新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 易錯(cuò)點(diǎn)3函數(shù)概念與基本函數(shù)（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)03函數(shù)概念與基本函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)1：求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則；研究與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要先明確函數(shù)的定義域是什么，才能進(jìn)行下一步工作。易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系得到結(jié)論；易錯(cuò)點(diǎn)3：根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范格式是什么？(取值,作差,判正負(fù))；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.易錯(cuò)點(diǎn)4：指對(duì)型函數(shù)比較大小要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）.易錯(cuò)點(diǎn)5：用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形“失真”，從而得出錯(cuò)誤的答案。易錯(cuò)點(diǎn)6：在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件；要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）；易錯(cuò)點(diǎn)7：抽象函數(shù)的推理不嚴(yán)謹(jǐn)致誤；所謂抽象函數(shù)問題，是指沒有具體地給出函數(shù)的解析式，只給出它的一些特征或性質(zhì)。解決這類問題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質(zhì)，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點(diǎn);解決抽象函數(shù)的方法有：換元法、方程組法、待定系數(shù)法、賦值法、轉(zhuǎn)化法、遞推法等；考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性1．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0①；因?yàn)镾KIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路一：從定義入手．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故選：D．2．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】1.對(duì)于A，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.3．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可得SKIPIF1<0，對(duì)于A，SKIPIF1<0不是奇函數(shù)；對(duì)于B，SKIPIF1<0是奇函數(shù)；對(duì)于C，SKIPIF1<0，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，SKIPIF1<0，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B4．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意可得SKIPIF1<0，對(duì)于A，SKIPIF1<0不是奇函數(shù)；對(duì)于B，SKIPIF1<0是奇函數(shù)；對(duì)于C，SKIPIF1<0，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，SKIPIF1<0，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)．故選：B5. （2021新高考2卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B6．（2021年上海卷）以下哪個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)() A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題易知，只有SKIPIF1<0既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故選A考點(diǎn)二：指對(duì)型函數(shù)比較大小1. （2021年天津卷5）設(shè)SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系為A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.2.（2021年新高考2卷7）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C.3．（2020年全國(guó)2卷11）若SKIPIF1<0，則 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故選A．4．（2021年全國(guó)1卷理12）若SKIPIF1<0，則 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得：SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由指對(duì)函數(shù)單調(diào)性可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以選B.5．（2019全國(guó)Ⅲ理11）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則A．B．C．D．【答案】C【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，

因?yàn)?，，所以?/p>

又在上單調(diào)遞減，所以.故選C．6.（2015年全國(guó)2卷12）設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，SKIPIF1<0，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】【解析】令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，由于，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性在上單調(diào)遞增，又，，數(shù)形結(jié)合可知，使得成立的的取值范圍是．考點(diǎn)三、函數(shù)的圖像與性質(zhì)1. （2021年天津卷3）函數(shù)SKIPIF1<0的圖像大致為A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，排除AC；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除D.故選：B.2.（2019全國(guó)Ⅲ理7）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖像大致為B．C．D．【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，因此排除C，

又SKIPIF1<0，因此排除A，D．故選B．3．（2021年浙江卷7）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則圖象為右圖的函數(shù)可能是（）. A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0 【答案】D 【解析】SKIPIF1<0是偶函數(shù)，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，由于圖象是奇函數(shù)，所以C，D正確，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C選項(xiàng)不符合，故選D．4．（2021年全國(guó)甲卷16）已知函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則滿足條件SKIPIF1<0的最小正整數(shù)SKIPIF1<0為_____________.【答案】2【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由圖像得最小整數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0★5.（2015年全國(guó)2卷）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為（）【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0，故排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0．不難發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0的圖像是非線性，排除A．故選B.★6.（2014年全國(guó)1卷）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角SKIPIF1<0的始邊為射線SKIPIF1<0，終邊為射線SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離表示為SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在[0,SKIPIF1<0]上的圖像大致為（）【答案】C【解析】由題意知，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故選C．考點(diǎn)四、分段函數(shù)1．（2021年浙江卷12）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0． 【答案】2 【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．2．（2015新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.（2017新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0則滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式為SKIPIF1<0恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．

4．(2014新課標(biāo))設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0則使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0．5. （2021年天津卷9）設(shè)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0最多有2個(gè)根，所以SKIPIF1<0至少有4個(gè)根，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有4個(gè)零點(diǎn)，即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有5個(gè)零點(diǎn)，即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有6個(gè)零點(diǎn)，即SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0有2個(gè)零點(diǎn)；所以若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則可解得a的取值范圍是SKIPIF1<0.6.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】函數(shù)SKIPIF1<0存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，如圖所示，由圖可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選C．1.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）.A．[-2,2]QUOTE[?2,2]B．[-1,2]QUOTE[?1,1]C．[0,4]QUOTE[0,4]D．[1,3]【答案】D【解析】由函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，得SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，選D．2．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域都為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函數(shù)B．SKIPIF1<0|SKIPIF1<0|是奇函數(shù)C．|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0是奇函數(shù)D．|SKIPIF1<0SKIPIF1<0|是奇函數(shù)【答案】B【解析】SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0|SKIPIF1<0|為奇函數(shù)，|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0為偶函數(shù)，|SKIPIF1<0SKIPIF1<0|為偶函數(shù)，故選B．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在SKIPIF1<0單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為減函數(shù)．4.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且冪函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，故選A．5.若SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】選項(xiàng)A，考慮冪函數(shù)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為增函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A錯(cuò)．對(duì)于選項(xiàng)B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是減函數(shù)，所以B錯(cuò)．對(duì)于選項(xiàng)D，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知D錯(cuò)，故選C．6．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．7.