數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)反證法和放縮法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一，利用反證法進行證明【例1】已知函數(shù)f(x)是（—∞,+∞)上的增函數(shù)，a，b∈R,（1）若a+b≥0，求證:f（a)+f（b）≥f(-a)+f(-b）；（2）判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論.證明：(1)∵a+b≥0,∴a≥-b，—a≤b.又f(x)是（—∞,+∞)上的增函數(shù),∴f（a)≥f(—b),f(—a)≤f（b).∴f（a)+f(b）≥f(—a）+f(-b）。（2）逆命題：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b）a+b≥0,下面用反證法證明。假設(shè)a+b<0，則a〈-b,b<—a，∴f(a）<f(-b),f（b）〈f（—a）.∴f（a)+f(b)〈f(—a)+f（—b）.與已知矛盾,∴假設(shè)不成立，逆命題得證.溫馨提示反證法要從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的.二，運用放縮法證明不等式【例2】已知n，k均為大于1的整數(shù),試證明1+++…+<2.證明:1+++…+≤1+++…+<1+++…+=1+（1—）+（-)+…+（—）〈2。溫馨提示用放縮法證明不等式過程中，往往采用添項或減項的“添舍”放縮,拆項對比的分項放縮，函數(shù)的單調(diào)性放縮，重要不等式放縮等.放縮時要注意適度，否則不能同向傳遞。三，反證法和放縮法的綜合應(yīng)用【例3】n為大于1的正整數(shù)，求證：（1+)（1+）…(1+）〉。證明：∵>（k≥2),設(shè)A=（1+）(1+）…（1+）=×××…×，B=××…×，∴A2>AB=××××…××=〉.∴A>（n≥2).溫馨提示有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法,凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.放縮法是一種證題技巧,要想用好它，必須有目標(biāo),目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考察.各個擊破類題演練1設(shè)f（x)=x2+bx+c，x∈［—1,1］,證明當(dāng)b<-2時，在其定義域范圍內(nèi)至少存在一個x，使|f（x)｜≥成立。證明:假設(shè)不存在x∈［—1，1］上滿足｜f（x)|≥,則對于x∈［—1,1］上的任意x有—〈f（x）〈成立.∴b〉—與b〈—2矛盾。故假設(shè)不成立，即原命題成立。變式提升1已知a，b，c∈（0,1）,求證:（1-a)c，(1—b)b,(1—c）a不能同時大于。證明:假設(shè)三式同時大于,因為0<a<1,所以1—a>0..同理,，都大于.三式相加得>矛盾.所以原命題成立。類題演練2已知a，b,c，d∈R+,求證：1〈.證明:∵,又，∴1〈〈2.變式提升2求證：1+++…+〈2—(n≥2,n∈N）。證明:由<=—,得1+++…+≤1+1—+-+…+—=2-(n≥2,n∈N)。∴原不等式成立.類題演練3設(shè)a,b為不相等的兩正數(shù),且a3-b3=a2—b2，求證：1<a+b<。證明:由題設(shè)得a2+ab+b2=a+b,于是(a+b）2〉a2+ab+b2=a+b，故a+b〉1。又(a+b)2〉4ab，而（a+b）2=a2+2ab+b2=a+b+ab〈a+b+,即(a+b)2<a+b,∴a+b〈.∴1〈a+b〈.變式提升3已知a,b，c∈R+,求證:≥abc。證明：∵a2b2+b2c2≥2ab2b2c2