專題16-2022年北京高考數(shù)學(xué)滿分限時(shí)題集

專題16大題限時(shí)練161．已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，______．從①，②，這二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積【答案】見解析【詳解】選擇①：（Ⅰ）因?yàn)樵谥?，，所以，可得．所以．（Ⅱ）在中，由正弦定理，得，所以．選擇②（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，因，所以，所以，所以．（Ⅱ）．2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）證明：連接，與交于，在中，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，為正三角形，是的中點(diǎn)，．又面底面，是正方形，平面．過作平行于與交于．以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令．則，得，0，．設(shè)直線與平面所成角的正弦值為，，即直線與平面所成角的正弦值．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，設(shè)平面的法向量為，，，則，令．則，．．由題知，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．3．某電商平臺(tái)聯(lián)合廠家共同推出“分期購”服務(wù)，付款方式分為四個(gè)檔次：1期、2期、3期和4期．記隨機(jī)變量、分別表示顧客購買型和型的分期付款期數(shù)，根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，和的分布列如表所示：12340.10.40.40.112340.40.10.10.4（Ⅰ）若某位顧客購買型和各一部，求這位顧客兩種都選擇分4期付款的概率；（Ⅱ）電商平臺(tái)銷售一部型，若顧客選擇分1期付款，則電商平臺(tái)獲得的利潤為300元；若顧客選擇分2期付款，則電商平臺(tái)獲得的利潤為350元；若顧客選擇分3期付款，則電商平臺(tái)獲得的利潤為400元；若顧客選擇分4期付款，則電商平臺(tái)獲得的利潤為450元．記電商平臺(tái)銷售兩部型所獲得的利潤為（單位：元），求的分布列；（Ⅲ）比較與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）某位顧客購買型和是相互獨(dú)立事件，這位顧客兩種都選擇分4期付款的概率為；（Ⅱ）的可能取值為：600，650，700，750，800，850，900，，，，，，，．則的分布列為6006507007508008509000.160.080.090.340.090.080.16（Ⅲ）．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)，（1）處的切線傾斜角為，求的值；（Ⅱ）若在上單調(diào)遞增，求的最大值；（Ⅲ）請直接寫出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2；（Ⅲ）見解析【詳解】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，則，則（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)，（1）處的切線傾斜角為，所以，解得；（Ⅱ）設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以的最小值為（1），則的最小值為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，故，解得，所以的最大值為2；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．5．已知橢圓焦距為2，一條連接橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)的直線斜率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問軸上是否存在點(diǎn)，使得直線，斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【詳解】（Ⅰ）由題意易知：，解得：，，橢圓方程為：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知糊圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線，，，，，，由，得；顯然△，且，，此時(shí)，由上式知：無論取何值，當(dāng)，即時(shí)，是一個(gè)與無關(guān)的定值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，存在定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，直線，斜率之積，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，直線，斜率之積．6．已知無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，滿足：①對于中的任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對于中的任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得；則稱數(shù)列為數(shù)列，稱為該數(shù)列的特征值．（Ⅰ）數(shù)列，，，，，其中，判斷是否為數(shù)列，若是數(shù)列，求出該數(shù)列的特征值，若不是，請說明理由；（Ⅱ）數(shù)列是特征值為3的數(shù)列，且，判斷是否存在，滿足，，并請說明理由；（Ⅲ）數(shù)列單調(diào)，且是特征值為2的數(shù)列，求證：數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】見解析【詳解】（Ⅰ）是數(shù)列，由②可知或，即或，若，由①可知在數(shù)列中，因此或，即，若，則，滿足條件，而當(dāng)時(shí)，亦有，綜上，；（Ⅱ）不存在，滿足，，下證明之：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，，有，當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)，，因此，有，即當(dāng)時(shí)命題也成立，證畢，若，，，顯然，令，則，矛盾，因此，不存在，滿足，；（Ⅲ）證明：因?yàn)閱握{(diào)，有，令，則數(shù)列是單調(diào)遞增且特征值為2的數(shù)列，有，，下證，，當(dāng)，1時(shí)