第26章 二次函數(shù) 綜合檢測(cè)

第26章二次函數(shù)綜合檢測(cè)(滿分100分,限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題3分,共24分)1.(2022山西運(yùn)城鹽湖新康國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)下列y關(guān)于x的函數(shù)中,一定是二次函數(shù)的是()A.y=ax2+bx+c B.y=1x2 C.y=(a2+1)x2 2.(2023湖南長(zhǎng)沙雅禮教育集團(tuán)期末)將拋物線y=3x2先向右平移2個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位,所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為()A.y=3(x-2)2+6 B.y=3(x-2)2-6 C.y=3(x+2)2+6 D.y=3(x+2)2-63.(2023廣東珠海香洲期中)如圖,拋物線y1=ax2+c與直線y2=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)兩點(diǎn),則不等式y(tǒng)1<y2的解集為()A.x>-1 B.x<3 C.x<-3或x>1 D.-1<x<34.(2022江蘇南通海安期中)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于(1,0)、(4,0)兩點(diǎn),則一元二次方程ax2+bx+c=0的解為()A.x1=-1,x2=-4 B.x1=1,x2=4 C.x1=-1,x2=4 D.x1=1,x2=-45.(2023江蘇無(wú)錫梁溪連元英禾雙語(yǔ)學(xué)校模擬)關(guān)于二次函數(shù)y=x2-4x+5,下列結(jié)論中正確的是()A.圖象的對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)(2,0) B.當(dāng)x>-2時(shí),y隨x的增大而增大C.圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn) D.函數(shù)的最小值為56.(2023河南周口太康期末)如圖,在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是() 7.(2023山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的自變量x1,x2,x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1,y2,y3.當(dāng)-1<x1<0,1<x2<2,x3>3時(shí),y1,y2,y3之間的大小關(guān)系是()A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y38.(2023四川廣安中考)如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0).有下列結(jié)論:①abc>0;②若點(diǎn)(-2,y1)和(-0.5,y2)均在拋物線上,則y1<y2;③5a-b+c=0;④4a+c>0.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題(每小題3分,共18分)9.(2023北京通州期末)中國(guó)“一帶一路”倡議給沿線國(guó)家和地區(qū)帶來(lái)很大的經(jīng)濟(jì)效益,沿線某地區(qū)居民2021年年人均收入300美元,預(yù)計(jì)2023年年人均收入將達(dá)到y(tǒng)美元.設(shè)2021年到2023年該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為x,那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是.

10.(2023江蘇南通啟東長(zhǎng)江中學(xué)月考)如圖,若拋物線y=ax2-2x+a2-1經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則拋物線的解析式為.

11.(2023山東泰安中考)二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值是.

12.(2023湖北宜昌中考)如圖,一名學(xué)生推鉛球,鉛球行進(jìn)高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關(guān)系是y=-112(x-10)(x+4),則鉛球推出的距離OA=13.(2023海南?？谌A僑中學(xué)期末)對(duì)稱軸與y軸平行且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線也經(jīng)過(guò)A(2,m),B(4,m),若△AOB的面積為4,則拋物線的解析式為.

14.(2023四川眉山蘇祠中學(xué)期中)距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體,物體離地面的高度h(米)與物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(秒)之間滿足函數(shù)關(guān)系式h=-5t2+mt+n,其圖象如圖所示,物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)離地面20米,物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒.設(shè)w表示0秒到t秒時(shí)h的值的“極差”(即0秒到t秒時(shí)h的最大值與最小值的差),則當(dāng)0≤t≤1時(shí),w的取值范圍是;當(dāng)2≤t≤3時(shí),w的取值范圍是.三、解答題(共58分)15.(2023湖北宜昌枝江馬家店中學(xué)月考)(6分)已知函數(shù)y=(k+2)xk(1)求k的值;(2)當(dāng)k為何值時(shí),拋物線有最低點(diǎn)?(3)當(dāng)k為何值時(shí),函數(shù)有最大值?16.(2023河南開(kāi)封金明中學(xué)月考)(6分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(1,5)、B(0,3)、C(-1,-3)三點(diǎn).(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式;(2)用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).17.(2023遼寧鐵嶺中考)(6分)商店出售某品牌護(hù)眼燈,每臺(tái)進(jìn)價(jià)為40元,在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),月銷量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,規(guī)定銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià),且不高于進(jìn)價(jià)的2倍,其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示:銷售單價(jià)x(元)…506070…月銷量y(臺(tái))…908070…(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)護(hù)眼燈銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商店每月出售這種護(hù)眼燈所獲利潤(rùn)最大?最大月利潤(rùn)為多少元?18.(6分)如圖,要在夾角為30°的兩條小路OA和OB形成的角狀空地上建一個(gè)三角形花壇,分別在邊OA和OB上取點(diǎn)P和點(diǎn)Q,并扎起籬笆將花壇保護(hù)起來(lái)(籬笆的厚度忽略不計(jì)).若OP和OQ兩段籬笆的總長(zhǎng)為40m,求該三角形花壇POQ面積的最大值.19.(2023重慶九龍坡模擬)(10分)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸平行于地平面上,y軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1千米,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在y=kx-120(1+k2)x2(1)當(dāng)k=2時(shí),求炮彈飛行的最大海拔高度;(2)若炮彈飛行的最大射程為5千米,求k的值;(3)炮彈的最大射程為千米(結(jié)果用含k的代數(shù)式表示).

20.(2023吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)模擬)(10分)如圖,點(diǎn)P(a,3)在拋物線l:y=4-(6-x)2上,且在l的對(duì)稱軸右側(cè).(1)寫出拋物線l的對(duì)稱軸和y的最大值,并求出a的值;(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片,并在膠片上描畫(huà)出點(diǎn)P及拋物線l的一段,分別記為P',l'.平移該膠片,使l'所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式恰為y=-x2+6x-9.求點(diǎn)P'移動(dòng)的最短距離.21.(2023江蘇揚(yáng)州中考)(14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A在y軸正半軸上.(1)如果四個(gè)點(diǎn)(0,0)、(0,2)、(1,1)、(-1,1)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上.①a=;

②如圖1,已知菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上,且AD⊥y軸,求菱形的邊長(zhǎng);③如圖2,已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上,點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè),且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n,試探究n-m是不是定值.如果是,求出這個(gè)值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a>0)的圖象上,點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n,直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式.

第26章二次函數(shù)綜合檢測(cè)答案全解全析1.CA.當(dāng)a=0時(shí),原函數(shù)不是二次函數(shù);B.分母含有自變量,不是二次函數(shù);D.當(dāng)a=0時(shí),原函數(shù)不是二次函數(shù).故選C.2.A將拋物線y=3x2先向右平移2個(gè)單位,再向上平移6個(gè)單位,所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=3(x-2)2+6.3.D由圖象可知,當(dāng)二次函數(shù)的圖象在直線的下方時(shí),-1<x<3,∴不等式y(tǒng)1<y2的解集為-1<x<3.故選D.4.B因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(1,0)和(4,0),所以一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1,x2=4.5.Ay=x2-4x+5=(x-2)2+1,對(duì)稱軸是直線x=2,則圖象的對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)(2,0);a=1>0,拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸是直線x=2,則當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而增大;函數(shù)的最小值是1,拋物線開(kāi)口向上,則拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).故選A.6.CA.由拋物線可知a<0,由直線可知a>0,故錯(cuò)誤;B.由拋物線可知a>0,由直線可知a<0,故錯(cuò)誤;C.由拋物線可知a>0,x=-b2a<0,可得b>0,由直線可知a>0,b>0,故正確;D.由拋物線可知a<0,x=-b7.D(解法1:利用函數(shù)性質(zhì))∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線開(kāi)口向上.∴當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,∴y2<y3.∵x1,x2在對(duì)稱軸兩側(cè),且x1離對(duì)稱軸較遠(yuǎn),∴y2<y1,同理得y1<y3,∴y2<y1<y3.(解法2:數(shù)形結(jié)合)∵拋物線y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴對(duì)稱軸為直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),當(dāng)y=0時(shí),x=-1或x=3,∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(3,0),如圖,易知當(dāng)-1<x1<0,1<x2<2,x3>3時(shí),y2<y1<y3.8.C由圖象可得a<0,c>0,x=-b2a<0,∴b<0,則abc>0,故①正確;∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-3+12=-1,∴x=-0.5和x=-1.5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而增大,∴若點(diǎn)(-2,y1)和(-0.5,y2)均在拋物線上,則y1<y2,故②正確;∵對(duì)稱軸是直線x=-1,∴--1,∴b=2a,∵點(diǎn)(1,0)在該函數(shù)圖象上,∴a+b+c=0,∴a+2a+c=0,即3a+c=0,∴5a-b+c=5a-2a+c=3a+c=0,故③正確;∵a+b+c=0,a<0,∴2a+b+c<0,∴2a+2a+c<0,即4a+c<0,故④錯(cuò)誤.故選C.9.y=300(x+1)2解析根據(jù)題意得函數(shù)關(guān)系式是y=300(x+1)2.10.y=-x2-2x解析把(0,0)代入y=ax2-2x+a2-1得0=a2-1,解得a=±1,∵拋物線開(kāi)口向下,∴a=-1,∴拋物線的解析式為y=-x2-2x.11.25解析y=-x2-3x+4=-x+322+254,∵a=-1<0,∴當(dāng)x=-12.10解析令y=0,則-11213.y=-12x2+3x或y=12x解析本題沒(méi)有明確給出拋物線的開(kāi)口方向及點(diǎn)A、B所在的象限,所以m的正負(fù)無(wú)法確定,易因考慮不周而致錯(cuò).∵拋物線經(jīng)過(guò)A(2,m),B(4,m),∴對(duì)稱軸是直線x=3,AB=2,∵△AOB的面積為4,∴12①當(dāng)m=4時(shí),A(2,4),B(4,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2,4)代入得9a+h=0,a+h=4,解得a=?12,h=92,∴拋物線的解析式為y=-12②當(dāng)m=-4時(shí),A(2,-4),B(4,-4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2,-4)代入得9a+h=0,a+h=?4,解得a=12,h=?92,∴拋物線的解析式為y=12綜上所述,拋物線的解析式為y=-12x2+3x或y=12x14.0≤w≤5;5≤w≤20解析本題將拋物線與“極差”融為一體考查,設(shè)計(jì)新穎.∵物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)離地面20米,物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒,∴拋物線h=-5t2+mt+n的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為20,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),∴4×(?5)n?m24×(?5)=20,-5×32+3m+n=0,解得15.解析(1)∵函數(shù)y=(k+2)xk2+3k?2是關(guān)于x的二次函數(shù),∴k2+3k-2=2,且k+2≠0,解得k1(2)∵拋物線有最低點(diǎn),∴圖象開(kāi)口向上,即k+2>0,∴k>-2,∴k=1.(3)∵函數(shù)有最大值,∴圖象開(kāi)口向下,即k+2<0,∴k<-2,∴k=-4.16.解析(1)把A(1,5)、B(0,3)、C(-1,-3)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c,可得a+b+c=5,c=3,a?b+c=?3,解得a=?2,b=4,(2)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,5).17.解析(1)設(shè)月銷量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),把(50,90)和(60,80)代入得90=50k+b,80=60k+b,解得k=?1,(2)設(shè)每月出售這種護(hù)眼燈所獲利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意得w=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x-5600=-(x-90)2+2500,∵a=-1<0,且規(guī)定銷售單價(jià)不高于進(jìn)價(jià)的2倍,∴當(dāng)護(hù)眼燈銷售單價(jià)定為80元時(shí),商店每月出售這種護(hù)眼燈所獲利潤(rùn)最大,最大月利潤(rùn)為-(80-90)2+2500=2400元.18.解析如圖,作PC⊥OB,垂足為點(diǎn)C,設(shè)OP的長(zhǎng)為xm,則OQ的長(zhǎng)為(40-x)m,∵∠POQ=30°,∴PC=12OP=12xm,∴S△POQ=12×12x(40-x)=-14(x-20)219.解析(1)當(dāng)k=2時(shí),y=2x-120×(1+22)x2=-14x2+2x=-14(x-4)2∴當(dāng)x=4時(shí),y取得最大值,此時(shí)y=4,即當(dāng)k=2時(shí),炮彈飛行的最大海拔高度是4千米.(2)當(dāng)x=5,y=0時(shí),即0=k×5-120(1+k2)×52,解得k1=2+3,k2=2-3,即k的值是2+3或2-3(3)20k1+k2.詳解:當(dāng)y=0時(shí),即0=kx-120(1+k2)x2,解得x1=0,x2=20.解析(1)∵拋物線l:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴拋物線的頂點(diǎn)為Q(6,4),對(duì)稱軸為直線x=6,y的最大值為4,當(dāng)y=3時(shí),3=-(x-6)2+4,解得x=5或7,∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè),∴P(7,3),∴a=7.(2)∵平移后的拋物線的解析式為y=-x2+6x-9=-(x-3)2,∴平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),∵平移前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4),∴點(diǎn)P'移動(dòng)的最短距離=3221.解析(1)①令x=0得y=0,∴(0,0)在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上,(0,2)不在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上,∵四個(gè)點(diǎn)(0,0)、(0,2)、(1,1)、(-1,1)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上,∴二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上的三個(gè)點(diǎn)是(0,0)、(1,1)、(-1,1),把(1,1)代入y=ax2得a=1.②設(shè)BC交y軸于E,如圖1,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2b,則AB=BC=CD=AD=2b,易知B,C關(guān)于y軸對(duì)稱,∴BE=CE=b,∴B(b,b2),∴OE=b2,∵AE=AB2-BE2=3∴D(2b,b2+3b),把D(2b,b2+3b)代入y=x2得b2+3b=4b2,解得b=33或b=0(舍去),∴菱形的邊長(zhǎng)為2③n-m是定值,理由如下:過(guò)B作BF⊥y軸于F,過(guò)D作DE⊥y軸于E,如圖2,∵點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n,∴B(m,m2),D(n,n2),∴BF=m,OF=m2,DE=n,OE=