江蘇省無錫市江陰市六校2024-2025學年高一上學期11月期中大聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

2024-2025學年度秋學期期中聯(lián)考試卷高一數(shù)學命題人：王慧復核人：王登智一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由并集運算法則可得，再由區(qū)間表示可得結果.【詳解】集合，則，再由集合的區(qū)間表示可得.故選：B2.設命題：，則的否定為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因為命題：，所以的否定：，故選：B【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎題.3.“”成立的一個充分不必要條件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，解出不等式，然后將充分不必要條件轉化為真子集關系，即可得到結果.【詳解】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集為或，因此不等式成立的一個充分不必要條件，對應的范圍是解集的真子集，即是或的真子集.故選：B4.若、、，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質依次分析選項即可求解.【詳解】對于A，B，取，，則，，故A，B錯誤；對于C，因為，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯誤；故選：C5.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由且可求得結果.【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：C6.函數(shù)的部分圖象大致為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合特殊值排除即可.【詳解】定義域為，且，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.再取特殊值，且為正數(shù).排除D.當時，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.故選：A.7.一元二次不等式則對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質及二次不等式的解法列式可得.【詳解】由一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，則，解得.滿足一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求出即可；【詳解】由函數(shù)fx?1的圖象關于直線對稱，可得，即，為偶函數(shù)，由得，即是以4為周期的偶函數(shù)，所以，由,令可得，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項正確的是（

）A.集合的真子集有7個;B.設，是兩個集合，則;C.若集合，則的元素個數(shù)為4;D.已知，則的取值范圍為.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的個數(shù)判斷集合真子集的個數(shù)，可判斷A的真假；根據(jù)集合的運算結果，可判斷兩集合的包含關系，判斷B的真假；可列出集合中的元素，判斷C的真假；根據(jù)不等式的性質確定的取值范圍，判斷D的真假.【詳解】對A：因為集合有3個元素，所以其真子集的個數(shù)為：，故A正確；對B：因為，所以，故B錯誤；對C：由題意：，有4個元素，故C正確；對D：因為，，兩式相加得：，即，故D錯誤.故選：AC10.若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值 B.有最大值C.有最小值 D.有最小值4【答案】ABD【解析】【分析】由基本不等式和乘“1”法逐項分析即可；【詳解】對于A，，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當時取等號，所以有最大值，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，故D正確；故選：ABD.11.下列說法正確的是（）A.函數(shù)表示同一個函數(shù)；B.函數(shù)的值域是；C.已知，則函數(shù)的解析式為（）；D.函數(shù)，若不等式對x∈0,+∞恒成立，則范圍為．【答案】BCD【解析】【分析】由兩函數(shù)的定義域不同可得A錯誤；由二次函數(shù)的單調性可得B正確；由換元法設可得C正確；由換元法結合指數(shù)冪的運算可得D正確；【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，所以不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B，，圖象關于對稱，在上單調遞減，在1,2上單調遞增，所以，故B正確對于C，設，則，則，即（），故C正確；對于D，因為x∈0,+∞，所以所以，又，令，所以，當且僅當時取等號，所以范圍為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)__________;【答案】【解析】【分析】設出冪函數(shù)的解析式，把點代入求的值.【詳解】設冪函數(shù)，因為函數(shù)過點，所以，解得：，所以13.指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，結合二次函數(shù)性質分析求解即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，所以二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標.故答案為：.14.若關于的不等式的解集為且非空，則的值為____________.【答案】或##或-2【解析】【分析】由題意可得，且方程的實數(shù)解為，再利用韋達定理求出即可.【詳解】因為關于的不等式的解集為且非空，所以，且方程的實數(shù)解為，所以，解得或，所以或.故答案為：或.15.已知函數(shù)，存在直線與的圖象有4個交點，則_____，若存在實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______________．【答案】①.1②.【解析】【分析】作出分段函數(shù)的圖象，結合圖象進行分析,第一個填空：當時，直線與的圖象有4個交點；第二個填空：當時，存在實數(shù)，滿足，進而可得取值范圍，再結合函數(shù)對稱性從而可得結論.【詳解】當時，令，解得或；令，解得；故可作出的圖象，如圖：由圖可知，當時，，當時，，所以若存在直線與的圖象有4個交點時，如圖：當時，直線與的圖象有4個交點；若存在實數(shù)，滿足，如圖：可知當時，存在實數(shù)，滿足，令，解得，則可得；因為關于對稱，；同理關于對稱，；所以，又因為，所以，所以的取值范圍是.故答案為：1；.【點睛】關鍵點睛：作出分段函數(shù)的圖象是關鍵，本題考查數(shù)形結合思想，以及空間想象能力，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（1）求值：（2）已知正實數(shù)滿足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運算法則直接計算可得結果；（2）利用平方關系可求得，再由立方差公式計算即可得出結果.【詳解】（1）原式；（2）因為是正實數(shù)，由可得，所以，則，所以，可得所以.17.在①，②“”是“”的充分不必要條件，③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，并求解.已知集合，.（1）當時，求；（2）若______，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）解不等式可得，代入可得，可得出結果；（2）根據(jù)選擇的條件得出集合間之間的關系，對集合是否為空集進行分類討論，得出對應的不等關系，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意得,可得當時，，所以.【小問2詳解】若選①，由可得，由已知可得當時，，解得;當時，有，解得；所以若選②“”是“”的充分不必要條件，由已知可得是的真子集，當時，，解得;當時，有，解得；所以，若選③，由已知可得當①時，，解得;當時，需滿足，即；由或，解或；所以可得或即.18.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷并證明的單調性；【答案】（1）（2）為增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性及已知條件代入即可求出未知參量，從而得出.（2）先下結論，再根據(jù)單調性的定義法判斷的單調性.【小問1詳解】由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又由，得，解得，所以，則定義域為，且，所以.【小問2詳解】在區(qū)間上為增函數(shù).證明如下：設，則，由，得，即，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.19.（1）已知，且，求的取值范圍.（2）解關于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）運用基本不等式，換元結合一元二次不等式解法求解；（2）進行分類討論解二次不等式即可.【詳解】（1）因為，且，所以,令，則，所以,因為，所以，所以.（2）由題意得，得，當，即時，由，得，當，即時，無解，當，即時，由，得，綜上，當時，該不等式解集為；當時，該不等式的解集為;當時，該不等式的解集為.20.某地區(qū)上年度電價為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計劃將電價下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW·h）.經(jīng)測算，下調電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價為0.3元/（kW·h）.記本年度電價下調后電力部門的收益為（單位：元），實際電價為（單位：元/（kW·h））.（收益=實際電量（實際電價-成本價））（1）寫出本年度電價下調后電力部門收益為關于實際電價為的函數(shù)解析式；（2）當時，實際電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?（3）當時，求收益最小值.【答案】（1），（2）0.6元/（kW.h）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示出下調電價后新增用電量，從而得到電力部門的收益的表達式，由此得解；（2）當時，代入表達式中列出不等式，解之即可得解；（3）當時，代入收益中，利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題意知，下調電價后新增用電量為，故電力部門的收益，.【小問2詳解】當時，，由題意知且，化簡得，解得或，又，，所以實際電價最低定為：0.6元/（kW·h）時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.【小問3詳解】當時，，令，，，，，當且僅當時取等號，故收益的最小值.21.設函數(shù)的定義域分別為，且．若對于任意，都有，則稱為在上的一個延伸函數(shù)．給定函數(shù)．（1）若是在給定上的延伸函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的解析式；（2）設為在上的任意一個延伸函數(shù)，且是上的單調函數(shù)．①證明：當時，．②判斷在的單調性（直接給出結論即可）；并證明：都有．【答案】（1）（2）①證明見解析；②單調遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及“延伸函數(shù)”的定義求得的解析式；（2）①通過差比較法證得不等式成立；②根據(jù)函數(shù)的單調性以及不等式的性質證得不等