專題04 指、對、冪函數(shù)（知識梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）

專題04指、對、冪函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 1考點(diǎn)精講講練 5考點(diǎn)一：指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算 5考點(diǎn)二：冪函數(shù)的概念與性質(zhì) 6考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 9考點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 11考點(diǎn)五：比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小 14實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 20明晰學(xué)考要求1、掌握并運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2、會求簡單的對數(shù)值，會運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行化簡求值；3、了解冪函數(shù)的概念、圖象特征和性質(zhì)；4、了解指數(shù)函數(shù)的概念；5、掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；6、了解對數(shù)函數(shù)的概念；7、掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).基礎(chǔ)知識梳理1、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算（1）n次方根①定義：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.②性質(zhì)：n為奇數(shù)n為偶數(shù)a∈Ra>0a＝0a<0x＝eq\r(n,a)x＝±eq\r(n,a)x＝0不存在（2）根式①定義：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．②根式的性質(zhì)：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0；(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．（3）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)；eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝eq\f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．2、對數(shù)的概念（1）定義：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．（2）兩類特殊對數(shù)①以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN.②以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.（3）對數(shù)的性質(zhì)①(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．②logaa＝1(a>0，且a≠1)．③0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．④對數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．3、對數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN.②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.③logaMn＝nlogaM(n∈R)．（2）對數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)，使用時(shí)，經(jīng)常換成常用對數(shù)或自然對數(shù)，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).4、冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的概念：函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．①自變量前的系數(shù)是1；②冪的系數(shù)為1；③冪函數(shù)的定義域與α有關(guān)．（2）一般冪函數(shù)的圖象特征：①在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)在原點(diǎn)無意義．④在(—∞，0)上，冪函數(shù)有無圖象與α的取值有關(guān)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第二象限，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第三象限．5、指數(shù)函數(shù)的概念（1）概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R.（2）指數(shù)函數(shù)的特征：底數(shù)a>0，且a≠1；指數(shù)冪的系數(shù)為1.6、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)最值無最值過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于y軸對稱7、對數(shù)函數(shù)的概念（1）概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．（2）函數(shù)特征：對數(shù)函數(shù)的系數(shù)為1，真數(shù)只能是一個(gè)x.8、對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0，當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0，當(dāng)x>1時(shí)，y<0單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)9、反函數(shù)的概念(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換.(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算【典型例題】例題1．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）化簡的值為（

）A．0 B．1 C． D．例題2．已知，則=.例題3．下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【即時(shí)演練】1.若，則的值為（

）A． B． C． D．2.計(jì)算3.計(jì)算：.考點(diǎn)二：冪函數(shù)的概念與性質(zhì)【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．1例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實(shí)數(shù)可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．33.（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【即時(shí)演練】1．函數(shù)為冪函數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．12.下列函數(shù)中，既是其定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典型例題】例題1．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)的圖像不過第一象限，則a，b所滿足的條件是（

）A．a(chǎn)>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1C．0<a<1，b<-1 D．a(chǎn)>1，b≤-1例題2．函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

例題3．已知函數(shù)，且f(3-2t)>f(t)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【即時(shí)演練】1．已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．4 B．1 C．2 D．2.函數(shù)（，且）的圖象過的定點(diǎn)是（

）A． B． C． D．3.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．考點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例講解】例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)（，）的圖象過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．例題3．（2023高一上·江蘇蘇州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范圍.【即時(shí)演練】1．函數(shù)（，且）的圖象一定過點(diǎn)（

）A． B． C． D．2.函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．3.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小【典例講解】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A． B．C． D．例題2.（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<c<b D．b<a<c例題3.（2024江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試模擬試卷）若，，，則（

）A． B． C． D．【即時(shí)演練】1．已知，則.（

）A． B．C． D．2.已知，，，則（

）A． B． C． D．3．三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練1．（

）A． B． C．0 D．12．已知，，則的值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．已知.若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．34．三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．5.函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）6.函數(shù)與的圖象大致是（）A． B．C． D．7.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．8