2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)及應(yīng)用課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)及應(yīng)用[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若{Sn}是等差數(shù)列，則q等于()A．1 B．0C．1或0 D．－1解析：∵Sn－Sn－1＝an，{Sn}是等差數(shù)列，∴an為定值，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，∴q＝eq\f(an,an－1)＝1.答案：A2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)解析：由題知公比q≠1，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝eq\f(1,9)，故選C.答案：C3．等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1) B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2) D.eq\f(nn－1,2)解析：因?yàn)閍2，a4，a8成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,4)＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×2＝n(n＋1)．故選A.答案：A4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則eq\f(S10,S5)等于()A．－3 B．5C．－31 D．33解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知得q≠1.∵S3＝2，S6＝18，∴eq\f(1－q3,1－q6)＝eq\f(2,18)，得q3＝8，∴q＝2.∴eq\f(S10,S5)＝eq\f(1－q10,1－q5)＝1＋q5＝33，故選D.答案：D5．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝10，S12＝130，則S8＝()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－50解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8也構(gòu)成等比數(shù)列．所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，因?yàn)镾4＝10，S12＝130，等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以(S8－10)2＝10·(130－S8)，所以S8＝40.答案：B6．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S4＝2，S8＝8，則S12＝________.解析：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，知S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，即(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，又S4＝2，S8＝8，故S12＝26.答案：267．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________.解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：648．在數(shù)列{an}中，已知對(duì)隨意正整數(shù)n，有a1＋a2＋…＋an＝3n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝________.解析：{an}的首項(xiàng)為2，公比為3，∴{aeq\o\al(2,n)}也為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為9，∴{aeq\o\al(2,n)}的前n項(xiàng)和為eq\f(41－9n,1－9)＝eq\f(1,2)(9n－1)．答案：eq\f(1,2)(9n－1)9．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由題設(shè)，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得eq\f(a3,a1)＝eq\f(a9,a3)，即eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d,1＋2d)，解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.10．已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和．(1)求an及Sn；(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿意q2－(a4＋1)·q＋S4＝0.求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)由條件得an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2.(2)由(1)知a4＝7，S4＝16，所以q2－8q＋16＝0，從而q＝4.又b1＝2，且{bn}為等比數(shù)列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1，Tn＝eq\f(b11－qn,1－q)＝eq\f(21－4n,1－4)＝eq\f(2,3)(4n－1)．[B組實(shí)力提升]11．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列，∴Sn·(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2，即2×(14－S2n)＝(S2n－2)2，解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)．同理，(6－2)(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.答案：B12．已知數(shù)列{an}中，an＝－3n＋4，等比數(shù)列{bn}的公比q滿意q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a1，則滿意eq\f(1,|b1|)＋eq\f(1,|b2|)＋…＋eq\f(1,|bn|)＜eq\f(121,81)成立的n的最大值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：由an＝－3n＋4可得其公差為－3，所以q＝－3，且b1＝a1＝1，故bn＝(－3)n－1，故eq\f(1,|bn|)＝(eq\f(1,3))n－1是公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，所以eq\f(1,|b1|)＋eq\f(1,|b2|)＋…＋eq\f(1,|bn|)＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n))＜eq\f(121,81).故n的最大值為4.答案：B13．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.答案：3n－114．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合條件的全部n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2－S4＝S3－S2，,a2＋a3＋a4＝－18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a1q2－a1q3＝a1q2，,a1q1＋q＋q2＝－18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝－2.))故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3·(－2)n－1.(2)由(1)得Sn＝eq\f(3[1－－2n],1－－2)＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，則1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n＞0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，即n≥11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且全部這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．15．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a1，a7，a4成等差數(shù)列．(1)求證：2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列；(2)若a1＝2，求數(shù)列a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2的和．解析：(1)證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意得2a7＝a1＋a4，即2a1·q6＝a1＋a1·q3，∴2q6－q3－1＝0.令q3＝t，則2t2－t－1＝0，∴t＝－eq\f(1,2)或t＝1.即q3＝－eq\f(1,2)或q3＝1.當(dāng)q3＝1時(shí)，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，∴Seq\o\al(2,6)＝2S3·(S12－S6)，∴2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．當(dāng)q3＝－eq\f(1,2)時(shí)，2S3＝2×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(2a1×\f(3,2),1－q)＝eq\f(3a1,1－q)，S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(\f(3a1,4),1－q)，S12－S6＝eq\f(a71－q6,1－q)＝eq\f(a1·q61－q6,1－q)＝eq\f(\f(a1,4)×\f(3,4),1－q)，∴Seq\o\al(2,6)＝2S3·(S12－S6)，∴2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．綜上可知，2S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．(2)當(dāng)q3＝1時(shí)，q＝1，{an}為常數(shù)列，an＝2，∴a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝2n.當(dāng)q3＝－eq\f(1,2)，a1，a4，a7…是以a1＝2為首項(xiàng)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．∴a1