兩角和與差的三角函數(shù)

兩教和與差的三角函數(shù)(第一課時(shí))[教學(xué)目標(biāo)]掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與兩角和的余弦公式；能用以上公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。[教學(xué)重點(diǎn)]兩角和的余弦公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用[教學(xué)難點(diǎn)]余弦和角公式的推導(dǎo)。【教學(xué)方法】啟發(fā)引導(dǎo)式【教學(xué)過(guò)程】復(fù)習(xí)提問(wèn)：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，下面請(qǐng)同學(xué)們回憶數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式？數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值（課件展示）。課題導(dǎo)入：前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時(shí)，我們還常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：已知任意角、的三角函數(shù)值，如何求+和-的三角函數(shù)值？即+、-三角函數(shù)值與、的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？今天首先學(xué)習(xí)兩角和的余弦。講授新課導(dǎo)入新課：cos(60°+30°)=cos90°=0cos60°+cos30°=+0所以cos(60°+30°)cos60°＋cos30°由以上三式我們猜想兩角和的余弦公式為cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ要論證這個(gè)結(jié)論需要平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式。在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，下面請(qǐng)同學(xué)們回憶數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是如何求得的？數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離就等于這兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值。（師生共看課件）1.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及推到那么我們是否可以用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)推導(dǎo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離公式呢，下面我們分三種情況加以論證（多媒體課件）。證明：情形1：直線PQ與x軸平行（或重合），此時(shí)y=y,即y-y=0從點(diǎn)P、Q分別作X軸的垂線，垂足分別為P'、Q'，于是|PQ|=|P'Q'|=|x2-x1|=情形2：直線PQ與y軸平行（或重合），此時(shí)x=x,即x-x=0,從點(diǎn)P、Q分別作y軸的垂線，垂足分別為P'、Q'，于是情形3：（課件圖三）在直角三角形PMQ中，由勾股定理，可得：│PQ│=│PM│+│MQ│=│x-x│+│y-y│=(x-x)+(y-y)所以|PQ|=例如：平面內(nèi)A（2,1），B（3,5），則|AB|==.2.兩角和的余弦公式的推導(dǎo)cos(αcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβyyPP3(cos(α+β),sin(α+β))βα+βPβα+βP2(cosα,sinα)oαxP1oαxP1(1,0)--βPP4(cos(-β),sin(-β))證明:如圖4-1,在直角坐標(biāo)系x0y中,作單位圓O,并設(shè)α,β為任意給定的角;α角的始邊為Ox,交圓O于P1,終邊交圓O于P2;β角的始邊為OP2,終邊交圓O于P3;又-β角的始邊為OP1,終邊交圓O于P4。這時(shí),P1,P2,P3,P4的坐標(biāo)分別是：P1（1，0）;P2(cosα,sinα);P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)),因?yàn)镻1P3=P2P4,由兩點(diǎn)間的距離公式得［cos(α+β)-1]2+sin2(a+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2展開(kāi),整理得2-2cos（α+β）=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.例1利用兩角和的余弦公式,求cos105°的值.解:cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°==課堂練習(xí)：教材P126練習(xí)2；5（2）。課堂小結(jié)：平面內(nèi)PQ兩點(diǎn)間的距離公式：兩角和的余弦公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。以上兩個(gè)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用[教學(xué)反思]

本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè)中提出問(wèn)題讓學(xué)生在課前提前預(yù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容“是什么”，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維與學(xué)習(xí)的積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究能力，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。教師在課堂上應(yīng)指導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，注意