【數(shù)學(xué)】指數(shù)課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)

問(wèn)題1：初中我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平方根，立方根。同學(xué)們是否還記得它們是怎樣定義的嗎？問(wèn)題2：一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)？立方根有幾個(gè)？一個(gè)數(shù)的平方根有2個(gè)，立方根有1個(gè)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

新知探究

n次方根

新知探究

先乘n次方再開(kāi)n次方看奇偶，先開(kāi)n次方再乘n次方取本身名師點(diǎn)睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個(gè)數(shù)a的n次方根,就是求一個(gè)數(shù)x使得這個(gè)數(shù)的n次方等于a.2.n次方根實(shí)際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開(kāi)方是互逆運(yùn)算.過(guò)關(guān)自診

提示不是,當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),a∈R;當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),a≥0.6或-2x解析原式=|x+3|-(x-3),當(dāng)x≥-3時(shí),原式=6;當(dāng)x<-3時(shí),原式=-2x.探究點(diǎn)一根式的概念【例1】(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

3±2(2)已知x6=17,則x=

.

[-3,+∞)規(guī)律方法根式概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)n的奇偶性決定了n次方根的個(gè)數(shù);(2)n為奇數(shù)時(shí),被開(kāi)方數(shù)a的正負(fù)決定著n次方根的符號(hào).變式訓(xùn)練1已知a∈R,n∈N*,給出下列4個(gè)式子:A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.0個(gè)

A探究點(diǎn)二根式的化簡(jiǎn)(求值)【例2】求下列各式的值:解原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當(dāng)-3<x<1時(shí),原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1≤x<3時(shí),原式=(x-1)-(x+3)=-4.解由例題解析可知原式=|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.變式探究(1)該例中的,若x<-3呢?

追問(wèn)1：觀察上述式子，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

新知探究

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪問(wèn)題4：若根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式？追問(wèn)2：觀察上述式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？分子為被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)，分母為根指數(shù)新知探究

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪

對(duì)于任意正數(shù)a,b和實(shí)數(shù)r,s,指數(shù)冪均滿足下面的運(yùn)算性質(zhì):(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a-n=.新知探究

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.（0不可作為分母）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后,冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).

沒(méi)有意義

名師點(diǎn)睛

2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù).3.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對(duì)任意無(wú)理數(shù)α,aα都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).同理規(guī)定a-α=.這樣指數(shù)冪中指數(shù)的范圍就擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù).過(guò)關(guān)自診1.[人教B版教材例題]計(jì)算下列各式的值:過(guò)關(guān)自診

分?jǐn)?shù)指數(shù)不能隨意約分，因?yàn)榧s分之后可能會(huì)改變根式有意義的條件3.[北師大版教材例題]把下列各式中的正數(shù)b寫(xiě)成正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式:(1)b5=20;(2)b4=25;(3)bn=3m(m,n∈N*);(4)b3n=π9m(m,n∈N*).探究點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算【例3】計(jì)算:規(guī)律方法1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).變式訓(xùn)練2計(jì)算:

探究點(diǎn)四條件求值【例4】[北師大版教材習(xí)題]已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值:規(guī)律方法解決條件求值問(wèn)題的一般方法——整體法對(duì)于條件求值問(wèn)題,一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再將字母取值代入求值.當(dāng)字母的取值未知或不易求出時(shí),可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過(guò)“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)n次方根.(2)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.(3)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法、整體代換.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)0的任意負(fù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義;(2)在運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí),其結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).01成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123456C123456A.5-2a

B.2a-5

C.1

D.-1

C解析∵2<a<3,∴a-2>0,a-3<0,123456D1234564.計(jì)算-0.01-0.5+0.2-2-(2