重難點專題01直線與橢圓的位置關(guān)系-2022-2023學年高二數(shù)學考點講解練（人教A版2019選擇性）

重難點專題01：直線與橢圓的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎知識歸納；2.考點分析及解題方法歸納：考點包含：直線與橢圓的位置關(guān)系判定；橢圓的弦長；橢圓的焦點弦；橢圓的中點弦；橢圓中的定點、定值問題；橢圓的定直線；橢圓中的向量問題

3.課堂知識小結(jié)4.考點鞏固提升知識歸納1.直線與橢圓的位置關(guān)系.設直線l：Ax+By+C=0，橢圓C：，聯(lián)立l與C，消去某一變量(x或y)得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，此一元二次方程的判別式為Δ，則l與C相離的Δ<0；l與C相切Δ=0；l與C相交于不同兩點Δ>0.2.弦長計算計算橢圓被直線截得的弦長，往往是設而不求，即設弦兩端坐標為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k為直線斜率）形式(利用根與系數(shù)關(guān)系（推導過程：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一，或者。)3.中點弦問題關(guān)于中點弦問題，一般采用兩種方法解決：(1)聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設而不求，從而簡化運算.(2)利用“點差法”求解，即若橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直線與橢圓交于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中點為M(x0，y0)，則eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).考點講解這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決考點講解考點1：直線與橢圓的位置關(guān)系判定例1．橢圓的左、右頂點分別為、，點在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】橢圓的左、右頂點分別為、，點坐標為，點坐標為，又直線的斜率為，直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設點坐標為，則，解得，，故直線斜率，故選:B．【方法技巧】求出的坐標，進而求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，求出點坐標，代入斜率公式，可得答案.【變式訓練】【變式1】．（多選）下列曲線中與直線有交點的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與曲線聯(lián)立方程，通過判斷的正負，即可判斷方程根的情況，進而可得交點情況.【詳解】對于A,直線和的斜率都是﹣2，所以兩直線平行，不可能有交點．對于B,由，得，，所以直線與B中的曲線有交點．對于C,由，得，，所以直線與C中的曲線有交點．對于D,由，得，，所以直線與D中的曲線有交點．故選：BCD【變式2】．直線和曲線的位置關(guān)系為_____.【答案】相交【分析】根據(jù)直線過點且在橢圓內(nèi)部可得出結(jié)論.【詳解】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.【變式3】．橢圓上的點到直線的距離的最大值為______.【答案】【詳解】設與直線平行的直線與橢圓相切，由得，由得，，解得設直線與直線的距離為，當時，直線為，則，當時，直線為，則，因為，所以橢圓1上的點到直線的距離的最大值為.故答案為：考點2：橢圓的弦長例2．橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.解：（1）由題意設橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過點且長軸長為，所以，所以橢圓方程為，（2）因為直線過點且斜率為1，所以直線的方程為，設，將代入，得，整理得，所以，所以【方法技巧】（1）先設出橢圓方程，然后由題意可得，從而可得橢圓方程，（2）由題意可得直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式可求得結(jié)果.【變式訓練】【變式1】．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦長公式求解即可.【詳解】設直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯誤.故選：A.【變式2】．斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長，即可得到最大值.【詳解】設兩點的坐標分別為，，直線l的方程為，由消去y得，則，.∴，∴當時，取得最大值，故選:D.考點3：橢圓的焦點弦例3：（2019·浙江·高考真題）已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是____.【答案】【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【方法技巧】1.明確概念2.利用焦半徑公式把比值表示為的式子，然后由得出范圍．【變式訓練】【變式1】．已知橢圓C的離心率，左右焦點分別為，P為橢圓C上一動點，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】設，，且得：.故答案為：.【變式2】．如果橢圓的一個焦點坐標為，過此焦點且垂直于軸的弦的長等于，則這個橢圓的標準方程為_______.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】設橢圓的標準方程為，由題知：，所求橢圓的標準方程為.故答案為：.【變式3】．設，分別是橢圓C：的左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________．【答案】【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：考點4：橢圓的中點弦例4．已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為______.【答案】##【分析】運用“點差法”即可求得答案.【詳解】由題意，設，因為的中點為，所以.又.于是，即所求直線的斜率為.故答案為：.【方法技巧】(1)聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設而不求，從而簡化運算.(2)利用“點差法”求解【變式訓練】【變式1】．已知橢圓()與直線交于A、B兩點，，且中點的坐標為，則此橢圓的方程為________．【答案】【詳解】由于的中點坐標為且滿足直線方程，即有，解得，則的中點坐標為．設，，由得，則，∵的中點坐標為，∴，即，則，即，故，又，解得，故．∴橢圓方程為．故答案為：．【變式2】．已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線的過定點，若橢圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，求直線斜率的取值范圍．（1）解：因為橢圓的離心率為，長軸長為，解得，則，所以橢圓的標準方程是；（2）易知直線的斜率存在，設直線方程為：，，AB中點的坐標為，則，兩式相減得，即，又，解得，因為線段AB的中點在橢圓內(nèi)部，所以，即，解得，所以直線斜率的取值范圍考點5：橢圓中參數(shù)的范圍及最值例5．（2021·全國·高考真題（文））設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】點，因為，，所以，而，所以當時，的最大值為．故選：A．【方法技巧】1.找到各種量之間的關(guān)系。2.理解基本要求【變式訓練】【變式1】（2017·全國·高考真題（文））（2017新課標全國卷Ⅰ文科）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】當時，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得；當時，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得，故的取值范圍為，選A．【變式2】．已知A，B是橢圓長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為，．若橢圓的離心率為，則的最小值為______．【答案】1【分析】令，．設，，表示出，，對于，再由均值不等式即可求出答案.【詳解】令，．設，，，．又橢圓的離心率為，所以，所以，（當且僅當，即時等號成立）．故答案為：1.考點6：橢圓中的定點、定值問題例6：（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．(1)解：設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.(2)，所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設.聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【方法技巧】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.【變式訓練】已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點和上頂點，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設的橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．解：（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設點，而，且，，當時，直線AP：，點，，直線BP：，點，，，當時，，，，所以所以是定值.考點7：橢圓的定直線例7：（2022·河北滄州·二模）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)點關(guān)于原點的對稱點為點，與直線平行的直線與交于點，直線與交于點，點是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.【解析】(1)由題意得，解得，所以橢圓的方程是.(2)點是在定直線上，理由如下，由（1）知，設，，將的方程與聯(lián)立消，得，則，得且，且，因為，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線的方程，得，得，所以所以點在定直線上.【方法技巧】（1）設，表示出，結(jié)合點在橢圓上，代入即可得出答案.（2）設直線為，與橢圓聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，列出韋達定理，寫出直線，的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，求出點的縱坐標，即可得出答案.【變式訓練】【變式1】．已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點，直線與交于點.(1)設的斜率分別為，求的值;(2)求證：點在定直線上.解：（1）設，，，，所以.（2）設，得到，，，直線，直線，聯(lián)立得:，法一：，解得.法二：由韋達定理得，.解得，所以點在定直線上.考點8：橢圓中的向量問題例8．已知為橢圓的右焦點，為橢圓上兩個動點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，由,得，則,設()，由，得，則，又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以的最小值為.故選：C.【方法技巧】根據(jù)平面垂直向量的數(shù)量積表示可得，利用平面向量的線性運算將變形為，設()，利用兩點坐標求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.【變式訓練】【變式1】．橢圓的左焦點關(guān)于直線：的對稱點是，連接FM并延長交橢圓C于點P．若，則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，，由題意得：，解得：，所以，又，故的中點為，故，將其代入橢圓方程中，，則，解得：，所以橢圓的離心率為.故選：A【變式2】．過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，設O為坐標原點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，可得，即，所以左焦點，且直線斜率為，所以直線的方程為，設，，由可得，可得，，，，所以，故選：C.知識小結(jié)知識小結(jié)1.直線與橢圓的位置關(guān)系.設直線l：Ax+By+C=0，橢圓C：，聯(lián)立l與C，消去某一變量(x或y)得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，此一元二次方程的判別式為Δ，則l與C相離的Δ<0；l與C相切Δ=0；l與C相交于不同兩點Δ>0.2.弦長計算計算橢圓被直線截得的弦長，往往是設而不求，即設弦兩端坐標為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k為直線斜率）形式(利用根與系數(shù)關(guān)系（推導過程：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一，或者。)3.中點弦問題關(guān)于中點弦問題，一般采用兩種方法解決：(1)聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設而不求，從而簡化運算.(2)利用“點差法”求解，即若橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直線與橢圓交于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中點為M(x0，y0)，則eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決鞏固提升鞏固提升一、單選題1．直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線恒過，且在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.【詳解】，在橢圓內(nèi)，恒過點，直線與橢圓相交.故選：A.2．已知橢圓的左?右焦點分別為、，為橢圓上的一點（不在軸上），則△面積的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】由三角形面積公式可知△的底為定值，當高為最大時，面積即為最大，故當點位于橢圓上頂點或下頂點時高最大，即可求解.【詳解】由三角形面積公式可知，當最大時有最大值，即點位于橢圓上頂點或下頂點，其中，則△面積的最大值是，故選：.3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程．【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為．故選：A．4．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果．【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：．故選：A．5．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，且內(nèi)層與外層的橢圓的長軸之比為，已知外層橢圓的方程為，若由外層橢圓長軸的一個端點向內(nèi)層橢圓引切線，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出內(nèi)層橢圓的方程，設切線方程為，代入橢圓方程中消去，整理后由判別式等于零可求出切線的斜率【詳解】由，得，則離心率，則由題意知內(nèi)層橢圓的方程為，點，由題意可知過點的切線的斜率存在，設切線方程為，由，得，所以，化簡得，解得．故選：C6．直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的方程求得其右頂點為，上頂點為，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點為，上頂點為，又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.故選：C.7．已知橢圓的焦點為、，P為橢圓上的一點，若，則的面積為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義和焦點三角形，利用余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)橢圓的定義有，①根據(jù)余弦定理得，②結(jié)合①②解得，所以的面積．故選:C8．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且異于長軸端點．點在所圍區(qū)域之外，且始終滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量數(shù)量積關(guān)系可知在以為直徑的圓上；由橢圓定義和中位線性質(zhì)知，結(jié)合可求得當時，的值，即為所求最大值.【詳解】，，，，在以為直徑的圓上，圓心分別為的中點，如圖所示，由橢圓方程知：，，，，，，當四點共線時，取得最大值.故選：A.二、多選題9．設橢圓的左?右焦點分別為，，左?右頂點分別為，，點是橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．△面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．為定值【答案】BD【分析】由，直接求橢圓離心率即可，將看成△的底，高的最大值即為，即可求出△面積的最大值，寫出以線段為直徑的圓方程，圓心到直線的距離即可判定直線和圓的位置關(guān)系，直接用斜率公式求解即可.【詳解】對于選項,由已知得，，則，即，故錯；對于選項,由已知得，要使△的面積最大，當?shù)走吷系母咦畲蠹纯?，高的最大值即為，則△的面積最大值為，故正確；對于選項,以線段為直徑的圓的方程為，則該圓的圓心到直線的距離為,即以線段為直徑的圓與直線相交，故不正確；對于選項,設點，則,故正確.故選：BD.10．已知橢圓：，則下列關(guān)于橢圓的結(jié)論正確的是（

）A．焦點坐標為， B．長軸長為C．離心率為 D．直線與無交點【答案】BC【分析】由橢圓方程可求得，依次判斷焦點、長軸長和離心率可知ABC正誤；根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法可知D錯誤.【詳解】由橢圓方程知：橢圓焦點在軸上，，，；對于A，焦點坐標為，，A錯誤；對于B，長軸長，B正確；對于C，離心率，C正確；對于D，由得：，則，直線與交于兩點，D錯誤.故選：BC.三、填空題11．已知橢圓內(nèi)一點，直線與橢圓交于兩點，且為線段的中點，則直線的方程為___________．【答案】【分析】利用“點差法”求得直線的斜率，寫出直線方程．【詳解】設，，