第三講數(shù)軸-答案

第三講：數(shù)軸【課堂引入】數(shù)軸的起源于1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的提出的平面直角坐標(biāo)系。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在思考如何用幾何圖形來表示方程時，受到蜘蛛吐絲的啟發(fā)，利用三根數(shù)軸畫出了平面直角坐標(biāo)系，數(shù)軸也因此被稱為一種特定的幾何圖形。數(shù)軸右邊上點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊上點(diǎn)表示的數(shù)。數(shù)軸的作用能形象地表示數(shù)：橫向數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)成一一對應(yīng)，即每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。2、比較實(shí)數(shù)大?。阂?為中心，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大。3、用兩根互相垂直且有同一原點(diǎn)的數(shù)軸可以構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系；用三根互相垂直且有同一原點(diǎn)的數(shù)軸可以構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系，以確定物體的位置。勒內(nèi)·笛卡爾1596年3月31日生于法國安德爾盧瓦爾省的圖賴訥(現(xiàn)笛卡爾，因笛卡兒得名)，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥爾摩，是世界著名的法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者且提出了"普遍懷疑"的主張。黑格爾稱他為"現(xiàn)代哲學(xué)之父"。他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂"歐陸理性主義"哲學(xué)?？胺Q17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為"近代科學(xué)的始祖"?！就街R梳理】1、數(shù)軸的定義規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.2、數(shù)軸的定義包含三層含義（1）數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；（2）數(shù)軸有三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長度；（3）注意“規(guī)定”二字，是說原點(diǎn)的位置、正方向的選取、單位長度的大小是根據(jù)實(shí)際需要來確定的.3、數(shù)軸的畫法（1）畫一條水平的直線；（2）確定正方向，一般取水平向右為正方向；（3）確定原點(diǎn)，取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度.數(shù)軸表示無理數(shù)那么怎樣在單位長度為1的數(shù)軸上表示圓周率π？直徑為1的圓在數(shù)軸上滾動一周，點(diǎn)A走過的距離為圓的周長π。數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如.即數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)或無理數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系.5、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小1.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).3.涉及多個數(shù)比較大小時，一般先將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的分布特點(diǎn)進(jìn)行判斷.根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的分布特點(diǎn)可以看出:（1）沒有最大的正數(shù)，沒有最小的正數(shù)；（2）沒有最大的負(fù)數(shù)，沒有最小的負(fù)數(shù)；（3）最小的正整數(shù)是1，最大的負(fù)整數(shù)是1.課堂總結(jié)：1.數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸2.比較數(shù)的大?。河疫叺臄?shù)＞左邊的數(shù)3.線段覆蓋：取整或取整+1（舍去小數(shù)位）4.遇距離，未說明方向，需兩邊找【課堂練習(xí)】題型一：數(shù)軸的概念與畫法例1、下列四個數(shù)軸的畫法中，規(guī)范的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素判斷即可．【詳解】解：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線，選項A的數(shù)軸單位長度不一致，因此選項A不正確；選項B的數(shù)軸無原點(diǎn)，因此選項B不正確；選項C符合數(shù)軸的意義，正確；選項D的數(shù)軸沒有正方向，因此選項D不正確；故選：C．例2、下列說法：①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸②數(shù)軸上兩個不同的點(diǎn)可以表示同一個有理數(shù)③有理數(shù)數(shù)軸上無法表示出來④任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對應(yīng)的唯一點(diǎn)其中正確的是（

）A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)可得答案．【詳解】①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線是數(shù)軸，故原說法錯誤；②數(shù)軸上兩個不同的點(diǎn)可以表示兩個不同的有理數(shù)，故原說法錯誤；③有理數(shù)在數(shù)軸上可以表示出來，故原說法錯誤；④任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對應(yīng)的唯一點(diǎn)，說法正確；故選：D．變式訓(xùn)練：1、如圖所示的是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）答案：B2、下列說法錯誤的是（

）A．?dāng)?shù)軸的三要素是原點(diǎn)，正方向、單位長度B．?dāng)?shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個有理數(shù)C．?dāng)?shù)軸上右邊的點(diǎn)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大D．表示負(fù)數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義與性質(zhì)進(jìn)行判別.【詳解】解：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以數(shù)軸上的點(diǎn)也可以表示無理數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的基本概念，對數(shù)軸概念的掌握是解決此題的關(guān)鍵.3、下列結(jié)論正確的有（）個

①規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸

②最小的整數(shù)是0

③正數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱有理數(shù)

④數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】試題解析：①規(guī)定了唯一的原點(diǎn)，唯一的正方向和唯一的單位長度的直線叫數(shù)軸，故此命題不正確；②整數(shù)包括負(fù)整數(shù)，故此命題錯誤；③應(yīng)為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零統(tǒng)稱有理數(shù)，故此命題不正確；④數(shù)軸上的點(diǎn)不但表示有理數(shù)，也能表示無理數(shù)，故此命題錯誤．綜上所述，全都不正確．故選A．題型二：數(shù)軸上表示無理數(shù)（1）如圖所示，直徑為1個單位長度的圓，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)沿數(shù)軸向左滾動一周（不滑動）到達(dá)點(diǎn)A，則A點(diǎn)表示的數(shù)是_________；若點(diǎn)B表示3.14，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的_________邊（填“左”或“右”）；（3）若此圓從表示1的點(diǎn)沿數(shù)軸滾動一周（不滑動）到達(dá)C點(diǎn)，寫出C點(diǎn)所表示的數(shù).答案：（1）π；（2）右；（3）1±π變式訓(xùn)練：1、直徑為1個單位長度的圓從原點(diǎn)沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O'點(diǎn)，點(diǎn)O'對應(yīng)的數(shù)是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.2答案：C2、如圖所示，半徑為1個單位長度的圓片上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，線段AB是圓片的直徑，將圓片沿數(shù)軸滾動，點(diǎn)B第一次到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C表示的數(shù)是_____答案：±π題型三：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離例4、在數(shù)軸上，到原點(diǎn)距離不大于2的所有整數(shù)有_____________________答案：2，1，0，1，2例5、數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．請利用數(shù)軸回答下列問題：（1）在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離為5的點(diǎn)有_______個，它們表示的數(shù)是______________；（2）在數(shù)軸上，從表示2的點(diǎn)出發(fā)，先向右移動3個單位長度，再向左移動6個單位長度，最后的終點(diǎn)表示的數(shù)是_____________________；（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)M表示數(shù)2，那么與點(diǎn)M相距4個單位的點(diǎn)表示的數(shù)是_____________．答案：（1）±5（2）1（3）6或2變式訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離小于3的點(diǎn)表示的整數(shù)是．答案：±2、±1、02、在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)距離等于5的點(diǎn)所表示的數(shù)是A．1 B．2和8 C． D．和2【答案】D【分析】結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行判斷,從表示3的點(diǎn)向左向右分別找數(shù),即可得出結(jié)果.【詳解】解:數(shù)軸上與3距離等于5個單位的點(diǎn)有兩個,從表示3的點(diǎn)向左數(shù)5個單位是8,從表示3的點(diǎn)向右數(shù)5個單位是2.故答案為:8或2.故選D.3、點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1．若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為6，則點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離等于（

）A．3 B．6 C．3或9 D．2或10【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為6，∴當(dāng)C在B的左側(cè)時，點(diǎn)C表示的數(shù)是1﹣6＝﹣5，當(dāng)C在B的右側(cè)時，點(diǎn)C表示的數(shù)是1＋6＝7，點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．故選：D．4、數(shù)軸上點(diǎn)M表示有理數(shù)﹣3，將點(diǎn)M向右平移5個單位長度到達(dá)點(diǎn)N，點(diǎn)E到點(diǎn)N的距離為6，則點(diǎn)E表示的有理數(shù)為．答案：4或8題型四：利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小例6、畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“”連接起來．5，﹣3.5，，，4，0，2.5【答案】數(shù)軸上表示各數(shù)見詳解，【分析】首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“”號連接起來即可．【詳解】解：在數(shù)軸上表示各數(shù)如下：．例7、已知a、b表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)在數(shù)軸上表示出a、b的位置；(2)用“<”表示a、b、a、b的大小關(guān)系；【答案】（1）見解析；（2）b<a<a<b;（3）10【分析】（1）根據(jù)互為相反數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等在數(shù)軸上表示出a，b；（2）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即可將a、b、a、b用“＜”連接起來；（3）先得到b表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為10，然后根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法得到b表示的數(shù).【詳解】（1）在數(shù)軸上標(biāo)出a、b對應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示：（2）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得：b＜a＜a＜b；變式訓(xùn)練：1、比較大?。ㄌ顚憽埃尽被颉埃肌碧枺?.1_____1（2）－3.2_____－4.3（3）－_____－（4）－_____0答案：＜＞＜＜2、畫數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”號連接下列各數(shù)：﹣5，+2，﹣1.5，0，，．【答案】如圖所示，見解析；.【分析】本題考查數(shù)在數(shù)軸上的表示方法，原點(diǎn)坐標(biāo)為負(fù)數(shù)即小于零的數(shù)，原點(diǎn)右邊為正數(shù)，即大于零的數(shù)，﹣5，+2，﹣1.5，0，，可以按照順序在數(shù)軸上表示出來.【詳解】如圖所示：.3、在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并把它們用“＜”連接起來．1，﹣2，0，﹣0.5．【答案】數(shù)軸見解析；﹣2＜﹣0.5＜0＜1．【分析】首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法,在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù);然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,把這些數(shù)由小到大用“<”號連接起來即可.【詳解】解：，﹣2＜﹣0.5＜0＜1．4、已知、在數(shù)軸上的位置如圖所示，將、、、從小到排列正確的一組是（

）A．<<< B．<<<C．<<< D．<<<【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a＜0＜b，且|a|＞b，則a＞b，b＞a，然后把a(bǔ)，b，a，b從大到小排列．【詳解】∵a＜0＜b，且|a|＞b，∴a＜b＜b＜a，故選D.5、若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的有理數(shù)分別為a、b，且B在A的右邊，則a－b一定（）A.大于零 B.小于零C.等于零 D.無法確定答案：B題型五：利用數(shù)軸解決實(shí)際問題例8、一條東西走向的商業(yè)街上，依次有書店（記為A）、冷飲店（記為B）、鞋店（記為C），冷飲店位于鞋店西邊50m處，鞋店位于書店東邊60m處，王平先去書店，然后沿著這條街向東走了30m至D處，接著向西走50m到達(dá)E處.（1）以A為原點(diǎn)、向東為正方向畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出上述A，B，C，D，E的位置；（2）若在這條街上建一家超市，使超市與鞋店C分居E點(diǎn)兩側(cè)，且到E點(diǎn)的距離相等，則超市在冷飲店的什么方向?距離多遠(yuǎn)?答案：（1）數(shù)軸如圖8所示，圖中的A，B，C，D，E即為所作.（2）鞋店C到E的距離為60+20=80（m），超市在數(shù)軸上表示的數(shù)為100，超市到冷飲店的距離為10+100=110（m）.答:超市在冷飲店的西邊110m的地方.變式訓(xùn)練：1、書店A、冷飲店B、商店C依次座落在一條東西走向的商業(yè)街上。冷飲店在書店西邊20米處，商店位于書店東邊100米處。小明從書店沿街向東走了40米，接著又向西走了60米，此時小明的位置在哪兒？畫圖并表示。答案：畫圖略，小明在冷飲店【課堂提升】1、數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1cm，若在數(shù)軸上任意畫一條長度為4cm的線段AB，線段AB能蓋住的整點(diǎn)數(shù)有_____________個。答案：4或52、一根長為2.5個單位長度的木條放在數(shù)軸上，最少能覆蓋______個表示整數(shù)的點(diǎn)，最多能覆蓋_______個表示整數(shù)的點(diǎn)。答案：2，3【課后鞏固訓(xùn)練】1、判斷對錯（1）數(shù)軸上的點(diǎn)表示一個數(shù)（）（2）數(shù)軸上表示3的點(diǎn)只有一個（）（3）數(shù)軸上到原點(diǎn)距離等于2個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是2（）（4）5可以用數(shù)軸上原點(diǎn)左邊第5個單位長度的點(diǎn)表示（）（5）0是整數(shù)（）（6）自然數(shù)一定是整數(shù)（）（7）0一定是正整數(shù)（）（8）整數(shù)一定是自然數(shù)（）（9）數(shù)軸上的兩個點(diǎn)可以表示同一個有理數(shù)（）答案：√√×√√√×××2、最小的正整數(shù)是________，最大的負(fù)整數(shù)是_________，所有大于4的負(fù)整數(shù)有______________，不大于3的非負(fù)整數(shù)有__________________。答案：1；1；3、2、1；0、1、2、33、在數(shù)軸上的點(diǎn)A表示3，現(xiàn)在把點(diǎn)A先向右移動7個單位，再向左移動4個單位，則到達(dá)終點(diǎn)所表示的數(shù)是______答案：04、數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B所表示的數(shù)分別是1，3，若要使點(diǎn)A表示的數(shù)是點(diǎn)B表示的數(shù)的2倍，保持B點(diǎn)不動，應(yīng)將點(diǎn)A怎樣移動？答案：向右移7個單位5、下列說法正確的是（）A.0是最小的有理數(shù)B.若有理數(shù)m>n，則數(shù)軸上表示m的點(diǎn)一定在表示n的點(diǎn)的左邊C.一個有理數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，這個有理數(shù)就越大D.既沒有最小的正數(shù)，也沒有最大的負(fù)數(shù)答案：D6、下列說法正確的是（）數(shù)軸上的點(diǎn)都表示整數(shù)。數(shù)軸上表示5與5的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，原點(diǎn)的距離都等于5個單位長度。數(shù)軸包括原點(diǎn)與正方向兩個要素。數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示正數(shù)和零答案：B7、公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).這個發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，打破了“萬物皆數(shù)”的局限認(rèn)識，迎來了數(shù)學(xué)的一次飛躍發(fā)展.下面關(guān)于無理數(shù)的說法錯誤的是（）A.面積為4的正方形的邊長是有理數(shù)