專(zhuān)項(xiàng)05 圓的綜合探究題

專(zhuān)項(xiàng)05圓的綜合探究題類(lèi)型一圓性質(zhì)的綜合探究題1.(2023山東威海文登期末)如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作△ADE，使∠DAE=90°，AE=AD，連接CE，則CE與BD的數(shù)量關(guān)系是.

如圖2，△ABC內(nèi)接于☉O，BC為☉O的直徑，AB=AC，點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn)，連接AE，BE，CE.若CE=3，BE=9，求AE的長(zhǎng).如圖3，等邊△ABC內(nèi)接于☉O，點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn)，連接AE，BE，CE.若CE=6，BE=10，求AE的長(zhǎng). 圖1 圖2 圖32.(2023吉林長(zhǎng)春中考)【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在☉O上，∠AOB=90°，則銳角∠APB的大小為度.

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，☉O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，連接PA、PB、PC.求證：PB=PA+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連接BE，通過(guò)證明△PBC≌△EBA可推得△PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連接BE.∵四邊形ABCP是☉O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS).請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.【應(yīng)用】如圖③，☉O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)P在☉O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC，若PB=22PA，則PBPC的值為 圖① 圖② 圖③類(lèi)型二圓位置關(guān)系的綜合探究題3.(2023陜西中考A卷)(1)如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24.若☉O的半徑為4，點(diǎn)P在☉O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM長(zhǎng)度的最小值.(2)如圖②，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐，已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m，根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)(含邊界)修一個(gè)半徑為30m的圓形環(huán)道☉O，過(guò)圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與☉O交于點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)P在☉O上，連接EP，其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP長(zhǎng)度之和最小的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道☉O的圓心O到AB的距離(即OM的長(zhǎng)).4.(2023山東濟(jì)寧中考)如圖，已知AB是☉O的直徑，CD=CB，BE切☉O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OE，交BE于點(diǎn)F，若EF=2BF.(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)M，使∠MCN=60°，連接MN.請(qǐng)問(wèn)：三條線段MN，BM，DN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論. 圖1 圖2

專(zhuān)項(xiàng)05圓的綜合探究題答案全解全析1.解析CE=BD.詳解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，BA∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE=BD.故填CE=BD.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交BE于點(diǎn)F，如圖.∵BC為☉O的直徑，∴∠BAC=90°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=45°.∵AF⊥AE，∴∠AFE=45°.∴AF=AE=22∵∠BAC=∠FAE=90°，即∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=90°，∴∠BAF=∠CAE.在△BAF和△CAE中，BA=∴△BAF≌△CAE(SAS).∴BF=CE=3.∴EF=BE-BF=9-3=6.∴AE=32.在BE上取一點(diǎn)F，使AF=AE，如圖.∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°.∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=60°.∴△AEF為等邊三角形.∴∠FAE=60°，AE=EF.∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=60°.∴∠BAF=∠CAE.在△BAF和△CAE中，BA=∴△BAF≌△CAE(SAS).∴BF=CE=6.∴EF=BE-BF=10-6=4.∴AE=EF=4.2.解析補(bǔ)充證明過(guò)程如下：∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△PBE是等邊三角形，∴PB=PE=PA+AE=PA+PC.【應(yīng)用】22詳解：如圖，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連接BE.∵四邊形ABCP是☉O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP=180°.又∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE.又∵PC=EA，BC=BA，∴△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°，∴PE=2PB.∵PE=PA+AE=PA+PC，∴PA+PC=2PB，又∵PB=22PA，∴PA+PC=2×22PA=4PA，∴PC=3PA，∴PBPC=22PA3.解析(1)如圖①，連接OP，OM，過(guò)點(diǎn)O作OM'⊥AB，垂足為M'，則OP+PM≥OM≥OM'.圖①∵☉O的半徑為4，∴PM≥OM-4≥OM'-4.∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=30°，AM'=12∴OM'=AM'·tan30°=12×tan30°=43.∴PM≥OM'-4=43-4，∴線段PM長(zhǎng)度的最小值為43-4.(2)如圖②，分別在BC，AE上截取BB'=AA'=30m.連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E.圖②∵OM⊥AB，BB'⊥AB，∴OM∥BB'.又ON=BB'，∴四邊形BB'ON是平行四邊形.∴BN=B'O.∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，∴BN+PE≥B'E-OP.∴當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時(shí)，BN+PE取得最小值.作☉O'，使圓心O'在B'E上，半徑=30m，作O'M'⊥AB，垂足為M'，與☉O'交于點(diǎn)N'，與A'B'交于點(diǎn)H.易證△B'O'H∽△B'EA'，∴O'HEA∵☉O'在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)(含邊界)，∴當(dāng)☉O'與FD相切時(shí)，B'H最短，即B'H=10000-6000+30=4030(m)，此時(shí)O'H也最短，∵M(jìn)'N'=O'H，∴M'N'也最短.O'H=EA'·B'∴O'M'=O'H+M'H=4047.91(m).∴此時(shí)環(huán)道☉O的圓心O到AB的距離為4047.91m.4.解析(1)證明：∵CF⊥OE，OC是半徑，∴CF與☉O相切.又∵BE與☉O相切，∴BF=CF，∴EF=2BF=2CF，∴sinE=CFEF=12，∴∠E=30°連接OD(圖略)，則OD=OB.又∵CD=CB，∴OC垂直平分BD，∴∠ABD=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠E.∵AB是直徑，∴∠ADB=90°=∠EBO，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴AD=12AB=BO，(2)MN=BM+DN.證明：延長(zhǎng)ND至H，使得DH=BM，連接CH，BD，如圖所示.∵∠CBM+∠NDC=180°，∠HDC+∠NDC=180°，∴∠HDC=∠CBM.又∵CD=CB，DH=BM，∴△HCD≌△MCB，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH.由(1)可得∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°.∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=60°，∴∠NCH=∠DCH+∠NCD=60°=∠NCM.又∵NC=NC，CM=CH，∴△CNH≌