新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)大題優(yōu)練7 圓錐曲線與面積有關(guān)的問題（教師版）

圓錐曲線與面積有關(guān)的問題圓錐曲線與面積有關(guān)的問題大題優(yōu)練7優(yōu)選例題優(yōu)選例題例1．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓上一點(diǎn)，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，求證：SKIPIF1<0的面積為定值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又離心率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0方程得SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平行四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故平行四邊形SKIPIF1<0的面積為定值為SKIPIF1<0．例2．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上、下頂點(diǎn)分別為C，D，右焦點(diǎn)為F，離心率為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與橢圓M交于E，H兩點(diǎn)，記SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）有條件可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓方程為SKIPIF1<0．（2）當(dāng)直線l無斜率時，直線方程為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立得SKIPIF1<0，消掉y得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，方程有根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0時等號成立），所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．例3．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓下上動點(diǎn)，SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0(直線SKIPIF1<0的斜率不為1)與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的上方．若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0面積的最SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）由題可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率為0時，不符合題意；故設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，則SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不符合題意，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．

模擬優(yōu)練模擬優(yōu)練1．已知拋物線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0，焦點(diǎn)為圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共點(diǎn)．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0這一段曲線上運(yùn)動（SKIPIF1<0異于端點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0面積的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)拋物線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不妨假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面積的取值范圍是SKIPIF1<0．2．橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線l交C于點(diǎn)A、B，且SKIPIF1<0的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積S的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0的周長為8，由橢圓的定義知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）由題意可設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易知S在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，從而SKIPIF1<0．3．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)（異于橢圓SKIPIF1<0的左、右端點(diǎn)）．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三者的關(guān)系可得SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入上述橢圓方程可得SKIPIF1<0，求解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0．若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相切，可得上述方程只有一個解，即有SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，（*）．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由上式可得SKIPIF1<0，將（*）代入上式可得SKIPIF1<0，故可知點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓．SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，故該軌跡應(yīng)去掉點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．4．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且SKIPIF1<0的最小值為0．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，動直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且僅有一個公共點(diǎn)，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）2．【解析】（1）設(shè)P(x，y)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最小值0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）將直線l的方程SKIPIF1<0代入橢圓C的方程SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，由直線l與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)可知SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，四邊形SKIPIF1<0是梯形，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡整理SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②當(dāng)k＝0時，四邊形F1MNF2是矩形，SKIPIF1<0，所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為2．5．已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長為4，離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)A，B位于直線l的兩側(cè))．①若直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)直線AP，AQ，BP，BQ的斜率分別為k1，k2，k3，k4．求證：SKIPIF1<0為定值；②若直線l的斜率為SKIPIF1<0，求四邊形APBQ的面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①證明見解析；②SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）①點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，由對稱性知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，為定值．②由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．由點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于直線l的兩側(cè)，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，消去y并整理，得SKIPIF1<0，由判別式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，顯然，判別式SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此，四邊形APBQ的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，顯然，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．6．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸