第六講-無(wú)窮小與無(wú)窮小的比較

第六講無(wú)窮小與無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮大一、無(wú)窮小二、無(wú)窮小的比較

1一、無(wú)窮小定義1若則稱為時(shí)的無(wú)窮小量.若則稱為時(shí)的無(wú)窮小量.例如:(1).所以為時(shí)的無(wú)窮小量.所以為時(shí)的無(wú)窮小量.（1）無(wú)窮小量是一個(gè)變量.不要與很小的數(shù)混淆.注意極限為零的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。（2）無(wú)窮小量必須要指明相應(yīng)的極限過(guò)程。2無(wú)窮小的性質(zhì):有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.無(wú)窮小量與有界變量的乘積是無(wú)窮小.例如,常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.性質(zhì)1.性質(zhì)2.推論.性質(zhì)3.3定理1無(wú)窮小與極限的關(guān)系4引例觀察各極限不可比.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.二、無(wú)窮小的比較5定義2若則稱

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱

是比

低階的無(wú)窮小;則稱

是

的同階無(wú)窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作6解:所以時(shí),所以時(shí),與是同階無(wú)窮小例如.判斷下列無(wú)窮小的階:7例如

,

當(dāng)～時(shí)～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無(wú)窮小,～且8例1.解例2.解9～～定理2證:即即例如,～～故10定理3.

設(shè)且存在,則證:例如,11設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程,

,

為無(wú)窮小,說(shuō)明:無(wú)窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:

由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若

=o(

),(2)和差代替規(guī)則:

例如,例如,12(3)因式代替規(guī)則:界,則例如,

例3.求解:13例4解注意不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性14例5解錯(cuò)解15例6解16二、無(wú)窮大定義3記作:（1）無(wú)窮大量是一個(gè)變量,不要與很大的數(shù)混淆.注意在變量的變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮小量.則稱變量在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。例1.（2）無(wú)窮大量必須指明極限過(guò)程。（3）無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系。17無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理4.

在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:18例7．求解分母極限分子極限根據(jù)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系知：對(duì)有理分式函數(shù)的極限，若分母極限為零，而分子極限不為零，則可直接斷定該極限為無(wú)窮大．說(shuō)明19例8．求型解型對(duì)，分解因式，分子、分母約去無(wú)窮小因子，再求極限．20例9．求型解例6．求型解21一般，例10．結(jié)論22內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小,且

是

的高階無(wú)窮小

是

的低階無(wú)窮小

是

的同階無(wú)窮小

是

的等價(jià)無(wú)窮小

是

的k階無(wú)窮小232.等價(jià)無(wú)窮小替換定理～～～～常用等價(jià)無(wú)窮小:24思考與練習(xí)1.分析:25分析:263.任何兩個(gè)無(wú)