新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)大題優(yōu)練12 導(dǎo)數(shù)研究根的個(gè)數(shù)問題（教師版）

導(dǎo)數(shù)研究根的個(gè)數(shù)問題導(dǎo)數(shù)研究根的個(gè)數(shù)問題大題優(yōu)練12優(yōu)選例題優(yōu)選例題例1．已知函數(shù)SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則切線斜率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切線斜率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．例2．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；②若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．（2）由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入上式可知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．綜上，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．例3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，一次函數(shù)SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）討論關(guān)于x的方程SKIPIF1<0解的個(gè)數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）見解析．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0．（2）由方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又由SKIPIF1<0，所以此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又由SKIPIF1<0，所以此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有兩解，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0取得極大值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的解．因?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一根，所以可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有三根，綜上可得，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，方程SKIPIF1<0恰有一根；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程SKIPIF1<0恰有三根．

模擬優(yōu)練模擬優(yōu)練1．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．經(jīng)驗(yàn)證SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0極值點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的取值列表如下：SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<02SKIPIF1<0/-0+/SKIPIF1<0SKIPIF1<0極小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可得，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點(diǎn)，只需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積SKIPIF1<0．（2）方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以分離參數(shù)得SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，而SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意，原方程在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的解，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的解，即直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意，函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．4．已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0存在唯一極值點(diǎn)，且極值為0，求SKIPIF1<0的值；（2）討論SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）答案見解析．【解析】（1）由已知，可得SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，與SKIPIF1<0存在極值點(diǎn)矛盾；②若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0存在唯一極小值點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴由零點(diǎn)存在性定理，知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0．（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無零點(diǎn)；（iii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（a）當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個(gè)零點(diǎn)；（b）當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個(gè)零點(diǎn)．5．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（附：對(duì)于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．）【答案】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（2）存在三個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，得SKIPIF