數(shù)學(xué)素材：空間幾何體

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精教材習(xí)題點(diǎn)撥練習(xí)A1．答：通常把直尺放在一個(gè)面的各個(gè)方向上，看看直尺的邊緣與這個(gè)面有沒(méi)有空隙,如果不出現(xiàn)空隙就可以判斷這個(gè)物體表面是平的．2．略．3．解：例如兩條交叉走向的立交橋所在的直線(xiàn)．4．（1)對(duì)；(2）不對(duì)；（3）不對(duì)．練習(xí)B解：如圖所示．練習(xí)A1．略．2．矩形3．長(zhǎng)方體是四棱柱,直四棱柱不一定是長(zhǎng)方體,如底面是梯形的直四棱柱就不是長(zhǎng)方體．4．答案不唯一，如圖所示．沿虛線(xiàn)折起即可構(gòu)成正方體．練習(xí)B1．直四棱柱2．A?B?C?D思考與討論答：觀察所給多面體能否還原成棱錐，若能則它是棱臺(tái),否則它不是棱臺(tái)．練習(xí)A1．略．2．不一定3．是相交于一點(diǎn),因?yàn)槔馀_(tái)可看作由棱錐截得的．練習(xí)B1．如圖所示．2．都是直角三角形提示：本題考查識(shí)圖能力，并記住△SOA，△SOB，△SOC，△SOD都是直角三角形，這些三角形在今后學(xué)習(xí)中會(huì)不斷地運(yùn)用．3．(1）eq\r（178）；（2）11eq\r(57)；（3)228。4．解：如圖中的正三棱臺(tái)ABCA′B′C′，其中OO′為高，過(guò)A′作A′D⊥OA于D，則OO′＝A′D。在△ABC中可求得AO＝eq\f（5,3)eq\r（3）(cm)．在△A′B′C′中可求得A′O′＝eq\f（2，3)eq\r(3）（cm)．∴AD＝AO－A′O′＝eq\r（3）（cm）．又AA′＝5(cm），∴A′D＝eq\r（AA′2－AD2）＝eq\r(25－3）＝eq\r（22）(cm），即棱臺(tái)的高為eq\r（22)cm.探索與研究解答:(1)平行于底面的截面，圖形都是圓．（2）過(guò)軸的截面，對(duì)于圓柱是矩形,對(duì)于圓錐是等腰三角形，對(duì)于圓臺(tái)是等腰梯形．(3）圓柱的上底面變小，就變?yōu)閳A臺(tái)，當(dāng)上底面變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)時(shí)，它就變成了圓錐．圓臺(tái)是由圓錐截得的，“還臺(tái)為錐”不失為解決圓臺(tái)問(wèn)題的很好的辦法．練習(xí)A1．略．2．它是一個(gè)矩形，其長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，寬為圓柱的高．3．任意一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，它的半徑為圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng),扇形的弧長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)；任意一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)，如圖所示，其中AB,A1B1，A′B′的長(zhǎng)為圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，的長(zhǎng)度為⊙O′的周長(zhǎng),的長(zhǎng)度為⊙O的周長(zhǎng)．4．圓柱的軸截面為矩形，其長(zhǎng)為母線(xiàn)長(zhǎng)5，寬為底面圓直徑4,故面積為5×4＝20.5．解：如圖所示為圓錐的軸截面，其中PA＝20cm，∠APO＝30°，OP為高,在Rt△OAP中，OP＝AP·cos30°＝20×eq\f（\r（3),2)＝10eq\r(3)(cm）．練習(xí)B1．略．2．略．3．解:圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其中A1B1＝2,A2B2＝8，A1A2＝5，O1O2為高，過(guò)A1作A1H⊥A2B2于H，則A1H＝O1O2。在Rt△A1A2H中,A1A2＝5，A2H＝eq\f(8－2，2)＝3，∴A1H＝eq\r（A1A\o\al（2,2)－A2H2）＝eq\r（52－32）＝4.故圓臺(tái)的高為4。4．解：圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其中A1A2＝20cm，∠A2A1H＝30°,A1O1＝15cm。在△A1A2H中，A1H＝A1A2·cos30°＝10eq\r(3)cm，A2H＝A1A2·sin30°＝10cm.∴圓臺(tái)的高為10eq\r（3)cm，圓臺(tái)的下底面半徑O2A2為25cm，則下底面面積為S＝πR2＝252π＝625π(cm2)．思考與討論解答：類(lèi)比平面上直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，平面與球有以下幾種位置關(guān)系：相離、相切、相交，其中相離是平面與球無(wú)公共點(diǎn)，相切是平面與球有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，相交則是平面與球有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)．練習(xí)A1．1nmile所對(duì)的弧長(zhǎng)為αR＝eq\f（1,60）·eq\f（π,180）·6370≈1。85（km）．2．解：如圖所示為球的大圓,其中O為球心，AB為截面圓直徑，O1為截面圓圓心,由題意知OA＝25（cm）．∵＝49π，∴O1A＝7(cm)．在Rt△OO1A中，OO1＝eq\r（OA2－AO\o\al(2,1）)＝24(cm)，即球心到截面的距離為24cm.3．課本圖126中的基本幾何體有：圓錐、圓柱、棱柱、圓臺(tái)等．練習(xí)B1．略．2．解：如圖，直線(xiàn)與球有三種位置關(guān)系：相離—-無(wú)公共點(diǎn)或球心到直線(xiàn)的距離大于球半徑〔如圖（1)〕;相切-—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)或球心到直線(xiàn)的距離等于球半徑〔如圖（2）〕;相交——有多于一個(gè)公共點(diǎn)或球心到直線(xiàn)的距離小于球半徑〔如圖（3）〕．3．解:如圖所示,AB為球O截得的線(xiàn)段，且AB＝8,OA＝5，過(guò)O作OC⊥AB于C，則AC＝4.∴OC＝eq\r（OA2－AC2)＝3,∴球心到直線(xiàn)的距離為3。思考與討論若一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形的關(guān)系是相似．練習(xí)A1．(1)不正確；(2）不正確；(3)不正確;(4）正確．2．解：取A′B′、B′C′、A′C′的中點(diǎn)D′、E′、F′，連接A′E′，B′F′，C′D′,三線(xiàn)的交點(diǎn)即為△ABC的重心M在投影面內(nèi)的平行投影M′，如圖所示．3．解：如圖所示為正方形的直觀圖．如圖所示為等邊三角形的直觀圖．4．解：如圖所示．練習(xí)B1．（1）正確；（2)不正確．2．解：直觀圖如圖所示．3．解：邊長(zhǎng)為1.5cm，高為3cm的正三棱錐的直觀圖如圖所示．4．解：底面半徑為1cm,高為3cm的圓柱和圓錐的直觀圖如圖所示．思考與討論解:在平面上表示立體圖形有斜二測(cè)畫(huà)法、正等測(cè)畫(huà)法、三視圖等，其畫(huà)法規(guī)則各自不同．練習(xí)A1．如圖所示．2．如圖所示．3．如圖所示．4．略．練習(xí)B1．如圖所示．2．如圖所示．探索與研究解：(1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)體底面水平放置即軸線(xiàn)為鉛垂線(xiàn)時(shí),其三視圖比較簡(jiǎn)單，此時(shí)主視圖、左視圖相同(圓柱、圓錐、圓臺(tái)分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形),俯視圖為圓(或帶圓心），有時(shí)為了方便一般只畫(huà)出它們的主視圖和俯視圖(二視圖)．（2）球的三視圖也符合上述特征．練習(xí)A1．S全＝S側(cè)＋2S底＝6ah＋3eq\r（3）a2＝3a（2h＋eq\r（3)a)．2．S側(cè)＝12eq\r（3)，S全＝16eq\r（3）.3．S全＝S側(cè)＋S上＋S下＝（48eq\r(15)＋80）(cm2)．4．因?yàn)?πR＝16π，所以R＝8,S＝4πR2＝256π（cm2)．練習(xí)B1．解：正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即為球的直徑,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則2R＝eq\r（3)a，∴S正方體＝6a2，S球＝4π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)a）)2＝3πa2.∴eq\f(S球,S正方體)＝eq\f（π，2）.2．解：斜高h(yuǎn)′＝eq\r(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1。5，2）)）2＋0.852）＝eq\r(1.285)≈1.1336，S全＝eq\f(1，2）×h′×1。5×4≈3.4(平方米）．3．解:（1）由面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比,得S小棱錐側(cè)∶S大棱錐側(cè)＝1∶4，S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺(tái)側(cè)＝4∶1∶3.（2）如圖所示,∵小棱錐底面邊長(zhǎng)為4cm，則大棱錐的底面邊長(zhǎng)為8cm,又PA＝12cm，則A1A＝6cm,梯形ABB1A1的高h(yuǎn)′＝eq\r(62－22）＝4eq\r（2)(cm），∴S臺(tái)側(cè)＝6×eq\f(4＋8,2）×4eq\r（2）＝144eq\r（2）(cm2），S臺(tái)全＝S臺(tái)側(cè)＋S上底＋S下底＝144eq\r(2)＋24eq\r(3)＋96eq\r（3）＝144eq\r（2）＋120eq\r(3）(cm2)．練習(xí)A1．解：長(zhǎng)方體的體積等于正方體的體積，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝2×4×8，∴a＝4.2．解：三棱錐A′－BC′D的體積是正方體的體積減去四個(gè)小棱錐（如A′－ABD)的體積，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則V正方體＝a3.VA′－ABD＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2）a3＝eq\f（1，6）a3，∴VA′－BC′D＝a3－4×eq\f(1,6)a3＝eq\f(1，3)a3，則eq\f(VA′－BC′D，V正方體)＝eq\f(\f(1,3）a3,a3)＝eq\f(1，3）.故三棱錐A′－BC′D的體積是正方體體積的eq\f(1，3).3．解：設(shè)原來(lái)球的半徑為R，則S大圓＝πR2,V球＝eq\f(4，3)πR3，當(dāng)大圓面積增長(zhǎng)為原來(lái)的100倍時(shí)，面積為100πR2.設(shè)大圓面積變?yōu)樵瓉?lái)的100倍后球的半徑為x，則有100πR2＝πx2，∴x＝10R。V′球＝eq\f（4,3）πx3＝1000·eq\f（4,3)πR3.故球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的1000倍．練習(xí)B1．解:設(shè)圓柱體和正方體的高為h，圓柱的底面半徑為R，則由側(cè)面積相等得4h2＝2πRh,∴2h＝πR，即R＝eq\f(2,π）h。∴V正方體＝h3,V圓柱＝πR2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，π）h))2·h＝eq\f（4，π)h3.∴V正方體∶V圓柱＝π∶4.2．解：如圖所示．∵PC＝eq\r(3），而△PAB為正三角形,∴AC＝1,PA＝2，∴OC＝AC＝1。在Rt△POC中，PO＝eq\r(2).∴V棱錐＝eq\f（1,3)·S·h＝eq\f(1,3）×22×eq\r(2)＝eq\f（4,3)eq\r（2).3．解:∵V臺(tái)＝eq\f（1，3)h（S上＋S下＋eq\r(S上·S下)），又S下＝62＝36(dm2)，S上＝42＝16(dm2),∴190＝eq\f（1，3)h（36＋16＋eq\r(36×16）)，∴h＝eq\f（3×190,76）＝7.5（dm)＝75（cm)．故它的深度為75cm。習(xí)題11A1．解:側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱．底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．2．解:由面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比可知，截面截一條側(cè)棱所得兩條線(xiàn)段的比為1∶(eq\r（2）－1）(或(eq\r（2）－1）∶1)．3．對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)d＝eq\r（122＋42＋32)＝13.4．解：（1)都在同一直線(xiàn)上(有可能是重合的點(diǎn))；(2)平行于投影面的線(xiàn)段的平行投影的長(zhǎng)度與原線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等；平行于投影面的線(xiàn)段的中心投影的長(zhǎng)度與原線(xiàn)段的長(zhǎng)度相應(yīng)成比例；(3）與投射面垂直的面上的若干圖形的正投影在一條直線(xiàn)上．5．解：直觀圖、三視圖如圖所示．6．解：直觀圖、三視圖如圖所示．(1)(2）7．解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為4x、2x、x,則由體積公式得1000＝4x·2x·x，∴x3＝125，∴x＝5（cm）．則長(zhǎng)為20cm，寬為10cm，高為5cm.8．解：設(shè)它的棱長(zhǎng)為xcm，由題意得8x3＝（x＋1)3，解得x＝1.則它的棱長(zhǎng)為1cm。9．解：由題意知底面為等腰三角形，其面積S＝eq\f（1，2）×2×2eq\r(2）＝2eq\r(2)（cm2)．側(cè)棱長(zhǎng)為棱柱的高，∴V＝Sh＝2eq\r（2)×4＝8eq\r（2）(cm3)．10．解：正六棱柱的底面積S＝150eq\r(3)(cm2）．正六棱柱的體積V＝Sh＝150eq\r(3)×15＝2250eq\r（3）（cm3）．11．解：設(shè)地球半徑為R，則火星半徑為eq\f(R，2），∴eq\f（V地，V火)＝eq\f(\f(4，3）πR3，\f(4,3）π\(zhòng)b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(R,2）））3）＝8.若R＝6370,則V地＝eq\f（4，3）π×63703≈1.083×1012(km3）．V火＝eq\f（V地，8）≈1.353×1011(km3）．習(xí)題11B1．解：由左視圖可知正三棱柱的高為2mm，由俯左一樣寬可知正三棱柱的底面正三角形的高為2eq\r（3）mm，由此可計(jì)算出正三角形的邊長(zhǎng)為4mm,∴正三棱柱的表面積＝S側(cè)＋2S底＝3×4×2＋2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×4×2\r(3)）)＝(24＋8eq\r（3))(mm2）．2．解:圓柱的底面不變，要使它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的5倍，則需要把它的高擴(kuò)大到原來(lái)的5倍；如果圓柱高不變，半徑擴(kuò)大到原來(lái)的eq\r（5）倍也可使它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的5倍．3．解：因?yàn)檎庵母遠(yuǎn)不變，因此內(nèi)切圓柱和外接圓柱的體積只與其底面圓半徑有關(guān)．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則由平面幾何性質(zhì)知R＝2r。所以V內(nèi)切圓柱∶V外接圓柱＝πr2h∶πR2h＝r2∶R2＝1∶4。4．解：V正三棱錐＝eq\f(1,3）×eq\f（1,2）a2×a＝eq\f(1，6）a3。5．解:等邊三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的幾何體是兩個(gè)對(duì)底的圓錐，每一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為a，底面圓半徑為r，r＝eq\f（\r(3），2）a，高為h，h＝eq\f(a,2)，則V＝2×eq\f(1，3）πr2×h＝2×eq\f（1,3)π×eq\f（3,4)a2×eq\f（a,2）＝eq\f（π,4）a3。6．解:∵圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，高為4cm