)分析方法概述1.5系統(tǒng)的模擬1.41.1信號的描述及其分類1.1.1信號及其描述什么是信號（signal）？廣義地說，信號是隨時間變化的某種物理量。在通信技術中，一般將語言、文字、圖像或數(shù)據(jù)等統(tǒng)稱為消息（message）。在消息中包含有一定數(shù)量的信息（information）。但是，信息的傳送一般都不是直接的，它必須借助于一定形式的信號（光信號、聲信號、電信號等），才能遠距離快速傳輸和進行各種處理。因而，信號是消息的表現(xiàn)形式，它是通信傳輸?shù)目陀^對象，而消息則是信號的具體內(nèi)容，它蘊藏在信號之中。本課程將只討論應用廣泛的電信號，它通常是隨時間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由于信號是隨時間而變化的，在數(shù)學上可以用時間t的函數(shù)f(t)來表示，因此，“信號”與“函數(shù)”兩個名詞常常通用。信號的特性可以從兩個方面來描述，即時間特性和頻率特性。信號可寫成數(shù)學表達式，即是時間t的函數(shù)，它具有一定的波形，因而表現(xiàn)出一定波形的時間特性，如出現(xiàn)時間的先后、持續(xù)時間的長短、重復周期的大小及隨時間變化的快慢等。另一方面，任意信號在一定條件下總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成份，因而表現(xiàn)為一定波形的頻率特性，如含有大小不同頻率分量、主要頻率分量占有不同的范圍等。

信號的形式所以不同，就因為它們各自有不同的時間特性和頻率特性，而信號的時間特性和頻率特性有著對應的關系，不同的時間特性將導致不同的頻率特性的出現(xiàn)。

1.1.2信號的分類對于各種信號，可以從不同的角度進行分類。

1．確定信號和隨機信號 按時間函數(shù)的確定性劃分，信號可分為確定信號和隨機信號兩類。

確定信號（determinatesignal）是指一個可以表示為確定的時間函數(shù)的信號。對于指定的某一時刻，信號有確定的值。如我們熟知的正弦信號、周期脈沖信號等。隨機信號（randomsignal）則與之不同，它不是一個確定的時間函數(shù)，通常只知道它取某一數(shù)值的概率，如噪音信號等。

實際傳輸?shù)男盘枎缀醵季哂胁豢深A知的不確定性，因而都是隨機信號。如，通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘枎в胁淮_定性，接收者在收到所傳送的消息之前，對信息源所發(fā)出的消息是不知道的，否則，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意義。另外，信號在傳輸過程中難免受各種干擾和噪聲的影響，將使信號產(chǎn)生失真。所以，一般的通信信號都是隨機信號。但是，在一定條件下，隨機信號也表現(xiàn)出某些確定性，通常把在較長時間內(nèi)比較確定的隨機信號，近似地看成確定信號，以使分析簡化。2．連續(xù)信號和離散信號按照函數(shù)時間取值的連續(xù)性劃分，確定信號可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號，簡稱連續(xù)信號和離散信號。

連續(xù)信號（continuoussignal）是指在所討論的時間內(nèi)，對任意時刻值除若干個不連續(xù)點外都有定義的信號，通常用f(t)表示。

離散信號（discretesignal）是指只在某些不連續(xù)規(guī)定的時刻有定義，而在其它時刻沒有定義的信號。通常用f(tk)或f(kT)[簡寫f(k)]表示，如圖1.1-2所示。圖中信號f(tk)只在t

k=－2,－1,0,1,2,3,…等離散時刻才給出函數(shù)值。

3.周期信號和非周期信號按信號（函數(shù)）的周期性劃分，確定信號又可以分為周期信號與非周期信號。周期信號（periodicsignal）是指一個每隔一定時間T，周而復始且無始無終的信號，它們的表達式可寫為

f(t)=f(t+n

T) n=0,1,2,…

滿足此關系式的最小T值稱為信號的周期。只要給出此信號在任一周期內(nèi)的變化過程，便可確知它在任一時刻的數(shù)值。非周期信號（aperiodicsignal）在時間上不具有周而復始的特性。非周期信號也可以看作為一個周期T趨于無窮大時的周期信號。

4．

能量信號與功率信號信號按時間函數(shù)的可積性劃分，可以分為能量信號，功率信號和非功非能信號。

信號可看作是隨時間變化的電壓或電流，信號f(t)在1歐姆的電阻上的瞬時功率為

|f(t)|2

，在時間區(qū)間所消耗的總能量定義為：（1.1-1）其平均功率定義為：（1.1-2）上兩式中，被積函數(shù)都是f(t)的絕對值平方，所以信號能量E和信號功率P都是非負實數(shù)。若信號f(t)的能量0<E<,此時P=0，則稱此信號為能量有限信號，簡稱能量信號（energysignal）。若信號f(t)的功率0<P<,此時E=，則稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號（powersignal）。信號f(t)可以是一個既非功率信號，又非能量信號，如單位斜坡信號就是一個例子。但一個信號不可能同時既是功率信號，又是能量信號。一般說來周期信號都是功率信號，非周期信號或者是能量信號，或者是功率信號，或者既非能量信號又非功率信號。屬于能量信號的非周期信號稱為脈沖信號，它在有限時間范圍內(nèi)有一定的數(shù)值。

1.1.3典型連續(xù)信號下面給出一些典型連續(xù)信號的表達式和波形，我們今后會經(jīng)常遇到它們。典型離散信號的表達式及波形將在第五章中討論。1．單位階躍信號（unitstepsignal）單位階躍信號的定義為：（1.1-3）其波形在躍變點t=0處，函數(shù)值未定。若單位階躍信號躍變點在t=t0處，則稱其為延遲單位階躍函數(shù)。2.單位沖激信號（unitimpulsesignal）單位沖激信號

(t)是一個特殊信號，它不是用普通的函數(shù)來定義。它的工程定義如式（1.1-5）描述。這個定義由狄拉克(P.A.M.Dirac)提出，故又稱狄拉克函數(shù)。它除在原點以外，處處為零，并且具有單位面積值。直觀地看，這一函數(shù)可以設想為一列窄脈沖的極限。如一個矩形脈沖。即和3.

復指數(shù)信號（complexexponentialsignal）為復數(shù)，稱復頻率。由于復指數(shù)信號能概括多種情況，所以可利用它來描述多種基本信號，如直流信號、指數(shù)信號、等幅、增幅或減幅正弦或余弦信號，因此，它是信號與系統(tǒng)分析中經(jīng)常遇到的重要信號。

上面我們介紹了幾種最基本的信號，接著來介紹有關信號的各種運算。1.2信號的運算1.2.1信號的相加與相乘

兩個信號相加（相乘）可得到一個新的信號，它在任意時刻的值等于兩個信號在該時刻的值之和（積）。信號相加與相乘運算可以通過信號的波形(或信號的表達式)進行。1.2.2信號的導數(shù)與積分信號f(t)的導數(shù)是指或記作f‘(t)，從波形看，它表示信號值隨時間變化的變化率。當f(t)含有不連續(xù)點時，由于引入了沖激函數(shù)的概念，f(t)在這些不連續(xù)點上仍有導數(shù)，出現(xiàn)沖激，其強度為原函數(shù)在該處的跳變量。信號f(t)的積分是指或記作f

(-1)(t)，從波形看，它在任意時刻t的值為從－到t區(qū)間，f(t)與時間軸所包圍的面積。1.2.3信號的時移和折疊信號f（t）時移(t0>0)，就是將f（t）表達式中所有自變量t用t替換,成為。

信號f(t)的折疊就是將f(t)表達式以及定義域中的變量t用–t替換，成為f(-t)。1.2.4信號的尺度變換尺度變換就是把信號f(t)以及定義域中自變量t用at去置換，成為f(at)。

1.3系統(tǒng)的數(shù)學模型及其分類1.3.1系統(tǒng)的概念

什么是系統(tǒng)（system）？廣義地說，系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。例如，通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、計算機網(wǎng)絡系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、水利灌溉系統(tǒng)等。通常將施加于系統(tǒng)的作用稱為系統(tǒng)的輸入激勵；而將要求系統(tǒng)完成的功能稱為系統(tǒng)的輸出響應。1.3.2系統(tǒng)的數(shù)學模型

分析一個實際系統(tǒng)，首先要對實際系統(tǒng)建立數(shù)學模型，在數(shù)學模型的基礎上，再根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入激勵，運用數(shù)學方法求其解答，最后又回到實際系統(tǒng)，對結果作出物理解釋，并賦予物理意義。所謂系統(tǒng)的模型是指系統(tǒng)物理特性的抽象，以數(shù)學表達式或具有理想特性的符號圖形來表征系統(tǒng)特性。系統(tǒng)模型的建立是有一定條件的，對于同一物理系統(tǒng)，在不同條件下可以得到不同形式的數(shù)學模型。另一方面，對于不同的物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學模型。1.3.3系統(tǒng)的分類

系統(tǒng)的分類比較復雜，我們主要考慮其數(shù)學模型的差異來劃分不同的類型。

1.連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)

輸入和輸出均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時間信號的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)。模擬通信系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，而數(shù)字計算機就是離散時間系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，而離散時間系統(tǒng)則用差分方程來描述。2．

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng)。所謂線性特性（linearity）系指齊次性與疊加性。若系統(tǒng)輸入增加k倍，輸出也增加k倍，這就是齊次性（homogeneity）。若有幾個輸入同時作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)總的輸出等于每一個輸入單獨作用所引起的輸出之和，這就是疊加性（superpositionProperty）。系統(tǒng)同時具有齊次性和疊加性便呈現(xiàn)線性特性。一個系統(tǒng)的輸出不僅與輸入有關，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。設具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)加入激勵時的總響應為y(t)；僅有激勵而初始狀態(tài)為零的響應為y

zs(t)，稱為零狀態(tài)響應；僅有初始狀態(tài)而激勵為零時的響應為y

zi(t)，稱為零輸入響應。若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸入激勵，則對于線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，其輸出總響應必然是每個輸入單獨作用時相應輸出的疊加。因此，一般線性系統(tǒng)必須具有：

a.

分解性（decompositionproperty）：即y(t)=y

zs(t)+y

zi(t)（1.3-6）b．零輸入線性——當系統(tǒng)有多個初始狀態(tài)時，零輸入響應對每個初始狀態(tài)呈線性。

c．零狀態(tài)線性——當系統(tǒng)有多個輸入時，零狀態(tài)響應對每個輸入呈線性。凡不具備上述特性的系統(tǒng)則稱為非線性系統(tǒng)。3.時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)只要初始狀態(tài)不變，系統(tǒng)的輸出僅取決于輸入而與輸入的起始作用時刻無關，這種特性稱為時不變性。具有時不變特性的系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)（timeinvariantsystem）。不具有時不變特性的系統(tǒng)為時變系統(tǒng)（timevaryingsystem）。對時不變系統(tǒng)，如果激勵是x(t)，系統(tǒng)產(chǎn)生的響應是y(t)，當激勵延遲一段時間td為x(t–td)，則系統(tǒng)的響應也同樣延遲td時間為y(t–td)，其波形形狀不變。公式化地表示為：若 x(t)y(t)則x(t–td)y(t–td)(1.3-7)系統(tǒng)的線性和時不變性是兩個不同的概念，線性系統(tǒng)可以是時不變的，也可以是時變的，非線性系統(tǒng)也是如此。本課程只討論線性時不變（LTI）系統(tǒng)，簡稱線性系統(tǒng)。線性時不變連續(xù)（離散）系統(tǒng)的數(shù)學模型為常系數(shù)微分（差分）方程。4.因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)（Causalsystem）是響應不會超前激勵的系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)（noncausalsystem）是響應能領先于激勵的系統(tǒng)。

1.4系統(tǒng)的模擬如前所述，把一個實際系統(tǒng)抽象為數(shù)學模型，便于用數(shù)學方法進行分析。另外，還可借助簡單而易于實現(xiàn)的物理裝置，用實驗的方法來觀察和研究系統(tǒng)參數(shù)和輸入信號對于系統(tǒng)響應的影響。此時，需要對系統(tǒng)進行實驗模擬。系統(tǒng)模擬（systemsimulation）不需要仿制實際系統(tǒng)，而只需在數(shù)學意義上的等效，使模擬系統(tǒng)與實際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學表達式。1.4.1基本運算器連續(xù)系統(tǒng)的模擬一般需要三種基本的運算器：加法器、標量乘法器和積分器。模擬一個系統(tǒng)的微分方程不用微分器而用積分器，這是因為積分器對信號起“平滑”作用，甚至對短時間內(nèi)信號的劇烈變化也不敏感，而微分器將會使信號的噪聲大大增加，因而使用較少，顯然積分器的抗干擾性能比微分器好，運算精度高。1.4.2連續(xù)系統(tǒng)的模擬圖對于連續(xù)的線性時不變系統(tǒng)，可用線性常系數(shù)微分方程來描述，根據(jù)微分方程可作出相應的模擬圖。構成系統(tǒng)模擬圖的規(guī)則如下：(1)把微分方程輸出函數(shù)的最高導數(shù)項保留在等式左邊，把其它各項移到等式右邊。(2)將最高階導數(shù)作為第一個積分器的輸入，其輸出作為第二個積分器的輸入，以后每經(jīng)過一個積分器，輸出函數(shù)的導數(shù)階數(shù)就降低一階，直到獲得輸出函數(shù)為止。(3)把各個階數(shù)降低了的導數(shù)及輸出函數(shù)分別通過各自的標量乘法器，一齊送到第一個積分器前的加法器與輸入函數(shù)相加，加法器的輸出就是最高階導數(shù)。這就構成了一個完整的模擬圖?，F(xiàn)在考慮更一般的情況，即微分方程右邊含有輸入函數(shù)導數(shù)的情況。例如，二階微分方程(1.4-8)則引入輔助函數(shù)，使代入原方程由此可見完整的二階系統(tǒng)模擬圖：根據(jù)系統(tǒng)模擬圖列寫微分方程的一般步驟：（1）選中間變量q(t)。設系統(tǒng)最右端積分器的輸出為q(t)；

（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變量q(t)，可得微分方程。

以上介紹了連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬方法，關于離散時間系統(tǒng)的模擬將在第五章中介紹。它們的S域(復頻域)或Z域模擬將在第六章中介紹。1.5線性時不變系統(tǒng)分析方法概述在系統(tǒng)分析中，線性時不變系統(tǒng)分析具有重要意義。這是因為：一方面，實際工作的多數(shù)系統(tǒng)在指定條件下可被近似為線性時不變系統(tǒng)；另一方面，線性時不變系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)比較成熟，形成了較為完善的體系。而非線性系統(tǒng)與時變系統(tǒng)的分析雖然已經(jīng)發(fā)展了一些實用方法，但作為普通的理論，至今尚未達到成熟的階段。

分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后再進一步求得系統(tǒng)數(shù)學模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學描述方法可分兩類：輸入-輸出描述法狀態(tài)變量描述法

輸入-輸出描述法著眼于系統(tǒng)激勵與響應的關系，并不涉及系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況。因而，這種方法對于單輸入、單輸出系統(tǒng)較為方便。一般而言，描述線性時不變系統(tǒng)的輸入-輸出關系，對連續(xù)系統(tǒng)是常系數(shù)線性微分方程，對離散系統(tǒng)是常系數(shù)線性差分方程。

狀態(tài)變量描述法不僅可以給出系統(tǒng)的響應，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變量的情況，特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)。用這種方法建立的數(shù)