2024-2025學年高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價三1.2.2～1.2.4獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的應(yīng)用含解析北師大版選修1-2

PAGE課時素養(yǎng)評價三獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的應(yīng)用(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.經(jīng)過對χ2的探討,得到了若干個臨界值,當χ2≤2.706時,我們認為事務(wù)A與B ()A.有95%的把握認為A與B有關(guān)系B.有99%的把握認為A與B有關(guān)系C.沒有充分理由說明事務(wù)A與B有關(guān)系D.不能確定【解析】選C.當χ2>2.706時,有90%以上的把握說明A與B有關(guān)系,但當χ2≤2.706時,只能說明A與B是否有關(guān)系的理由不夠充分.2.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查中學生性別與愛好某項運動是否有關(guān),通過隨機調(diào)查200名中學生是否愛好某項運動,利用2×2列聯(lián)表,由計算可得χ2≈7.245,參照下表:得到的正確結(jié)論是 ()P(χ2≥x0)0.010.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”C.有95%的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D.有95%的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”【解析】選B.由χ2≈7.245>6.635,可得有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.3.為了探討性格和血型的關(guān)系,抽查80人試驗,血型和性格狀況如下:O型或A型者是內(nèi)向型的有18人,外向型的有22人,B型或AB型是內(nèi)向型的有12人,外向型的有28人,則有多大的把握認為性格與血型有關(guān)系 ()A.95%B.99%C.沒有充分的證據(jù)顯示有關(guān)D.1%【解析】選C.O型或A型B型或AB型總計外向222850內(nèi)向181230總計404080χ2=QUOTE=1.92<2.706,所以沒有充分的證據(jù)顯示有關(guān).4.以下關(guān)于獨立性檢驗的說法錯誤的是 ()A.獨立性檢驗依靠小概率原理B.獨立性檢驗得到的結(jié)論肯定正確C.樣本不同,獨立性檢驗的結(jié)論可能有差異D.獨立性檢驗不是判定兩事物是否相關(guān)的唯一方法【解析】選B.受樣本選取的影響,獨立性檢驗得到的結(jié)論不肯定正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.以下三個命題中:①在回來分析中,可用相關(guān)系數(shù)r的值推斷模型的擬合效果,|r|(|r|≤1)越大,模擬的擬合效果越好;②在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點圖中,若全部樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=-QUOTEx+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-QUOTE;③對分類變量x與y的隨機變量χ2來說,χ2越小,推斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大.其中真命題的個數(shù)為________.

【解析】①在回來分析中,可用相關(guān)系數(shù)r的值推斷模型的擬合效果,|r|(|r|≤1)越大,模型的擬合效果越好,①正確;②相關(guān)系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關(guān)程度的強弱,與回來直線斜率無關(guān),題中樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-1,②錯誤;③對分類變量x與y的隨機變量χ2來說,χ2越大,推斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大.③錯誤.故正確命題的個數(shù)為1.答案:16.為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān),用兩種不同劑量的電離輻射照耀小白鼠,在照耀14天內(nèi)的結(jié)果如表所示:死亡存活總計第一種劑量141125其次種劑量61925總計203050進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)是________.

【解析】依據(jù)獨立性檢驗的基本思想,可知類似于反證法,即要確認“兩個重量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立.對于本題,進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)應(yīng)為“小白鼠的死亡與電離輻射的劑量無關(guān)”.答案:小白鼠的死亡與電離輻射的劑量無關(guān)三、解答題(每小題10分,共20分)7.中學流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學不好,理科就怕英語不好”.下表是一次針對高三文科學生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù).總成果好總成果不好總計數(shù)學成果好478a490數(shù)學成果不好39924423總計bc913(1)計算a,b,c的值.(2)文科學生總成果不好與數(shù)學成果不好有關(guān)系嗎?【解析】(1)由478+a=490,得a=12.由a+24=c,得c=12+24=36.由b+c=913,得b=913-36=877.(2)χ2=QUOTE≈6.233>3.841.所以有95%的把握認為文科學生總成果不好與數(shù)學成果不好有關(guān)系.8.微信是現(xiàn)代生活進行信息溝通的重要工具,某公司200名員工中90%的人運用微信,其中每天運用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人,其余的員工每天運用微信的時間在一小時以上,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段.那么運用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定:每天運用微信時間在一小時以上為常常運用微信,那么常常運用微信的員工中有QUOTE是青年人.(1)若要調(diào)查該公司運用微信的員工常常運用微信與年齡的關(guān)系,列出2×2列聯(lián)表:青年人中年人總計常常運用微信不常常運用微信總計(2)依據(jù)2×2列表中的數(shù)據(jù)利用獨立性檢驗的方法推斷是否有99.9%的把握認為“常常運用微信與年齡有關(guān)”?附:χ2=QUOTE.P(χ2≥k0)0.0100.001k06.63510.828【解析】(1)由已知可得,該公司員工中運用微信的有200×90%=180(人),常常運用微信的有180-60=120(人),其中,常常運用微信的青年人有120×QUOTE=80(人),運用微信的人中青年人有180×75%=135(人),故2×2列聯(lián)表如下:青年人中年人總計常常運用微信8040120不常常運用微信55560總計13545180(2)將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得,χ2=QUOTE≈13.333,由于13.333>10.828,所以有99.9%的把握認為“常常運用微信與年齡有關(guān)”.(15分鐘·30分)1.(5分)對某校學生進行心理障礙測試得到如下列聯(lián)表.焦慮說謊懶散總計女生5101530男生20105080總計252065110在這三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大 ()A.焦慮 B.說謊C.懶散 D.全部一樣【解析】選B.由題設(shè)表格可得三個新的表格如下:關(guān)于是否焦慮的結(jié)論:焦慮不焦慮總計女生52530男生206080總計2585110關(guān)于是否說謊的結(jié)論:說謊不說謊總計女生102030男生107080總計2090110關(guān)于是否懶散的結(jié)論:懶散不懶散總計女生151530男生503080總計6545110對于三種心理障礙分別構(gòu)造三個統(tǒng)計量QUOTE,QUOTE,QUOTE,由表中數(shù)據(jù)可得QUOTE=QUOTE≈0.863<2.706,QUOTE=QUOTE≈6.366>3.841,QUOTE=QUOTE≈1.410<2.706.所以沒有充分的證據(jù)顯示焦慮與性別有關(guān);有95%的把握認為說謊與性別有關(guān);沒有充分的證據(jù)顯示懶散與性別有關(guān).這說明在這三種心理障礙中說謊與性別關(guān)系最大.2.(5分)下列說法中,正確說法的個數(shù)是 ()①在用2×2列聯(lián)表分析兩個分類變量A與B之間的關(guān)系時,隨機變量χ2越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大;②以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出回來方程,設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程z=0.3x+4,則c,k的值分別是e4和0.3;③已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系,其回來直線方程為y=a+bx,若b=2,QUOTE=1,QUOTE=3,則a=1.A.0 B.1 C.2 【解析】選D.對于①,分類變量A與B的隨機變量χ2越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大,正確;對于②,因為y=cekx,所以兩邊取對數(shù),可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,令z=lny,可得z=lnc+kx,因為z=0.3x+4,所以lnc=4,k=0.3,所以c=e4.即②正確;對于③,依據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回來直線方程為y=a+bx中,b=2,QUOTE=1,QUOTE=3,則a=1.故③正確.3.(5分)利用獨立性檢驗對兩個分類變量是否有關(guān)系進行探討時,若有99%的把握認為事務(wù)A和B有關(guān)系,則詳細計算出的數(shù)據(jù)應(yīng)當是 ()A.χ2>6.635 B.χ2<6.635C.χ2>3.841 D.χ2<3.841【解析】選A.有99%的把握認為事務(wù)A和B有關(guān)系,即犯錯誤的概率為1%,對應(yīng)的χ2的值為6.635,由獨立性檢驗的思想可知應(yīng)為χ2>6.635.4.(5分)為探討某新藥的療效,給100名患者服用此藥,跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù):無效有效總計男性患者153550女性患者64450總計2179100則統(tǒng)計量χ2的值≈________,從而得出結(jié)論:服用此藥的效果與患者的性別有關(guān),這種推斷出錯的可能性為________.

【解析】由公式計算得χ2≈4.882,所以我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān),從而出錯的可能性為5%.答案:4.8825%5.(10分)新冠肺炎疫情期間,講究衛(wèi)生,垃圾分類已經(jīng)深化人心,某校通過網(wǎng)絡(luò)組織了高三年級學生參加了“垃圾分類,從我做起”的學問問卷作答,隨機抽出男、女各20名同學的問卷進行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成果大于70分的為“合格”.男女總計合格不合格總計(1)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2列聯(lián)表,是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)?(2)從上述樣本中,成果在60分以下(不含60分)的男、女學生問卷中隨意選2個,求這2個學生性別不同的概率.【解析】(1)依據(jù)莖葉圖可得男女總計合格101626不合格10414總計202040χ2=QUOTE=QUOTE≈3.956>3.841,知有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān).(2)從題干莖葉圖可知,成果在60分以下(不含60分)的男、女學生人數(shù)分別是4人和2人,分別用A,B,C,D和E,F表示,基本領(lǐng)件為:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共有15個,其中性別不同的基本領(lǐng)件有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF,共8個,所求概率為QUOTE.1.某校學生會為探討該校學生的性別與語文、數(shù)學、英語成果這3個變量之間的關(guān)系,隨機抽查了100名學生,得到某次期末考試的成果數(shù)據(jù)如表1至表3,依據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該校學生語文、數(shù)學、英語這三門學科中()表1語文成果性別不及格及格總計男143650女163450總計3070100表2數(shù)學成果性別不及格及格總計男104050女203050總計3070100表3英語成果性別不及格及格總計男252550女54550總計3070100A.語文成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大,數(shù)學成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小B.數(shù)學成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大,語文成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小C.英語成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大,語文成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小D.英語成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大,數(shù)學成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小【解析】選C.因為QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以英語成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大,語文成果與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小.2.(2024·全國卷Ⅱ改編)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如圖所示:(1)記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計A(2)填寫下面列聯(lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):箱產(chǎn)量<50箱產(chǎn)量≥50舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.χ2=QUOTE.【解析】(1)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,因此,事務(wù)A的概率估計值為0.62.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖得到列聯(lián)表:箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466χ2=QUOTE≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)由頻率分布直方圖可得:舊養(yǎng)殖法10