91平面的基本性質(zhì)（原卷版）

9.1平面的基本性質(zhì)[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．平面的概念“平面”是不定義的最基本的概念之一，只作描述說明，如平靜的水面、桌面、黑板面等都是平面的具體形象，但平面既無大小，也沒有厚薄，無限延展，沒有邊界．教學(xué)中的平面是指光滑并且可以無限延伸的圖形．2．平面的表示由于桌面、黑板面的關(guān)系，通常用平行四邊形來表示平面．平面一般用希臘字母α、β、γ、…來表示，如平面α、平面β、平面γ；也可以用平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來命名，如平面AC、平面BD.如圖所示，當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)．3．幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合，因此通常借助集合符號(hào)來表示幾何圖形之間的關(guān)系.幾何圖形位置關(guān)系集合符號(hào)表示位置關(guān)系集合符號(hào)表示點(diǎn)和直線點(diǎn)A在直線l上A∈l點(diǎn)A不在直線l上A?l點(diǎn)和平面點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)A不在平面α內(nèi)A?α直線和直線直線l與直線m交于N點(diǎn)l∩m＝N直線l與直線m不相交l∩m＝?直線和平面直線l在平面α內(nèi)；直線l在平面α外l?α；l?α直線l與平面α交于點(diǎn)N；直線l與平面α沒有交點(diǎn)l∩α＝N；l∩α＝?平面和平面平面α與平面β交于直線lα∩β＝l平面α與平面β沒有交點(diǎn)α∩β＝?以上是將直線和平面看成集合，而點(diǎn)則看成是集合的元素，因此借用元素與集合、集合與集合間的符號(hào)，來表示它們之間的關(guān)系．4．平面的基本性質(zhì)文字描述符號(hào)描述圖形描述性質(zhì)1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?α性質(zhì)2如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們就有且只有過這點(diǎn)的一條公共直線.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α∩β＝l,P∈l)))性質(zhì)3經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.C?AB?存在唯一平面α，使A∈α，B∈α，C∈α性質(zhì)3的推論(1)經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.A?a?存在唯一平面α，使A∈α，a?α(2)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.a∩b＝P?存在唯一平面α，使a?α，b?α(3)經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.a∥b?存在唯一平面α，使a?α，b?α基礎(chǔ)訓(xùn)練1．點(diǎn)P在直線m上，記作()A．P∈mB．P?mC．P?mD．P?m2．直線a在平面β內(nèi)，記作()A．a(chǎn)∈βB．a(chǎn)?βC．a(chǎn)?βD．a(chǎn)?β3．如果直線上點(diǎn)M、N都在平面β內(nèi)，則該直線上點(diǎn)P________這個(gè)平面內(nèi)(“在”或“不在”)．4．經(jīng)過空間兩個(gè)點(diǎn)____________確定一條直線，經(jīng)過空間三個(gè)點(diǎn)____________確定一個(gè)平面(“可以”或“不可以”)；經(jīng)過____________三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．(“確定一個(gè)平面”是指“有且僅有一個(gè)平面”)5．不重合的兩個(gè)平面，可能有____________公共點(diǎn)，可能有____________公共點(diǎn)．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1平面的概念及表示例1用符號(hào)表示下列語句：(1)點(diǎn)A在直線l上，l又在平面α內(nèi)；(2)點(diǎn)A是直線l和平面α的交點(diǎn)．【解】(1)點(diǎn)A在直線l上表示為：A∈l，直線l在平面α內(nèi)表示為：l?α；(2)點(diǎn)A是直線l與平面α的交點(diǎn)表示：l∩α＝A.【變式訓(xùn)練】1.用符號(hào)表示下列語句：(1)點(diǎn)B是直線l與m的交點(diǎn)；(2)直線m在平面α內(nèi)，且直線m在平面β外．2．已知點(diǎn)M在直線l上，直線l不在平面α內(nèi)，請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形．例2下列說法正確的是()A．三角形是一個(gè)平面圖形B．一條直線可以確定一個(gè)平面C．相交于一點(diǎn)的三條直線可以確定一個(gè)平面D．四條線段依次首尾相接，所得的圖形一定是平面圖形【解析】A【變式訓(xùn)練】下列圖形不一定是平面圖形的是()A．三角形B．五邊形C．圓D．梯形考點(diǎn)2平面的基本性質(zhì)例3下列說法正確的是()A．經(jīng)過空間的任意三點(diǎn)，只能確定一個(gè)平面B．三條直線相交，最多可以確定兩個(gè)平面C．一條直線和這條直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面D．有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面一定重合【解析】選項(xiàng)A中三點(diǎn)共線時(shí)說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中三條直線兩兩相交且不共面時(shí)可以確定三個(gè)平面；選項(xiàng)D中的三個(gè)公共點(diǎn)可能共線．由平面的基本性質(zhì)可知C正確．【變式訓(xùn)練】下列三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為()①如果平面α與平面β有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么平面α必與平面β重合；②空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；③空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．A．0B．1C．2D．3例4已知l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，求證：l，m，n三線共面．【解】∵l∩m＝A，∴l(xiāng)，m確定平面α，又∵l∩n＝B，m∩n＝C，∴B∈l，C∈m，∴B∈a，C∈a，又∵B∈n，C∈n，∴n?α，故l，m，n三線共面．[課堂訓(xùn)練]1．點(diǎn)C不在直線l上記作()A．C∈lB．C?lC．C?lD．C?l2．點(diǎn)P在平面α內(nèi)記作()A．P∈αB．P?αC．P?αD．P?α3．下列四個(gè)條件中，在空間能確定一個(gè)平面的是()A．三個(gè)點(diǎn)B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)C．兩條直線D．梯形的兩腰所在的直線4．空間一條直線在平面內(nèi)，則這條直線與平面有____________個(gè)公共點(diǎn)．5．兩條相交直線__________確定一個(gè)平面，兩條