湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（第二次大聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題 含解析

湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本式卷和答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本式卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則集合中所含整數(shù)的個(gè)數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.52.已知，則的虛部為A. B. C. D.3.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，則A. B. C. D.5.經(jīng)研究表明：光源發(fā)射出來的粒子在沒有被捕獲之前屬于光子，光子在離開光源后會(huì)與各種粒子撞擊，其動(dòng)量可能會(huì)改變，導(dǎo)致其速度降低，最終可能改變身份成為其他范圍的粒子（如紅外線粒子），不再能被人類的感光設(shè)備捕獲.已知在某次光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)組相關(guān)人員用人類感光設(shè)備捕獲了從同一光源發(fā)射出來的兩個(gè)光子A，B，通過數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析得知，此時(shí)刻在平面直角坐標(biāo)系中它們的位移所對(duì)應(yīng)的向量分別為，設(shè)光子相對(duì)光子的位移為，則在上的投影向量的坐標(biāo)為A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若也為等差數(shù)列，則的值為A.2 B.3 C.4 D.87.已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為A. B. C. D.8.中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為A. B. C. D.1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)x，y滿足，則A. B. C. D.10.三棱臺(tái)中，，設(shè)AB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為與BF交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，則A.直線GH與直線異面 B.C.線段AE上存在點(diǎn)，使得平面 D.線段BE上存在點(diǎn)，使得平面11.設(shè)函數(shù)，記的最小值為，則A. B. C. D.三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知命題：“”為真命題，則的取值范圍是______．13.已知為邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF內(nèi)部及其邊界上的一點(diǎn)，則的取值范圍是______.14.三棱錐中，，平面平面ABC，且.記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在上的最小值為-2，求的取值范圍.16.（本小題滿分15分）記首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）探究數(shù)列是否為單調(diào)數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（本小題滿分15分）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD是菱形，四面體的體積與四面體的體積之差為的面積為.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若，求銳二面角的余弦值．18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.19.（本小題滿分17分）對(duì)于項(xiàng)數(shù)列，若滿足，則稱它為一個(gè)滿足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列．（1）對(duì)于一個(gè)滿足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列.證明：存在，滿足；（2）若“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列還滿足，則稱為“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列．①請(qǐng)分別寫出一個(gè)滿足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的4階數(shù)列和滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列（不必論證，符合要求即可）；②若存在“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，求的最小值（最終結(jié)果用常數(shù)或含的式子表示）．

三湘名校教育聯(lián)盟?2025屆高三第二次大聯(lián)考?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.【答案】C【解析】由題意可得，可得，故集合中所含整數(shù)有，共4個(gè)，故選C.2.【答案】A【解析】由題意可得，故，其虛部為，故選A.3.【答案】A【解析】由及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，令函數(shù)，易得單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，一定有，故充分性成立，但由只能推出，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選A.4.【答案】A【解析】由題意可得，故，故選A.5.【答案】C【解析】由向量，可得，所以在上的投影向量為，故選C.6.【答案】C【解析】易知，若也為等差數(shù)列，則為完全平方，則，解得，故選C.7.【答案】D【解析】因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，且為奇函數(shù)，所以，解得，故，且，故切線斜率為，故選D.8.【答案】B【解析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由題意可得，由余弦定理可得，而，故，由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，則，其中，故，令，故.故選B.9.【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，這與x，y均為正數(shù)矛盾，故，故D錯(cuò)誤，故選AC.10.【答案】AD【解析】如圖所示，對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，故與平面的交點(diǎn)為，且是唯一的.又因?yàn)锽，G，H三點(diǎn)不共線，所以GH不經(jīng)過點(diǎn)，又平面，所以直線GH與直線沒有交點(diǎn)，即直線GH與直線異面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)是的重心，，若，則，事實(shí)上：，所以是的中點(diǎn)，不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，如圖，取線段BF的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)，下證平面：由為的中點(diǎn)可知，又平面平面，所以平面，故D正確，C錯(cuò)誤；故選AD.11.【答案】BCD【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．對(duì)于A：，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù)時(shí)，則單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，故，故B正確；對(duì)于C：易知，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，故，故C正確；對(duì)于D：，只需證明即可，而，由易得，故，同理可得，故，故D正確，故選BCD．12.【答案】（]【解析】因?yàn)槊}“”為真命題，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，故的取值范圍是，故答案為.13.【答案】[-8，24]【解析】由題意可得的模為4，根據(jù)正六邊形的特征及投影的定義可以得到在方向上的投影長(zhǎng)度的取值范圍是，由數(shù)量積定義可知等于的模與在方向上的投影長(zhǎng)度的乘積，所以的取值范圍是，故答案為.14.【答案】【解析】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取BC中點(diǎn)，連接OA，OP，則，則的面積為的面積，由可得的面積為，于是三棱錐的表面積為，由等體積可知，所以，故.設(shè)函數(shù)，且，則，當(dāng)單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，取得最小值，故答案為．15.【解析】（1）由題意可得，………………2分令，則，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間是，…………5分且由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.………………7分（2）當(dāng)，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為-2，……9分即在上的最小值為-1，又因?yàn)椋浴?2分即，故的取值范圍為.……………13分16.【解析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，………………1分兩式作差得，……………………3分所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，………………5分無單調(diào)性，故數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.……………………6分（2）由（1）可得，所以，故．……8分所以，①……………10分，②………………12分①-②得……………14分所以…………………15分17.【解析】（1）如圖，連接AC交BD于點(diǎn)，設(shè)四棱柱的體積為（其中為菱形ABCD的面積，為四棱柱的高），…………1分所以的體積為，同理四面體的體積為……………2分又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面距離的一半，所以四面體的體積是四面體的體積的兩倍，即．……4分設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，………………5分解得.…………………6分（2）如圖，連接，由得，又四邊形ABCD是菱形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，………………8分又，所以，…………9分又平面ABCD，所以平面ABCD，以點(diǎn)為原點(diǎn)，OA為軸，OB為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，且菱形ABCD的面積為，所以．………………11分依題意，，易得平面的一個(gè)法向量為，…………………12分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，所以，即，取，…………………13分故，……………………14分故銳二面角的余弦值為.…………………15分【評(píng)分細(xì)則】本題第二問若考生通過利用幾何法來求解二面角的平面角為，或者利用余弦定理等來直接求解二面角的余弦值，只要過程合理，最終答案正確均給滿分，若過程有誤或證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)酌情扣一定的分?jǐn)?shù)．18【解析】(1)易得定義域?yàn)?，顯然.…………1分①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩零點(diǎn)，不合題意.…………2分②當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，易得，故時(shí)，單調(diào)遞減時(shí)，單調(diào)遞增，……………4分當(dāng)時(shí)，有，不可能有兩零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有，由零點(diǎn)存在性定理可得在區(qū)間必有一個(gè)零點(diǎn)．……………6分，令函數(shù)，則，即單調(diào)遞增，故，即，故在上有零點(diǎn)，綜上．…8分（2）依題意有，即，故得，…………10分因此，令.則，同理，故，欲證，即證，……12分令函數(shù)，函數(shù)，只需證明即可，又，……………………14分故是增函數(shù)，故，又，令函數(shù)，則，故單調(diào)遞增，故，………………16分因此，故單調(diào)遞增，故，故得證.17分【評(píng)分細(xì)則】第一問若考生求完導(dǎo)后用參變分離的方法來求參數(shù)范圍，只要最終答案正確均給分，第二問也可用其他方法來證明，邏輯正確，嚴(yán)謹(jǐn)可酌情給分．19.【解析】（1）因?yàn)闉闈M足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，假設(shè)，則，不滿足題意，同理若，則，也不滿足題意，………………4分所以中必有一些數(shù)小于0，也必有一些數(shù)大于0，不妨設(shè)（其中），故存在，滿足．………………6分（2）①一個(gè)滿足“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)”的4階數(shù)列為：；（答案不唯一，符合要求即可）8分一個(gè)滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列為：；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②設(shè)，且．不妨設(shè)，其中，并記，為方便起見不妨設(shè)（否則用代替即可），于是得，因?yàn)?，即，所以，一方面有，另一方?所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.………13分（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則有前項(xiàng)為正數(shù)，后項(xiàng)為負(fù)數(shù)的數(shù)列，是“絕對(duì)值關(guān)聯(lián)